3.6 Existência e unicidade de distribuições

Para o leitor que passou pela Seção 1.4, continuamos colecionando ferramentas que serão necessárias para estudar os capítulos mais avançados.

Aqui provamos os Teoremas 3.10 e 3.16. No caminho para a prova daquele, vamos definir $\pi$ -sistemas e enunciar um teorema sobre unicidade de medidas, que será utilizado em outros capítulos.

Definição 3.36 (

\pi

-sistemas).

Uma classe $\mathcal{C}$ de conjuntos é chamado um $\pi$ -sistema se é fechada por interseções, isto é, $A\cap B\in\mathcal{C}$ para todos $A,B\in\mathcal{C}$ .

Teorema 3.37 (Unicidade de medidas).

Sejam $\mu$ e $\nu$ medidas num espaço mensurável $(\Omega,\mathcal{F})$ , e seja $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{F}$ um $\pi$ -sistema. Suponha que $\mu(A_{n})=\nu(A_{n})<\infty$ para alguma sequência $A_{n}\uparrow\Omega$ de conjuntos em $\mathcal{C}$ . Se $\mu=\nu$ em $\mathcal{C}$ , então $\mu=\nu$ em $\sigma(\mathcal{C})$ .

A demonstração será dada no Apêndice D.1.

Demonstração do Teorema 3.10.

Seja $\mathcal{C}=\{(-\infty,b]:b\in\mathbb{R}\}$ a classe de todos os intervalos fechados e semi-infinitos à esquerda. Observe que $\mathcal{C}$ é um $\pi$ -sistema e, pela Proposição 1.43, $\sigma(\mathcal{C})=\mathcal{B}$ . Por hipótese,

\mathbb{P}_{X}((-\infty,b])=F_{X}(b)=F_{Y}(b)=\mathbb{P}_{Y}((-\infty,b]),

portanto, $\mathbb{P}_{X}(A)=\mathbb{P}_{Y}(A)$ , para todo $A\in\mathcal{C}$ . Além disso, a sequência $(A_{n})_{n}$ dada por $A_{n}=(-\infty,n]$ , satisfaz $A_{n}\in\mathcal{C}$ e $\mathbb{P}_{X}(A_{n})=\mathbb{P}_{Y}(A_{n})<\infty$ para todo $n\in\mathbb{N}$ e $A_{n}\uparrow\mathbb{R}$ . Pelo Teorema 3.37, segue que $\mathbb{P}_{X}(C)=\mathbb{P}_{Y}(C)$ , para todo $C\in\sigma(\mathcal{C})$ , o que conclui a prova. ∎

Concluímos esta breve seção com uma demonstração da existência de uma variável aleatória com distribuição $\mathcal{U}[0,1]$ .

Demonstração do Teorema 3.16.

Lembremos que existe uma medida $m$ em $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ tal que $m((a,b])=b-a$ para todos $a<b\in\mathbb{R}$ , como enunciado no Teorema 1.51. Tome $\Omega=\mathbb{R}$ , $\mathcal{F}=\mathcal{B}$ , $\mathbb{P}=m_{|_{[0,1]}}$ e $U(\omega)=\omega$ . Então, $F_{U}(u)=m([0,1]\cap(-\infty,u])=u$ para todo $u\in[0,1]$ . ∎