3.4 Distribuição condicional dado um evento

Esta seção será necessária para o estudo da esperança condicional a ser desenvolvido no Capítulo 11 e, exceto por isso, pode ser omitida. Dado um evento $A$ com $\mathbb{P}(A)>0$ , definimos a função de distribuição condicional de $X$ dado $A$ como

F_{X|A}(t)=\mathbb{P}(X\leqslant t\,|\,A),\quad t\in\mathbb{R}.

Exemplo 3.30.

Considere dois lançamentos de uma moeda honesta e seja $X$ o número de “caras” obtidas. Neste caso,

F_{X}(t)=\begin{cases}0,&t<0,\\ \frac{1}{4},&0\leqslant t<1,\\ \frac{3}{4},&1\leqslant t<2,\\ 1,&t\geqslant 2.\end{cases}

Seja $A$ o evento “pelo menos uma moeda deu cara”. Temos

F_{X|A}(t)=\begin{cases}0,&t<1,\\ \frac{2}{3},&1\leqslant t<2,\\ 1,&t\geqslant 2.\end{cases}\qed

Exemplo 3.31.

Se $X$ é uma variável aleatória com distribuição $X\sim\mathcal{U}[0,1]$ e $A=\{X\leqslant\frac{1}{2}\}$ , então a função de distribuição condicional de $X$ dado $A$ é

F_{X|A}(x)=\mathbb{P}(X\leqslant x|A)=\begin{cases}0,&x\leqslant 0,\\ 2x,&0\leqslant x\leqslant\frac{1}{2},\\ 1,&x\geqslant\frac{1}{2}.\end{cases}\qed

Se $X$ é discreta, definimos a função de probabilidade condicional de $X$ dado $A$ , denotada por $p_{X|A}(\,\cdot\,)$ , como a função de probabilidade associada à função de distribuição $F_{X|A}(\,\cdot\,)$ .

Exemplo 3.32.

No Exemplo 3.30,

p_{X|A}(x)=\begin{cases}\frac{2}{3},&x=1,\\ \frac{1}{3},&x=2,\\ 0,&\text{caso contr\'{a}rio}.\end{cases}\qed

Se $X$ tem densidade $f_{X}$ , podemos tomar

f_{X|A}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{X|A}(x)

e, caso $f_{X|A}$ seja integrável e satisfaça

F_{X|A}(x)=\int_{-\infty}^{x}f_{X|A}(s)\,\mathrm{d}s\qquad\text{ para todo $x% \in\mathbb{R}$, }

dizemos que $f_{X|A}$ é uma função de densidade condicional de $X$ dado $A$ . Uma função de densidade condicional sempre existe, porém a prova deste fato exige ferramentas mais avançadas (ver Seção 11.5), e a função $f_{X|A}$ pode não ser Riemann-integrável (ver Seção 5.5.4).

Exemplo 3.33.

No Exemplo 3.31, uma densidade condicional é dada por

f_{X|A}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{X|A}(x)=2\,\mathds{1}_{[0,\frac{1}% {2}]},

cuja integral de fato coincide com $F_{X|A}$ . ∎