3.7 Funções mensuráveis

Esta seção é uma continuação da anterior. Aqui vamos introduzir o conceito de funções mensuráveis e estudar suas principais propriedades.

Definição 3.38 (Função mensurável).

Sejam $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1})$ e $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2})$ dois espaços mensuráveis. Dizemos que uma função $f:\Omega_{1}\to\Omega_{2}$ é $\mathcal{F}_{1}/\mathcal{F}_{2}$ -mensurável se, para todo $A\in\mathcal{F}_{2}$ , o conjunto $f^{-1}(A)=\{\omega\in\Omega_{1}:f(\omega)\in A\}$ está em $\mathcal{F}_{1}$ .

Quando as $\sigma$ -álgebras $\mathcal{F}_{1}$ e $\mathcal{F}_{2}$ estiverem claras no contexto, podemos reduzir ‘ $\mathcal{F}_{1}/\mathcal{F}_{2}$ -mensurável’ para apenas ‘mensurável’ ou ‘ $\mathcal{F}_{1}$ -mensurável’. Quando o espaço for $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^{n}$ , vamos sempre considerar a $\sigma$ -álgebra de Borel.

Como é de se esperar, a composição de funções mensuráveis é mensurável.

Lema 3.39 (Composição de funções mensuráveis).

Sejam $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1})$ , $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2})$ e $(\Omega_{3},\mathcal{F}_{3})$ espaços mensuráveis e $f:\Omega_{1}\to\Omega_{2},\ g:\Omega_{2}\to\Omega_{3}$ funções mensuráveis. Então, a composição $g\circ f$ é mensurável.

Demonstração.

Seja $A\in\mathcal{F}_{3}$ . Como $g$ é mensurável, $g^{-1}(A)\in\mathcal{F}_{2}$ . Como $f$ é mensurável, $(g\circ f)^{-1}(A)=f^{-1}(g^{-1}(A))\in\mathcal{F}_{1}$ . Como isso vale para todo $A\in\mathcal{F}_{3}$ , concluímos que $g\circ f$ é mensurável. ∎

Observe que pré-imagem comuta com operações de conjuntos: $f^{-1}(A\setminus B)=f^{-1}(A)\setminus f^{-1}(B)$ , $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ , etc. Dado um espaço amostral $\Omega_{1}$ , um espaço mensurável $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2})$ e uma função $f:\Omega_{1}\to\Omega_{2}$ , podemos construir uma $\sigma$ -álgebra em $\Omega_{1}$ induzida por $f$ .

Definição 3.40 (

\sigma

-álgebra gerada por uma função

f

Sejam $\Omega_{1}$ um conjunto não-vazio, $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2})$ um espaço mensurável e $f:\Omega_{1}\to\Omega_{2}$ . A $\sigma$ -álgebra gerada por $f$ em $\Omega_{1}$ é definida como $\sigma(f)=\{f^{-1}(A):A\in\mathcal{F}_{2}\}$ .

Observe que $\sigma(f)$ é de fato uma $\sigma$ -álgebra (exercício!). A notação $\sigma(f)$ não deixa explícito o fato de que $\sigma(f)$ também depende de $\mathcal{F}_{2}$ . Uma função qualquer $f:\Omega_{1}\to\Omega_{2}$ é mensurável se, e somente se, $\sigma(f)\subseteq\mathcal{F}_{1}$ .

Definição 3.41.

Sejam $f:\Omega_{1}\to\Omega_{2}$ uma função mensurável e $\mu$ uma medida em $\Omega_{1}$ . Definimos a medida push-forward $f_{*}\mu$ em $\Omega_{2}$ dada por

(f_{*}\mu)(A)=\mu(f^{-1}(A)).

Deixamos como exercício a prova de que $f_{*}\mu$ é uma medida.

Muitas vezes, é inconveniente verificar que $f^{-1}(A)\in\mathcal{F}_{1}$ para todo $A\in\mathcal{F}_{2}$ , pois a classe $\mathcal{F}_{2}$ pode ser muito grande. O lema abaixo simplifica essa tarefa.

Lema 3.42 (Critério de mensurabilidade).

Sejam $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1})$ e $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2})$ espaços mensuráveis, $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{F}_{2}$ uma classe de conjuntos que gera $\mathcal{F}_{2}$ , e $f:\Omega_{1}\to\Omega_{2}$ . Se $f^{-1}(A)\in\mathcal{F}_{1}$ para todo $A\in\mathcal{E}$ , então $f$ é mensurável.

Demonstração.

É suficiente mostrar que a coleção $\mathcal{G}$ dada por

\mathcal{G}=\{A\subseteq\Omega_{2}:f^{-1}(A)\in\mathcal{F}_{1}\}

é uma $\sigma$ -álgebra em $\Omega_{2}$ , pois por hipótese $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{G}$ , de forma que $\mathcal{F}_{2}=\sigma(\mathcal{E})\subseteq\mathcal{G}$ . Primeiro, $\Omega_{2}\in\mathcal{G}$ , pois $f^{-1}(\Omega_{2})=\Omega_{1}\in\mathcal{F}_{1}$ . Segundo, dado $A\in\mathcal{G}$ , como $f^{-1}(\Omega_{2}\setminus A)=\Omega_{1}\setminus f^{-1}(A)\in\mathcal{F}_{1}$ , segue que $A^{c}\in\mathcal{G}$ . Terceiro, dados $A_{1},A_{2},\dots\in\mathcal{G}$ como $f^{-1}(\cup_{j=1}^{\infty}A_{j})=\cup_{j=1}^{\infty}f^{-1}(A_{j})\in\mathcal{F% }_{1}$ , segue que $\bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j}\in\mathcal{G}$ . Portanto, $\mathcal{G}$ é $\sigma$ -álgebra sobre $\Omega_{2}$ . ∎

Como espaços de probabilidade são espaços de medida, podemos reformular conceitos envolvendo variáveis aleatórias na linguagem desta seção. Pelo lema acima, uma função $X:\Omega\to\mathbb{R}$ é uma variável aleatória se, e somente se, é uma função mensurável. Ademais, a distribuição de $X$ , que denotamos $\mathbb{P}_{X}$ , é o push-forward da medida $\mathbb{P}$ pela função $X$ , ou seja, $\mathbb{P}_{X}=X_{*}\mathbb{P}$ . Em particular, a fórmula (3.7) está definida para todo $B\in\mathcal{B}$ . A $\sigma$ -álgebra gerada por $X$ é denotada por $\sigma(X)$ .

Lema 3.43 (Funções contínuas).

Toda $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ contínua é mensurável.

Demonstração.

Tomamos $\mathcal{E}$ como a classe dos conjuntos abertos em $\mathbb{R}$ . Seja $B\in\mathcal{E}$ . Como $f$ é contínua, $f^{-1}(B)$ é aberto, logo $f^{-1}(B)\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ . Como $\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{B}(\mathbb{R})$ , pelo Lema 3.42, $f$ é mensurável. ∎

Lema 3.44 (Funções monótonas).

Toda $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ monótona é mensurável.

Demonstração.

Tomamos $\mathcal{E}$ como a classe dos intervalos (possivelmente vazios) de $\mathbb{R}$ . Como a pré-imagem de um intervalo por uma função monótona é sempre um intervalo, $f^{-1}(B)\in\mathcal{E}\subseteq\mathcal{B}$ para todo $B\in\mathcal{E}$ . Pela Proposição 1.43, $\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{B}$ . Logo, pelo Lema 3.42, $f$ é mensurável. ∎

Lema 3.45 (Justaposição de funções reais).

Seja $(\Omega,\mathcal{F})$ um espaço mensurável e $f_{1},\dots,f_{n}:\Omega\to\mathbb{R}$ funções reais. Considere a função $\boldsymbol{f}:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$ dada por $\boldsymbol{f}=(f_{1},\dots,f_{n})$ . Então, $\boldsymbol{f}$ é $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ -mensurável se, e somente se, todas as $f_{1},\dots,f_{n}$ são $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R})$ -mensuráveis.

Demonstração.

Suponha que $\boldsymbol{f}$ seja mensurável. Como a projeção $\pi_{k}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ dada por $\pi_{k}(x_{1},\dots,x_{n})=x_{k}$ é uma função contínua, é mensurável. Como $f_{k}=\pi_{k}\circ\boldsymbol{f}$ , segue que $f_{k}$ é mensurável. Reciprocamente, suponha que $f_{1},\dots,f_{n}$ são mensuráveis. Seja $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$ aberto. Pelo Teorema A.10, existe uma sequência de paralelepípedos abertos $(I_{j})_{j\in\mathbb{N}}$ tais que $A=\cup_{j}I_{j}$ . Cada $I_{j}$ é da forma $(a_{1},b_{1})\times\dots\times(a_{n},b_{n})$ . Assim, $\{\boldsymbol{f}\in I_{j}\}=\cap_{k=1}^{n}\{f_{k}\in(a_{k},b_{k})\}\in\mathcal% {F}$ , logo $\{\boldsymbol{f}\in A\}=\cup_{j}\{\boldsymbol{f}\in I_{j}\}\in\mathcal{F}$ . Pelo Lema 3.42, $\boldsymbol{f}$ é mensurável. ∎

Veremos mais adiante que algumas operações usuais com funções reais mensuráveis resultam em funções também mensuráveis. Para tratar de forma mais robusta supremos e limites de funções, sem ter que ficar separando em casos, é mais conveniente considerar funções que tomam valores na reta estendida $[-\infty,+\infty]$ .

Definimos a $\sigma$ -álgebra de Borel em $[-\infty,+\infty]$ como

\mathcal{B}([-\infty,+\infty])=\{A\subseteq[-\infty,+\infty]:A\cap\mathbb{R}% \in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}.

Em outras palavras, essa $\sigma$ -álgebra é formada por conjuntos da forma $B\cup D$ , com $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ e $D\subseteq\{-\infty,+\infty\}$ .

Proposição 3.46.

Uma função $f:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ é mensurável se, e somente se, $\{f\leqslant a\}\in\mathcal{F}$ para todo $a\in\mathbb{R}$ .

Demonstração.

Basta mostrar que $\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{B}([-\infty,+\infty])$ , onde $\mathcal{E}$ é a classe $\{[-\infty,a]:a\in\mathbb{R}\}$ . Observe que $\{-\infty\}=\cap_{a\in\mathbb{Z}}[-\infty,a]\in\sigma(\mathcal{E})$ , pois $\sigma(\mathcal{E})$ é fechada por interseções enumeráveis. Da mesma forma, $[-\infty,+\infty)=\cup_{a\in\mathbb{Z}}[-\infty,a]\in\sigma(\mathcal{E})$ , logo $\{+\infty\}$ e $\mathbb{R}$ também estão em $\sigma(\mathcal{E})$ . Defina $\mathcal{G}=\{A\cap\mathbb{R}:A\in\sigma(\mathcal{E})\}$ . Observe que $\mathcal{G}$ é uma $\sigma$ -álgebra em $\mathbb{R}$ e, como $(-\infty,a]=[-\infty,a]\cap\mathbb{R}\in\mathcal{G}$ para todo $a\in\mathbb{R}$ , temos que $\mathcal{B}(\mathbb{R})\subseteq\mathcal{G}$ . Assim, $\sigma(\mathcal{E})$ contém $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ , $\{-\infty\}$ e $\{+\infty\}$ . Portanto, $\sigma(\mathcal{E})$ contém $\mathcal{B}([-\infty,+\infty])$ , que contém $\mathcal{E}$ , provando que $\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{B}([-\infty,+\infty])$ . ∎

Uma função $f:\Omega\to\mathbb{R}$ ou $f:\Omega\to[0,+\infty]$ é um caso particular de uma função $f:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ , e o critério de mensurabilidade é o mesmo. Assim sendo, propriedades de funções mensuráveis tomando valores em $[-\infty,+\infty]$ também valem para funções mensuráveis tomando valores em $\mathbb{R}$ .

Definição 3.47 (Variável aleatória estendida).

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um um espaço de probabilidade. Uma variável aleatória estendida é uma função mensurável $X:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ .

Uma propriedade que vamos usar inúmeras vezes, quase sempre de forma implícita, é que a mensurabilidade é preservada por vários tipos de operações básicas com funções. As propriedades enunciadas abaixo serão usadas em capítulos subsequentes sem que se lhes faça referência explícita.

As provas dos lemas abaixo encontram-se no Apêndice D.3.

Lema 3.48 (Comparação de funções).

Sejam $(\Omega,\mathcal{F})$ um espaço mensurável e $f,g:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ funções mensuráveis. Então, os subconjuntos de $\Omega$ dados por $\{f<g\}$ , $\{f\leqslant g\}$ , $\{f=g\}$ , e $\{f\neq g\}$ pertencem à $\sigma$ -álgebra $\mathcal{F}$ .

Somas e produtos de funções mensuráveis também são mensuráveis.

Lema 3.49 (Somas e produtos).

Seja $(\Omega,\mathcal{F})$ um espaço mensurável e $f,g:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ funções mensuráveis. Então, $fg$ é uma função mensurável. Se $f+g$ está bem definida para todo $\omega$ , então é uma função mensurável.

O $\limsup$ e correlatos também preservam mensurabilidade.

Lema 3.50 (Supremos e limites de funções).

Sejam $(\Omega,\mathcal{F})$ um espaço mensurável e $(f_{n})_{n\geqslant 1}$ uma sequência de funções mensuráveis de $\Omega$ em $[-\infty,+\infty]$ . Então, as funções $\sup_{n}f_{n}$ , $\inf_{n}f_{n}$ , $\limsup_{n}f_{n}$ , $\liminf_{n}f_{n}$ são mensuráveis. Em particular, se definimos a função

f(\omega)=\begin{cases}\lim_{n}f_{n}(\omega),&\text{caso o limite exista},\\ 0,&\text{caso contr\'{a}rio},\end{cases}

então $f$ é uma função mensurável. Se as funções $(f_{n})_{n}$ são não-negativas, então $\sum_{n}f_{n}$ é uma função mensurável.