A.3 Análise Real

Esta seção lista os principais tópicos de um curso introdutório de Análise Real que serão necessários para acessar as partes mais avançadas deste livro, como, por exemplo, as Seções 1.4 e 7.4 e, portanto, todas aquelas que dependem direta ou indiretamente delas, incluindo os Capítulos 12, 13 e 14.

Teorema A.8 (Subsubsequências).

Seja $(x_{n})_{n}$ e $L\in\mathbb{R}$ . Então, $\lim_{n}x_{n}=L$ se, e somente se, toda subsequência $(x_{n_{k}})_{k}$ possui uma subsubsequência $(x_{n_{k_{j}}})_{j}$ tal que $\lim_{j}x_{n_{k_{j}}}=L$ . A mesma equivalência vale quando $L=\pm\infty$ .

Dado um conjunto $A\subseteq\mathbb{R}$ , dizemos que $A$ é aberto se, para todo $x\in A$ , existe $\varepsilon>0$ tal que $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq A$ . Dizemos que $A$ é fechado se $A^{c}$ é aberto. Dizemos que $A$ é denso em $\mathbb{R}$ se $A\cap B\neq\emptyset$ para todo aberto $B\subseteq\mathbb{R}$ .

Teorema A.9.

Se $A\subseteq\mathbb{R}$ é um conjunto aberto, então existem intervalos abertos $I_{1},I_{2},I_{3},\dots$ tais que $A=\cup_{k}I_{k}$ .

Dado um conjunto $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$ , dizemos que $A$ é aberto se, para todo ${{\boldsymbol{x}}}\in A$ , existe $\varepsilon>0$ tal que $\{{\boldsymbol{y}}:\|{\boldsymbol{y}}-{{\boldsymbol{x}}}\|<\varepsilon\}\subseteq A$ .

Dizemos que uma função $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ é contínua se $f^{-1}(A)$ é aberto para todo $A\subseteq\mathbb{R}$ aberto. Observamos que, no caso $n=1$ , essa definição é coerente com aquela dada na Seção A.1.

Teorema A.10.

Se $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$ é um conjunto aberto, então existem paralelepípedos abertos $I_{1},I_{2},I_{3},\dots$ tais que $A=\cup_{k}I_{k}$ . Um paralelepípedo aberto é um conjunto da forma $I=(a_{1},b_{1})\times\dots\times(a_{n},b_{n})\subseteq\mathbb{R}^{n}$ .

Recordemos a definição de conjunto enumerável dada na página 2. Mais formalmente, um conjunto qualquer $J$ é enumerável se, e somente se, $J$ é finito ou existe uma função $f:\mathbb{N}\to J$ sobrejetiva.

Teorema A.11.

O conjunto $\mathbb{R}$ não é enumerável.

Corolário A.12.

Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável

Dizemos que um conjunto $K\subseteq\mathbb{R}$ é compacto se $K$ é fechado e limitado.

Observação A.13.

Em alguns livros há uma definição mais abstrata de conjuntos compactos, e o Teorema de Heine-Borel diz que a definição mais abstrata é equivalente à definição acima. ∎

Teorema A.14.

Se $\mathbb{R}\supseteq K_{1}\supseteq K_{2}\supseteq K_{3}\supseteq\cdots$ são compactos e $K_{n}\neq\emptyset$ para todo $n\in\mathbb{N}$ , então $\cap_{n}K_{n}\neq\emptyset$ .

Teorema A.15 (Weierstrass).

Seja $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma função contínua e periódica, de período $2\pi$ . Então, para todo $\varepsilon>0$ , existem $m\in\mathbb{N}$ e $a_{-m},\dots,a_{m}\in\mathbb{C}$ tais que

\Big{|}\sum_{k=-m}^{m}a_{k}e^{ikx}-g(x)\Big{|}\leqslant\varepsilon

para todo $x\in\mathbb{R}$ .

Dado $J\subseteq\mathbb{R}$ e $f:J\to\mathbb{R}$ , dizemos que $f$ é uniformemente contínua se, para todo $\varepsilon>0$ , existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ para todos $x,y\in J$ tais que $|x-y|<\delta$ . A diferença entre $f$ ser contínua e uniformemente contínua é que $\delta$ não pode depender de $x$ .

Teorema A.16.

Se $f:K\to\mathbb{R}$ é contínua e $K\subseteq\mathbb{R}$ é compacto, então $f$ é uniformemente contínua.