D.3 Operações com funções mensuráveis

Esta seção é uma continuação da Seção 3.7 e consiste em fornecer as demonstrações omitidas dos últimos lemas. Estas demonstrações não são particularmente difíceis, mas podem ser omitidas sem prejuízo à compreensão de outras seções do livro.

Demonstração do Lema 3.48.

Como $\mathbb{Q}$ é denso em $\mathbb{R}$ , para cada $\omega\in\Omega$ , $f(\omega)<g(\omega)$ se, e somente se, existe $r\in\mathbb{Q}$ tal que $f(\omega)<r<g(\omega)$ . Portanto, podemos expressar $\{\omega:f(\omega)<g(\omega)\}$ como a união de $\{\omega:f(\omega)<r<g(\omega)\}$ sobre todo $r\in\mathbb{Q}$ . Então, podemos escrever

\{f<g\}=\bigcup_{r\in\mathbb{Q}}(\{f<r<g\})=\bigcup_{r\in\mathbb{Q}}(\{f<r\}% \cap\{r<g\}).

Como $\mathbb{Q}$ é enumerável, concluímos $\{f<g\}\in\mathcal{F}$ . Além disso,

\displaystyle\{f\neq g\}=\{f<g\}\cup\{f>g\}\in\mathcal{F},

\displaystyle\{f=g\}=\{f\neq g\}^{c}\in\mathcal{F},

\displaystyle\{f\leqslant g\}=\{f<g\}\cup\{f=g\}\in\mathcal{F},

o que prova o lema. ∎

Demonstração do Lema 3.49.

Começamos pela segunda parte. Suponha que a soma $f(\omega)+g(\omega)$ esteja bem definida para todo $\omega$ . Seja $b\in\mathbb{R}$ . A função $b-g$ é mensurável, pois $\{b-g<c\}=\{g>b-c\}\in\mathcal{F}$ para todo $c\in\mathbb{R}$ . Pelo Lema 3.48, $\{f+g<b\}=\{f<b-g\}\in\mathcal{F}$ , provando que $f+g$ é mensurável.

Agora mostraremos que a função $fg$ é mensurável. Suponha inicialmente que $f$ e $g$ tomem valores em $\mathbb{R}$ . Como $x\mapsto x^{2}$ é contínua, pelas afirmações demonstradas acima, $f+g$ , $f-g$ , $(f+g)^{2}$ e $(f-g)^{2}$ são mensuráveis e, como

fg=\frac{(f+g)^{2}-(f-g)^{2}}{4},

$fg$ também é mensurável. Finalmente, consideramos o caso geral, em que $f$ e $g$ tomam valores em $[-\infty,+\infty]$ . Seja $A=\{\omega:f(\omega)\in\mathbb{R}\text{ e }g(\omega)\in\mathbb{R}\}$ . Note que $A\in\mathcal{F}$ . Defina $f_{1}=f\mathds{1}_{A}$ , $f_{2}=f\mathds{1}_{A^{c}}$ , $g_{1}=g\mathds{1}_{A}$ , $g_{2}=g\mathds{1}_{A^{c}}$ . Observe que $f_{2}g_{2}$ assume valores em $\{-\infty,0,+\infty\}$ e é mensurável. Por outro lado, pelo caso anterior $f_{1}g_{1}$ é mensurável. Como $fg=f_{1}g_{1}+f_{2}g_{2}$ , concluímos que $fg$ é mensurável. ∎

Segue do Lema 3.49 que, se $f:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ é uma função mensurável e $a\in[-\infty,+\infty]$ , então $-f$ e $af$ são funções mensuráveis.

Demonstração do Lema 3.50.

Para qualquer $a\in\mathbb{R}$ , podemos escrever

\left\{\sup_{n\geqslant 1}f_{n}\leqslant a\right\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\{f_{% n}\leqslant a\}.

Como $\{f_{n}\leqslant a\}\in\mathcal{F}$ para todo $n\geqslant 1$ e $\mathcal{F}$ é fechada por interseções enumeráveis, $\sup_{n}f_{n}$ é mensurável. Observando que

\inf_{n\geqslant 1}f_{n}=-\sup_{n\geqslant 1}(-f_{n}),

concluímos que $\inf_{n\geqslant 1}f_{n}$ também é uma função mensurável. Da definição de $\limsup$ e $\liminf$ , temos

$\displaystyle\limsup_{n}f_{n}$	$\displaystyle=\adjustlimits{\inf}_{n\geqslant 1}{\sup}_{m\geqslant n}f_{m},$
$\displaystyle\liminf_{n}f_{n}$	$\displaystyle=\adjustlimits{\sup}_{n\geqslant 1}{\inf}_{m\geqslant n}f_{m},$

logo, ambas são funções mensuráveis. Finalmente, a função $f$ definida no enunciado é dada pelo produto de $\limsup_{n}f_{n}$ pela função indicadora do conjunto $\{\limsup_{n}f_{n}=\liminf_{n}f_{n}\}$ e, como ambas são mensuráveis, o produto também é mensurável, o que conclui a prova. ∎