4.2 Vetores aleatórios discretos e contínuos

Dizemos que um vetor aleatório ${\boldsymbol{X}}$ é discreto se existe um subconjunto enumerável $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$ tal que $\mathbb{P}({\boldsymbol{X}}\in A)=1$ . Neste caso, a função de probabilidade conjunta de ${\boldsymbol{X}}$ é dada por

p_{{\boldsymbol{X}}}({\boldsymbol{x}})=\mathbb{P}\big{(}{\boldsymbol{X}}={% \boldsymbol{x}}\big{)}.

Um vetor aleatório ${\boldsymbol{X}}$ é discreto se, e somente se, suas coordenadas $X_{1},\dots,X_{n}$ são discretas.

A função de probabilidade marginal de uma componente $X_{k}$ é obtida somando-se nas demais variáveis:

$\displaystyle p_{X_{k}}(x_{k})$	$\displaystyle=\mathbb{P}(X_{k}=x_{k})$
	$\displaystyle=\sum_{x_{1}}\cdots\sum_{x_{k-1}}\sum_{x_{k+1}}\cdots\sum_{x_{n}}% \,p_{{\boldsymbol{X}}}(x_{1},\dots,x_{k-1},x_{k},x_{k+1},\dots,x_{n}).$

Para a última igualdade acima, basta observar que o evento $\{X_{k}=x_{k}\}$ pode ser escrito como a união disjunta de

\{X_{k}=x_{k},{{\boldsymbol{X}}}\in A\}=\cup_{x_{1}}\cdots\cup_{x_{k-1}}\cup_{% x_{k+1}}\cdots\cup_{x_{n}}\{(X_{1},\dots,X_{n})=(x_{1},\dots,x_{n})\}

com o evento $\{X_{k}=x_{k},{{\boldsymbol{X}}}\not\in A\}$ , que tem probabilidade zero.

Exemplo 4.14.

Retornando ao Exemplo 4.4, vamos obter a função de probabilidade conjunta de ${\boldsymbol{X}}$ , e as funções de probabilidade marginais de $X_{1}$ e $X_{2}$ .

Primeiro, pela descrição do vetor $(X_{1},X_{2})$ , sabemos que $p_{X_{1},X_{2}}(0,2)=p_{X_{1},X_{2}}(2,0)=\frac{1}{4}$ , $p_{X_{1},X_{2}}(1,1)=\frac{1}{2}$ , e $p_{X_{1},X_{2}}$ vale zero fora desses três pontos. Somando sobre $x_{2}$ , encontramos a função de probabilidade marginal, que é dada por $p_{X_{1}}(0)=p_{X_{1}}(2)=\frac{1}{4}$ e $p_{X_{1}}(1)=\frac{1}{2}$ .

Observe que os mesmos valores podem ser lidos a partir dos saltos da função de distribuição marginal obtida no Exemplo 4.8. ∎

Proposição 4.15 (Critério de independência, caso discreto).

Seja ${{\boldsymbol{X}}}=(X_{1},\dots,X_{n})$ um vetor aleatório discreto. Então, $X_{1},\dots,X_{n}$ são independentes se, e somente se, $p_{{\boldsymbol{X}}}({\boldsymbol{x}})=p_{X_{1}}(x_{1})\cdots p_{X_{n}}(x_{n})$ para todo ${\boldsymbol{x}}\in\mathbb{R}^{n}$ .

Demonstração.

A implicação direta é trivial. Para a implicação inversa, suponha que $p_{{\boldsymbol{X}}}({\boldsymbol{x}})=p_{X_{1}}(x_{1})\cdots p_{X_{n}}(x_{n})$ para todo ${\boldsymbol{x}}\in\mathbb{R}^{n}$ . Neste caso,

\mathbb{P}(X_{1}\in B_{1},\dots,X_{n}\in B_{n})=\sum_{x_{1}\in B_{1}}\cdots% \sum_{x_{n}\in B_{n}}p_{{\boldsymbol{X}}}({\boldsymbol{x}})=\\ =\left[\sum_{{x_{1}\in B_{1}}}p_{X_{1}}(x_{1})\right]\cdots\left[\sum_{{x_{n}% \in B_{b}}}p_{X_{n}}(x_{n})\right]=\mathbb{P}(X_{1}\in B_{1})\cdots\mathbb{P}(% X_{b}\in B_{n}),

para todos $B_{1},\dots,B_{n}\in\mathcal{B}$ e, portanto, as $X_{1},\dots,X_{n}$ são independentes. ∎

Dados um vetor aleatório ${\boldsymbol{X}}$ e uma função mensurável⁶⁶ 6 Qualquer função que é contínua ou que pode ser aproximada por funções contínuas é uma função mensurável. De fato, é muito difícil construir uma função que não seja mensurável. Veja a Seção 3.7 para mais detalhes. $f_{{\boldsymbol{X}}}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ , dizemos que ${\boldsymbol{X}}$ é absolutamente contínuo com função de densidade conjunta $f_{{\boldsymbol{X}}}$ se

\mathbb{P}(a_{j}<X_{j}\leqslant b_{j},\ j=1,\dots,n)=\int_{a_{1}}^{b_{1}}\dots% \int_{a_{n}}^{b_{n}}f_{{\boldsymbol{X}}}(x_{1},\dots,x_{n})\,\mathrm{d}x_{n}% \cdots\mathrm{d}x_{1}

para todas as escolhas de $a_{j}<b_{j}$ para $j=1,\dots,n$ .

A função de distribuição conjunta de um vetor aleatório absolutamente contínuo com densidade conjunta $f_{{{\boldsymbol{X}}}}$ pode ser calculada por:

\displaystyle F_{{\boldsymbol{X}}}({{\boldsymbol{x}}})=\int_{-\infty}^{x_{1}}% \cdots\int_{-\infty}^{x_{n}}f_{{\boldsymbol{X}}}({\boldsymbol{s}})\,\mathrm{d}% s_{n}\cdots\mathrm{d}s_{1}.

Se suspeitamos que um vetor aleatório possui densidade conjunta, podemos obter um candidato a densidade calculando

\displaystyle f_{{\boldsymbol{X}}}({\boldsymbol{x}})

\displaystyle=\frac{\partial^{n}}{\partial x_{1}\cdots\partial x_{n}}F_{{% \boldsymbol{X}}}(x_{1},\dots,x_{n}).

Uma vez calculada $f_{{\boldsymbol{X}}}$ por essa fórmula, podemos verificar se é de fato uma densidade conjunta mostrando que sua integral coincide com $F_{{\boldsymbol{X}}}$ .

A função de densidade marginal de uma componente $X_{k}$ é obtida integrando-se nas demais variáveis:

f_{X_{k}}(x_{k})=\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+% \infty}}_{n-1\text{ vezes}}f_{{\boldsymbol{X}}}(x_{1},\dots,x_{k},\dots,x_{n})% \underbrace{\mathrm{d}x_{1}\cdots\mathrm{d}x_{n}}_{\text{exceto }x_{k}}.

Vejamos que a densidade marginal $f_{X_{k}}$ é uma densidade de $X_{k}$ . Como $f_{{\boldsymbol{X}}}$ é não-negativa, segue que $f_{X_{k}}$ será não-negativa para cada $k$ . Além disso, para todo intervalo $B$ , definindo a região ${\boldsymbol{B}}=\{{\boldsymbol{x}}\in\mathbb{R}^{n}:x_{k}\in B\}$ , obtemos

$\displaystyle\mathbb{P}_{X_{k}}(B)$	$\displaystyle=\mathbb{P}(X_{k}\in B)=\mathbb{P}({\boldsymbol{X}}\in{% \boldsymbol{B}})=\int_{{\boldsymbol{B}}}f_{{\boldsymbol{X}}}({\boldsymbol{x}})% \,\mathrm{d}^{n}{\boldsymbol{x}}$
	$\displaystyle=\int_{B}\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}% ^{+\infty}}_{n-1\text{ vezes}}f_{{\boldsymbol{X}}}(x_{1},\dots,x_{k},\dots,x_{% n})\underbrace{\mathrm{d}x_{1}\cdots\mathrm{d}x_{n}}_{\text{exceto }x_{k}}% \mathrm{d}x_{k}$
	$\displaystyle=\int_{B}f_{X_{k}}(x_{k})\mathrm{d}x_{k}.$

Logo, $f_{X_{k}}(x_{k})$ é uma densidade de $X_{k}$ .

Exemplo 4.16.

Considere o quadrado $Q=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:|x|+|y|<1\}$ , e suponha que $X$ e $Y$ tenham densidade conjunta dada por $f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2}\mathds{1}_{Q}(x,y)$ . Podemos determinar a densidade marginal de $X$ integrando:

f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\tfrac{1}{2}\mathds{1}_{Q}(x,y)\,\mathrm{d}y=% (1-|x|)\mathds{1}_{[-1,1]}(x).

Analogamente, se integramos em $x$ , obtemos $f_{Y}(y)=(1-|y|)\mathds{1}_{[-1,1]}(y)$ . ∎

Proposição 4.17 (Critério de independência, caso contínuo).

Seja ${\boldsymbol{X}}=(X_{1},\dots,X_{n})$ um vetor aleatório cujas coordenadas $X_{1},\dots,X_{n}$ tenham função de densidade $f_{X_{1}},\dots,f_{X_{n}}$ . Então, $X_{1},\dots,X_{n}$ são independentes se, e somente se, a função dada por $f_{{\boldsymbol{X}}}({\boldsymbol{x}})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n})$ é uma densidade conjunta de ${\boldsymbol{X}}$ .

Demonstração.

Suponha que $f_{{\boldsymbol{X}}}({\boldsymbol{x}})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n})$ seja uma densidade conjunta de ${\boldsymbol{X}}$ . Integrando,

\displaystyle\mathclap{F_{{\boldsymbol{X}}}({\boldsymbol{x}})=\int_{-\infty}^{% x_{1}}\cdots\int_{-\infty}^{x_{n}}f_{X_{1}}(s_{1})\cdots f_{X_{n}}(s_{n})\,% \mathrm{d}s_{n}\cdots\mathrm{d}s_{1}=F_{X_{1}}(x_{1})\cdots F_{X_{n}}(x_{n})}

e, pela Proposição 4.10, $X_{1},\dots,X_{n}$ são independentes.

Reciprocamente, suponha que $X_{1},\dots,X_{n}$ são independentes. Neste caso,

$\displaystyle F_{{\boldsymbol{X}}}({{\boldsymbol{x}}})$	$\displaystyle=F_{X_{1}}(x_{1})\cdots F_{X_{n}}(x_{n})$
	$\displaystyle=\int_{-\infty}^{x_{1}}f_{X_{1}}(t_{1})\,\mathrm{d}t\cdots\int_{-% \infty}^{x_{n}}f_{X_{n}}(t_{n})\,\mathrm{d}t$
	$\displaystyle=\int_{-\infty}^{x_{1}}\cdots\int_{-\infty}^{x_{n}}\big{(}f_{X_{1% }}(t_{1})\cdots f_{X_{n}}(t_{n})\big{)}\,\mathrm{d}t_{n}\cdots\mathrm{d}t_{1}$

e, portanto, $f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n})$ é uma densidade conjunta de ${\boldsymbol{X}}$ . ∎

Observemos que a proposição acima não fornece um critério imediato para concluir que $X_{1},\dots,X_{n}$ não são independentes, pois densidades conjuntas não são únicas. Para isso, devemos verificar que existe toda uma região não-degenerada $(a_{1},b_{1}]\times\dots\times(a_{n},b_{n}]$ onde $f_{{\boldsymbol{X}}}({{\boldsymbol{x}}})\neq f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(% x_{n})$ , para justificar que a Definição 4.9 não é satisfeita, ou mostrar a desigualdade em um ponto onde todas as funções envolvidas são contínuas.

Exemplo 4.18.

De volta ao Exemplo 4.16, verifiquemos que $X$ e $Y$ não são independentes. Para isto, basta observar que $f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2}\mathds{1}_{Q}(x,y)=0$ para todo $(x,y)\in(\frac{2}{3},\frac{3}{4}]\times(\frac{2}{3},\frac{3}{4}]$ , enquanto $f_{X}(x)f_{Y}(y)=(1-x)(1-y)>0$ . ∎

Se um vetor aleatório ${\boldsymbol{X}}$ possui densidade conjunta, então cada uma das suas componentes $X_{1},\dots,X_{n}$ são variáveis aleatórias que também possuem densidade (a marginal), mas não vale a recíproca! Abaixo temos um exemplo simples de vetor aleatório contínuo que não tem densidade.

Contra-exemplo 4.19 (Inexistência de densidade conjunta).

Seja $X\sim\mathcal{U}[0,1]$ , $Y=1-X$ . Apesar de $X$ e $Y$ serem absolutamente contínuas com densidade $f_{X}=f_{Y}=\mathds{1}_{[0,1]}$ , o vetor $(X,Y)$ é singular. Mais precisamente, $\mathbb{P}\big{(}(X,Y)=(x,y)\big{)}=0$ para todo ponto $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}$ , mas $(X,Y)$ não tem densidade conjunta. Para ver que ele não pode ter densidade, observe que $(X,Y)$ assume valores em um segmento de reta, e a integral de qualquer função em um segmento de reta sempre dá zero. É interessante também analisar a função de distribuição conjunta, dada por

\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}0,&x\leqslant 0\text{ ou }y\leqslant 0% \text{ ou }x+y\leqslant 1,\\ y,&0\leqslant y\leqslant 1,x\geqslant 1,\\ x,&0\leqslant x\leqslant 1,y\geqslant 1,\\ x+y-1,&x\leqslant 1,y\leqslant 1,x+y\geqslant 1,\\ 1,&x\geqslant 1,y\geqslant 1.\end{cases}

Calculando a derivada cruzada, vemos que $\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x}F_{{\boldsymbol{X}}}(x,y)=0$ para todo par $(x,y)$ no plano $\mathbb{R}^{2}$ , exceto em duas retas e um segmento de reta, onde a derivada cruzada não existe. ∎