5.6 Exercícios

Um método usado por cientistas para estimar a quantidade de animais em determinado local é o de capturar alguns deles ao acaso, marcá-los, soltá-los, voltar a capturar outros tantos, e contar quantos deles estão marcados. Caso sejam poucos os marcados, isso indica que a população é grande. Imagine que há 80 animais de determinada espécie, os cientistas marcam 20 deles ao acaso, e depois capturam 20 deles ao acaso. Calcule a esperança do número de animais que terão a marca.

Um baralho tem 52 cartas, sendo 13 de cada naipe. As cartas são embaralhadas e um jogador recebe 10 dessas cartas. Calcule a esperança do número de cartas de espadas recebida pelo jogador.

Pedro aprendeu um truque para ganhar dinheiro na roleta, e o vem aplicando com sucesso diário há uma semana. Ele começa com $31,00 e aposta $1,00 nos vermelhos contra os pretos. Se ganha, vai embora feliz com $32,00. Se perde, seu capital baixa a $30,00, então ele aposta $2,00 nos vermelhos, podendo ganhar e sair feliz com $32,00, ou perder e continuar seu método. Nas próximas rodadas, ele aposta $4,00, $8,00 e $16,00, se necessário, até ganhar. Veja que Pedro sempre termina saindo do jogo com $32,00, a não ser que ele seja tão azarado que todas as rodadas resultem em números pretos. Supondo que não existe a casa verde, de forma que ambos, vermelhos e pretos, tenham probabilidade $\frac{1}{2}$, calcule a esperança do lucro de Pedro cada vez que ele entra numa casa de jogos determinado a aplicar essa estratégia. Calcule a esperança do número de rodadas que Pedro apostará antes de ir embora e do capital que Pedro terá ao ir embora.

Considere o seguinte jogo de azar. Uma urna contém $18$ bolas, sendo $9$ azuis e $9$ brancas. Retiram-se $3$ bolas da urna ao acaso. As bolas retiradas são descartadas e o jogador marca $1$ ponto se pelo menos $2$ dessas $3$ bolas forem azuis. Em seguida, retiram-se outras $3$ bolas da urna ao acaso. As bolas retiradas são descartadas e o jogador marca $1$ ponto se pelo menos $2$ dessas $3$ bolas forem azuis. Repete-se o procedimento até que a urna esteja vazia. Ao final, o jogador recebe um prêmio $X$ igual ao total de pontos marcados. Calcule $\mathbb{E}X$.

Temos duas urnas, a primeira urna contém $n$ bolas brancas numeradas de $1$ a $n$, enquanto a segunda possui $n$ bolas pretas numeradas de $1$ a $n$. Sorteamos uma bola de cada urna e observamos os respectivos números. Dizemos que há uma coincidência se os números sorteados são iguais. Descartamos as bolas sorteadas e repetimos o procedimento até que ambas as urnas fiquem vazias. Calcule a esperança do número total de coincidências.

Seja $X\sim\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(n,p)$. Calcule $\mathbb{E}X^{2}$.

Temos cinco dados com a forma de cada um dos Poliedros de Platão. O tetraedro tem suas faces numeradas de 1 a 4, o cubo de 1 a 6, o octaedro de 1 a 8, o dodecaedro de 1 a 12 e o icosaedro tem suas faces numeradas de 1 a 20. Lançamos todos os cinco dados simultaneamente. Calcule a esperança do produto do valor exibido pelo icosaedro com a soma dos valores exibidos pelos outros quatro dados.

Dois dados são lançados simultaneamente. Calcule a esperança do maior valor exibido.

Seja $X\sim\mathcal{U}[0,1]$. Calcule $\mathbb{E}X^{t}$ para todo $t\in\mathbb{R}$.

Sejam $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ e $Y=\max\{0,X\}$. Calcule $\mathbb{E}Y$ e $\mathbb{E}Y^{2}$.

Seja $X\sim\mathop{\mathrm{Beta}}\nolimits(a,b)$ com $a,b>0$. Calcule $\mathbb{E}X$.

Seja $X\sim\mathop{\mathrm{Gama}}\nolimits(n,\beta)$, com $n\in\mathbb{N}$. Calcule $\mathbb{E}X$.

Seja $X\sim\mathop{\mathrm{Cauchy}}\nolimits(a,b)$. Mostre que $\mathbb{E}X$ não está definida.

Seja $X$ uma variável aleatória tal que $\mathbb{P}(X\geqslant\mu+x)=\mathbb{P}(X\leqslant\mu-x)$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Mostre que, se $X$ é integrável, então $\mathbb{E}X=\mu$.

Sejam $X_{1},\dots,X_{n}$ variáveis aleatórias não-negativas (ou integráveis) independentes. Prove que $\mathbb{E}\big{[}\prod_{j}X_{j}\big{]}=\prod_{j}\mathbb{E}X_{j}.$

Sejam $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ uma sequência de variáveis independentes com distribuição $\mathcal{U}[0,1]$ e tome a variável aleatória $N$ como sendo o menor $n\in\mathbb{N}$ tal que $X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}\geqslant 1$. Mostre que $\mathbb{E}N=e$.

Sejam $U,X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ uma sequência de variáveis independentes com distribuição $\mathcal{U}[0,1]$ e tome a variável aleatória $N$ como sendo o menor $n\in\mathbb{N}$ tal que $X_{n}\geqslant U$. Mostre que $\mathbb{E}N=+\infty$.

Prove que, se $\mathbb{E}X$ está definida e $A\in\mathcal{F}$, então $\mathbb{E}[X\mathds{1}_{A}]$ está definida.

Prove que, se $X$ é integrável $A\in\mathcal{F}$, então $X\mathds{1}_{A}$ é integrável.

Seja $X$ uma variável aleatória tal que $\mathbb{E}X$ está definida. Defina

onde $a\in\mathbb{R}$ é constante. Mostre que $\mathbb{E}Y\leqslant\mathbb{E}X$.

Seja $X$ uma variável aleatória não-degenerada tal que $\mathbb{P}(a\leqslant X\leqslant b)=1$. Mostre que $a<\mathbb{E}X<b$.

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias. Mostre que:

1. (a)
   ​

   Se $\mathbb{E}X$ está definida, então $|\mathbb{E}X|\leqslant\mathbb{E}|X|$;

2. (b)
   ​

   Se $X$ é integrável, então $\mathbb{E}[X-\mathbb{E}X]=0$;

3. (c)
   ​

   Se $0\leqslant|X|\leqslant Y$ q.c. e $Y$ é integrável, então $X$ é integrável.

Sejam $X$ uma variável aleatória e $p>0$ tais que $z^{p}\mathbb{P}(|X|>z)\leqslant M$ para todo $z>0$. Mostre que $\mathbb{E}|X|^{q}<\infty$ para todo $q\in[0,p)$. Dê um exemplo ilustrando que é possível termos $\mathbb{E}|X|^{p}=+\infty$.

Seja $U\sim\mathcal{U}[0,1]$ e defina $X_{n}=n\mathds{1}_{\{0<U\leqslant\frac{1}{n}\}}$.

1. (a)
   ​

   A sequência $(X_{n})_{n}$ satisfaz às hipóteses dos Teoremas da Convergência Monótona ou Dominada?

2. (b)
   ​

   Calcule $\lim_{n}\mathbb{E}X_{n}$ e $\mathbb{E}[\lim_{n}X_{n}]$.

Sejam $X$ uma variável aleatória integrável e $(A_{n})_{n}$ uma sequência de eventos tal que $A_{n}\downarrow\emptyset$. Mostre que $\lim_{n}\mathbb{E}[X\mathds{1}_{A_{n}}]=0.$

Sejam $(X_{n})_{n}$ e $X$ variáveis aleatórias tais que $X_{n}\downarrow X\geqslant 0$ q.c. e $X_{1}$ é integrável. Mostre que $\mathbb{E}X_{n}\to\mathbb{E}X$.

Sejam $(X_{n})_{n}$ e $X$ variáveis aleatórias tais que $\mathbb{P}(X_{n}\to X)=1$ e existe $M\in\mathbb{R}$ tal que $|X_{n}|\leqslant M$ q.c. para todo $n$. Mostre que $\mathbb{E}X_{n}\to\mathbb{E}X$.

Dê um exemplo de uma sequência de variáveis aleatórias $(X_{n})_{n}$ tal que

e ambos os lados da equação acima estejam bem definidos.

Seja $X\sim\mathcal{U}[-1,1]$. Considerando os eventos $A_{1}=\{X\geqslant 0\}$ e $A_{2}=\{X<0\}$, calcule

1. (a)
   ​

   A distribuição condicional de $X$ dado $A_{1}$.

2. (b)
   ​

   A distribuição condicional de $X$ dado $A_{2}$.

3. (c)
   ​

   $\mathbb{E}[X|A_{1}]$.

4. (d)
   ​

   $\mathbb{E}[X|A_{2}]$.

Seja $X$ uma variável aleatória exponencial com parâmetro $\lambda$. Encontre $\mathbb{E}\left[X\,|\,X>2\right]$.

Se $X\sim\mathop{\mathrm{Geom}}\nolimits(p)$, encontre $\mathbb{E}\left[X\,|\,X>5\right]$.

Seja $f:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ uma função mensurável. Suponha que $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu$ esteja definida. Mostre que $|\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu|\leqslant\int_{\Omega}|f|\,\mathrm{d}\mu$.

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ um espaço de medida e $f:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ uma função mensurável. Prove que $f$ é integrável se, e somente se, $\int_{\Omega}|f|\,\mathrm{d}\mu<\infty$.

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ um espaço de medida e $f,g:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ funções mensuráveis. Suponha que $|f|\leqslant g$ e $g$ é integrável. Mostre que $f$ é integrável.

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ um espaço de medida, $f:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ uma função mensurável e $A\in\mathcal{F}$.

1. (a)
   ​

   Prove que, se $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu$ está definida, então $\int_{\Omega}f\mathds{1}_{A}\,\mathrm{d}\mu$ está definida.

2. (b)
   ​

   Prove que, se $f$ é integrável, então $f\mathds{1}_{A}$ é integrável.

Mostre que a coleção de todas as funções mensuráveis e integráveis em $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ é um espaço vetorial real.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias estendidas não-negativas. Mostre que $\mathbb{E}[\sum_{n}X_{n}]=\sum_{n}\mathbb{E}X_{n}$.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência i.i.d. de variáveis aleatórias estendidas não-negativas com $\mathbb{E}X_{1}<\infty$. Mostre que $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{X_{n}}{n^{2}}<\infty$ quase certamente.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias estendidas tais que $\sum_{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty$. Mostre que a série $\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}$ converge quase certamente, e $\mathbb{E}[\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}]=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X_{n}$.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. com $\mathbb{P}(X_{1}=-1)=\mathbb{P}(X_{1}=0)=\mathbb{P}(X_{1}=+1)=\tfrac{1}{3}$. Calcule $\mathbb{E}[\liminf_{n}X_{n}]$ e $\liminf_{n}\mathbb{E}X_{n}$. Existe alguma generalização do Lema de Fatou que poderia aplicar-se aqui?

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ espaço de medida, onde $\mu$ é a medida de contagem, e $f:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ uma função mensurável. Mostre que, se $\int_{\Omega}f\mathrm{d}\mu$ existe e é finita, então $\{\omega\in\Omega:f(\omega)\neq 0\}$ é enumerável.

Seja $Y$ a variável aleatória definida no Exemplo 3.34. Calcule $\mathbb{E}Y^{2}$.

Sejam $\mu_{1}$ e $\mu_{2}$ medidas $\sigma$-finitas tais que $\mu_{2}$ tenha densidade $f$ com respeito a $\mu_{1}$. Mostre que, se $f>0$ q.t.p., então $\frac{1}{f}$ é uma densidade de $\mu_{1}$ com respeito a $\mu_{2}$.

Considere o espaço mensurável $(\mathbb{N},\mathcal{P}(\mathbb{N}))$ e a medida de Dirac $\delta_{k}$ no ponto $k\in\mathbb{N}$, como definida no Exemplo 1.46. Determine uma função $f:\mathbb{N}\to[0,+\infty]$ que corresponda à derivada de Radon-Nikodým $\frac{\mathrm{d}\delta_{k}}{\mathrm{d}\nu}$, onde $\nu$ denota a medida de contagem em $\mathbb{N}$.

Mostre que duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ são independentes se, e somente se, $\mathbb{P}_{X,Y}=\mathbb{P}_{X}\otimes\mathbb{P}_{Y}$.

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias independentes. Prove que

Dica: Use o Teorema de Tonelli e algumas mudanças de variáveis.

Sejam $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1},\mu_{1})$ e $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2},\mu_{2})$ espaços de medida, onde $\Omega_{1}=\Omega_{2}=[0,1]$, $\mathcal{F}_{1}=\mathcal{F}_{2}=\mathcal{B}([0,1])$, $\mu_{1}$ é a medida de Lebesgue e $\mu_{2}$ é a medida da contagem. Seja $f:\Omega_{1}\times\Omega_{2}\to\mathbb{R}$ definida por $f(\omega_{1},\omega_{2})=\mathds{1}_{\{\omega_{1}=\omega_{2}\}}$. Calcule

Vale o Teorema de Tonelli? Por quê?