11.6 Distribuição condicional regular

Na Seção 11.4, definimos $\mathbb{E}[X|Y]$ para quaisquer variáveis aleatórias $X$ e $Y$ com $X$ integrável ou não-negativa, mas não dissemos como calculá-la. A Seção 11.2 se restringe ao caso em que ambas as variáveis são discretas. A Seção 11.3 descreve o caso de variáveis com densidade conjunta, porém sem fornecer demonstrações rigorosas das propriedades enunciadas. O objetivo agora é dar um significado preciso à noção de distribuição condicional de $X$ dado $Y$ no caso geral, unificando a abordagem das seções anteriores.

O seguinte teorema será demonstrado no Apêndice D.6.

O conteúdo desta seção é baseado nas seguintes observações.

Primeiro, caso $X$ e $Y$ sejam discretas, a equação acima se reduz a (11.21), portanto, (11.19) fornece de fato uma distribuição condicional regular.

Segundo, quando $Y$ é absolutamente contínua, a equação acima se reduz a (11.28) fazendo mudança de medida. Se $X$ e $Y$ têm densidade conjunta, podemos deduzir, a partir de (11.29), que vale (11.28) para todos $B,C\in\mathcal{B}$ e, portanto, a definição (11.27) resulta em uma distribuição condicional regular.

Terceiro, podemos definir $\mathbb{E}[X|Y=y]$ a partir de $\mathbb{P}_{X|Y}$, e usá-la para construir $\mathbb{E}[X|Y]$ explicitamente, obtendo uma versão concreta que satisfaz às duas propriedades do Teorema 11.39. Suponha que $X$ seja integrável ou não-negativa. Veremos logo abaixo que $\int_{\mathbb{R}}x\,\mathbb{P}_{X|Y}(\mathrm{d}x|y)$ está definida para $\mathbb{P}_{Y}$-quase todo $y$. Portanto, podemos definir

nos pontos $y$ para os quais a integral está definida, e $\mathbb{E}[X|Y=y]=0$ caso contrário. Fazendo mudança de medida, a fórmula acima se reduz a (11.34) caso $Y$ tenha densidade, ou (11.15) caso seja discreta. Definimos $\mathbb{E}[X|Y]$ como a variável aleatória que assume o valor $\mathbb{E}[X\,|\,Y=y]$ no evento $\{Y=y\}$, como havíamos feito nas Seções 11.2 e 11.3, ou seja,

quase certamente, o que também será justificado logo abaixo. Essa versão de $\mathbb{E}[X|Y]$ goza de todas as propriedades vistas na Seção 11.4. Em particular, $\mathbb{E}X=\mathbb{E}\big{[}\mathbb{E}[X|Y]\big{]}$ e com isso justificamos também (11.37).

Por último, a definição acima pode parecer demasiado abstrata e, mesmo sabendo que sempre existe uma distribuição condicional regular, isso não diz como encontrá-la. Mencionamos de passagem que uma forma explícita de se obter uma distribuição condicional regular seria a seguinte. Primeiro, calculamos

para os pontos $y\in\mathbb{R}$ onde a expressão acima está bem definida e resulta em uma função de distribuição na variável $x$.¹⁸¹⁸ 18 É importante tomar o limite primeiro em $n$ e depois em $z$; caso contrário, $F_{X|Y}(\cdot|y)$ pode não ser uma função de distribuição para nenhum $y\in\mathbb{R}$, como podemos ver tomando $X=Y\sim\mathcal{N}(0,1)$. Nesse exemplo, teríamos “$F_{X|Y}(z|z)=\frac{1}{2}$” para todo $z\in\mathbb{R}$ (verifique!). Depois, definimos $\mathbb{P}_{X|Y}(\cdot|y)$ como sendo a única medida tal que $\mathbb{P}_{X|Y}\big{(}(-\infty,x]\,\big{|}\,y\big{)}=F_{X|Y}(x|y)$ para todo $x$. Entretanto, essa forma não é a mais recomendada, nem do ponto de vista teórico, nem do prático. Isso porque a fórmula (11.60) está na forma “diferencial”, já que o limite em $n$ nos dá uma “derivada” na variável $y$, enquanto a fórmula no item (3) está na forma integral, o que é bem mais robusto. Na prática, é melhor encontrar um candidato ad hoc para a distribuição condicional regular e verificar que ele satisfaz à Definição 11.56 (o limite acima pode nos ajudar a adivinhar quem deveria ser o candidato). Foi exatamente o que fizemos mais acima para justificar a fórmula (11.26). Ao final desta seção, veremos alguns casos onde $\mathbb{P}_{X|Y}$ pode ser descrito de forma mais explícita.

Passemos agora a justificar (11.59). Começamos por um teorema muito útil, que também será demonstrado no Apêndice D.6.

Observe que (11.62) implica imediatamente a condição (3), tomando-se $g(x,y)=\mathds{1}_{B}(x)\mathds{1}_{C}(y)$. Esse teorema nos diz que essas duas condições são, na verdade, equivalentes.

Finalmente, observamos que $\int_{\mathbb{R}}x\,\mathbb{P}_{X|Y}(\mathrm{d}x|y)$ está mesmo definida para $\mathbb{P}_{Y}$-quase todo $y\in\mathbb{R}$. Com efeito, sendo $X$ integrável ou não-negativa, vale $\mathbb{E}X^{-}<\infty$ e, pelo Teorema 11.61, temos, para $\mathbb{P}_{Y}$-quase todo $y$, que $\int_{\mathbb{R}}x^{-}\,\mathbb{P}_{X|Y}(\mathrm{d}x|y)<\infty$, donde segue que $\int_{\mathbb{R}}x\,\mathbb{P}_{X|Y}(\mathrm{d}x|y)$ está definida. Finalmente, substituindo $f(x,y)=x^{\pm}$ no Corolário 11.63, obtemos $\mathbb{E}[X^{\pm}|Y]=\int_{\mathbb{R}}x^{\pm}\,\mathbb{P}_{X|Y}(\mathrm{d}x|Y)$ quase certamente, sendo que $\int_{\mathbb{R}}x^{-}\,\mathbb{P}_{X|Y}(\mathrm{d}x|Y)<\infty$ q.c. Subtraindo a parte negativa da parte positiva, obtemos (11.59).

Veremos agora como se apresenta a distribuição condicional regular de $X$ dado $Y$ em alguns casos especiais, além dos casos quando ambas são discretas ou possuem densidade conjunta, que vimos nas Seções 11.2 e 11.3.