11.1 Esperança condicional dada uma partição

Muitas vezes conseguimos dividir $\Omega$ em pedaços que podem ser estudados separadamente para depois ver-se o todo. Nesta seção vamos trabalhar com partições finitas, isto é, partições da forma $\mathcal{D}=\{D_{1},D_{2},\dots,D_{m}\}$ para algum $m\in\mathbb{N}$ .

Exemplo 11.1.

Sejam $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ variáveis aleatórias assumindo valores em $\{-1,1\}$ . O espaço $\Omega$ pode ser dividido em quatro eventos onde ambas $X_{1}$ e $X_{2}$ são constantes. ∎

Recordemos a definição de esperança condicional de uma variável aleatória simples $X$ dado um evento $A$ , vista na Seção 5.4:

\mathbb{E}[X|A]=\sum_{x}x\cdot\mathbb{P}(X=x|A).

Definição 11.2 (Esperança condicional dada uma partição).

Sejam $X$ uma variável aleatória simples e $\mathcal{D}$ uma partição finita de $\Omega$ . Definimos a esperança condicional de $X$ dado $\mathcal{D}$ , denotada por $\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]$ , como sendo a variável aleatória dada por

\mathbb{E}[X|\mathcal{D}](\omega)=\sum_{k}\mathbb{E}[X|D_{k}]\,\mathds{1}_{D_{%k}}(\omega).

Ou seja, para cada $D\in\mathcal{D}$ , a variável aleatória $\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]$ assume o valor $\mathbb{E}[X|D]$ quando $D$ ocorre.

A esperança condicional $\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]$ é a uma aproximação para $X$ que depende apenas da informação relacionada à partição $\mathcal{D}$ . Ela é grosseira o suficiente para atender à restrição de ser constante no eventos de $\mathcal{D}$ , mas fina o suficiente para ser a melhor entre todas as aproximações sujeitas a essa restrição. Veja a Figura 11.1.

Figura 11.1: Ilustração da definição de esperança condicional.

Exemplo 11.3.

Um dado honesto é lançado. Seja $X$ o valor exibido pelo dado e defina a partição $\mathcal{D}=\{\{X\text{ \'{e} par}\},\{X\mbox{ \'{e} \'{\i}mpar}\}\}$ . Neste caso,

\mathbb{E}[X|\mathcal{D}](\omega)=\begin{cases}\mathbb{E}[X|X\text{ \'{e} par}%],&\mbox{se $X(\omega)$ \'{e} par},\\\mathbb{E}[X|X\text{ \'{e} \'{\i}mpar}],&\mbox{se $X(\omega)$ \'{e} \'{\i}mpar%}.\end{cases}

Assim,

\mathbb{E}[X|\mathcal{D}](\omega)=\begin{cases}4,&\text{se $X(\omega)$ \'{e} %par},\\3,&\text{se $X(\omega)$ \'{e} \'{\i}mpar}.\end{cases}\qed

Proposição 11.4 (Propriedades da esperança condicional).

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias simples, $\mathcal{D}$ uma partição finita de $\Omega$ e $a,b\in\mathbb{R}$ . Então valem as seguintes propriedades:

(a)

$\mathbb{E}[a\,|\,\mathcal{D}]=a$ .
(b)

Se $X\leqslant Y$ , então $\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]\leqslant\mathbb{E}[Y|\mathcal{D}]$ .
(c)

$\mathbb{E}[aX+bY|\mathcal{D}]=a\,\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]+b\,\mathbb{E}[Y|%\mathcal{D}]$ .

Demonstração.

A prova é baseada no fato de que essas mesmas propriedades valem quando condicionamos a um evento $D$ fixo. Com efeito, $\mathbb{E}[a|\mathcal{D}]=\sum_{k}\mathbb{E}[a|D_{k}]\mathds{1}_{D_{k}}=a\sum_%{k}\mathds{1}_{D_{k}}=a$ , $\mathbb{E}[aX+bY|\mathcal{D}]=\sum_{k}\mathbb{E}[aX+bY|D_{k}]\mathds{1}_{D_{k}%}=a\sum_{k}\mathbb{E}[X|D_{k}]\mathds{1}_{D_{k}}+b\sum_{k}\mathbb{E}[Y|D_{k}]%\mathds{1}_{D_{k}}=a\,\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]+b\,\mathbb{E}[Y|\mathcal{D}]$ e, se $X\leqslant Y$ , vale $\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]=\sum_{k}\mathbb{E}[X|D_{k}]\mathds{1}_{D_{k}}%\leqslant\sum_{k}\mathbb{E}[Y|D_{k}]\mathds{1}_{D_{k}}=\mathbb{E}[Y|\mathcal{D}]$ . ∎

Teorema 11.5 (Esperança iterada).

Sejam $X$ uma variável aleatória simples e $\mathcal{D}$ uma partição finita. Então

\mathbb{E}X=\mathbb{E}\left[\mathclap{\phantom{\big{|}}}\mathbb{E}[X|\mathcal{%D}]\right].

Demonstração.

Expandindo a definição de $\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]$ , obtemos

	$\displaystyle\mathbb{E}\left[\mathbb{E}[X\|\mathcal{D}]\right]$	$\displaystyle=\textstyle\mathbb{E}\left[\sum_{k}\mathbb{E}[X\|D_{k}]\,\mathds{1%}_{D_{k}}\right]=\sum_{k}\mathbb{E}[X\|D_{k}]\,\mathbb{P}(D_{k})$
		$\displaystyle=\textstyle\sum_{k}\mathbb{E}[X\cdot\mathds{1}_{D_{k}}]=\mathbb{E%}[X\cdot\sum_{k}\mathds{1}_{D_{k}}]=\mathbb{E}X,$

sendo que a terceira igualdade segue da Proposição 5.54. ∎

Exemplo 11.6.

No lançamento do dado considerado no Exemplo 11.3,

\mathbb{E}X=\mathbb{E}\big{[}\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]\big{]}=\frac{1}{2}4+%\frac{1}{2}3=\frac{7}{2}.\qed

Definição 11.7.

Seja $\mathcal{D}=\{D_{1},\dots,D_{m}\}$ uma partição finita e $X$ uma variável aleatória simples. Dizemos que $X$ é $\mathcal{D}$ -mensurável se existem números $x_{1},\dots,x_{m}$ , não necessariamente distintos, tais que

X=\sum_{k}x_{k}\mathds{1}_{D_{k}}.

A equação acima diz que $X$ é constante nos eventos de $\mathcal{D}$ , o que também interpretamos como que a informação sobre $\mathcal{D}$ determina o valor de $X$ .

Observe que $\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]$ sempre é $\mathcal{D}$ -mensurável.

O teorema a seguir diz que, se uma dada variável aleatória é $\mathcal{D}$ -mensurável, então ela sai da esperança condicional como se fosse uma constante.

Teorema 11.8.

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias simples e $\mathcal{D}$ uma partição finita. Se $Y$ é $\mathcal{D}$ -mensurável, então

\mathbb{E}[XY|\mathcal{D}]=Y\cdot\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]

e, em particular, $\mathbb{E}[Y|\mathcal{D}]=Y$ .

Demonstração.

Escrevendo $Y=\sum_{j}y_{j}\mathds{1}_{D_{j}}$ , para cada $j$ fixado, vale a identidade

\mathbb{E}[XY|D_{j}]=\mathbb{E}[y_{j}X|D_{j}]=y_{j}\mathbb{E}[X|D_{j}],

donde $\mathbb{E}[XY|\mathcal{D}]=Y\cdot\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]$ para todo $\omega\in D_{j}$ . Como isso vale para todo $j$ , vale a identidade para todo $\omega\in\Omega$ . ∎

Observação 11.9 (Melhor aproximação na média quadrática).

Vejamos que $\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]$ é a melhor aproximação $\mathcal{D}$ -mensurável para $X$ , no sentido de que, dentre todas as variáveis aleatórias $Z$ que são $\mathcal{D}$ -mensuráveis, é a que minimiza o erro quadrático médio $\mathbb{E}|Z-X|^{2}$ . Com efeito, tomando $W=\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]$ , mostraremos que $\mathbb{E}|X-W|^{2}\leqslant\mathbb{E}|X-Z|^{2}$ para toda variável $Z$ , $\mathcal{D}$ -mensurável. Expandindo e usando o Teorema 11.8 duas vezes,

	$\displaystyle\mathbb{E}[(X-Z)^{2}\|\mathcal{D}]-\mathbb{E}[(X-W)^{2}\|\mathcal{D%}]-\mathbb{E}[(Z-W)^{2}\|\mathcal{D}]$
	$\displaystyle=2\mathbb{E}[(X-W)(W-Z)\,\|\,\mathcal{D}]$
	$\displaystyle=2(W-Z)(\mathbb{E}[X\|\mathcal{D}]-\mathbb{E}[W\|\mathcal{D}])$
	$\displaystyle=2(W-Z)(\mathbb{E}[X\|\mathcal{D}]-W)=0,$

pois $W-Z$ e $W$ são $\mathcal{D}$ -mensuráveis. Tomando esperança na equação acima,

\mathbb{E}(X-Z)^{2}=\mathbb{E}(X-W)^{2}+\mathbb{E}(Z-W)^{2}\geqslant\mathbb{E}%(X-W)^{2}.\qed

Observamos que a esperança condicional $\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]$ é a única variável aleatória $\mathcal{D}$ -mensurável tal que

\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]\mathds{1}_{B}]=\mathbb{E}[X\mathds{1}_{B}]

(11.10)

para todo $B\in\mathcal{D}$ . A unicidade aqui é no sentido de que qualquer outra variável aleatória cumprindo essas duas condições tem que ser necessariamente igual a $\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]$ exceto nos eventos de $\mathcal{D}$ que tenham probabilidade zero.

As principais propriedades da esperança condicional podem ser obtidas diretamente a partir desta caracterização de $\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]$ . Veremos como essa definição alternativa ajuda na prova do teorema abaixo.

Dadas duas partições $\mathcal{C}$ e $\mathcal{D}$ , dizemos que $\mathcal{D}$ é mais fina que $\mathcal{C}$ , denotado por $\mathcal{D}\succcurlyeq\mathcal{C}$ , se para todo $D\in\mathcal{D}$ existe $C\in\mathcal{C}$ tal que $D\subseteq C$ . Isso significa que $\mathcal{D}$ tem “mais informação” do que $\mathcal{C}$ , pois os eventos de $\mathcal{D}$ formam uma subdivisão dos eventos de $\mathcal{C}$ .

Teorema 11.11 (Esperança condicional iterada).

Sejam $X$ uma variável aleatória simples e $\mathcal{C}$ e $\mathcal{D}$ partições finitas de $\Omega$ . Se $\mathcal{D}\succcurlyeq\mathcal{C}$ , então

(1)

$\mathbb{E}\left[\mathbb{E}[X|\,\mathcal{C}\,]\big{|}\mathcal{D}\,\right]=%\mathbb{E}[\,X|\,\mathcal{C}\,]$ quase certamente,
(2)

$\mathbb{E}\left[\mathbb{E}[X|\mathcal{D}\,]\big{|}\,\mathcal{C}\,\right]=%\mathbb{E}[\,X|\,\mathcal{C}\,]$ quase certamente.

A propriedade acima é ilustrada na Figura 11.2.

Figura 11.2: Diagrama ilustrando a esperança condicional iterada.

Demonstração.

Para clarificar a notação, denotamos $Y=\mathbb{E}[X|\mathcal{D}]$ e $Z=\mathbb{E}[X|\mathcal{C}]$ . Para o item (1), como $Z$ é $\mathcal{C}$ -mensurável e $\mathcal{D}\succcurlyeq\mathcal{C}$ , segue que $Z$ é $\mathcal{D}$ -mensurável, donde $\mathbb{E}[Z|\mathcal{D}]=Z$ . Provemos agora o item (2). Seja $A\in\mathcal{C}$ . Pela definição de $Z$ , temos $\mathbb{E}[Z\mathds{1}_{A}]=\mathbb{E}[X\mathds{1}_{A}].$ Por outro lado, $A=B_{1}\cup\dots\cup B_{k}$ , com $B_{1},\dots,B_{k}\in\mathcal{D}$ e, pela definição de $Y$ , temos $\mathbb{E}[X\mathds{1}_{B_{j}}]=\mathbb{E}[Y\mathds{1}_{B_{j}}]$ para $j=1,\dots,k$ . Somando sobre $j$ , obtemos $\mathbb{E}[X\mathds{1}_{A}]=\mathbb{E}[Y\mathds{1}_{A}].$ Como $Z$ é $\mathcal{C}$ -mensurável e $\mathbb{E}[Z\mathds{1}_{A}]=\mathbb{E}[Y\mathds{1}_{A}]$ para todo $A\in\mathcal{C}$ , concluímos que $Z=\mathbb{E}[Y|\mathcal{C}]$ q.c. pela observação acima. ∎

	$\displaystyle\mathbb{E}[(X-Z)^{2}\|\mathcal{D}]-\mathbb{E}[(X-W)^{2}\|\mathcal{D%}]-\mathbb{E}[(Z-W)^{2}\|\mathcal{D}]$
	$\displaystyle=2\mathbb{E}[(X-W)(W-Z)\,\|\,\mathcal{D}]$
	$\displaystyle=2(W-Z)(\mathbb{E}[X\|\mathcal{D}]-\mathbb{E}[W\|\mathcal{D}])$
	$\displaystyle=2(W-Z)(\mathbb{E}[X\|\mathcal{D}]-W)=0,$