11.7 Exercícios

Seja $X$ uma variável aleatória simples definida em $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ e $\mathcal{D}$ uma partição finita de $\Omega$. Definimos a variância condicional de $X$ dada a partição $\mathcal{D}$ como:

Mostre que

e

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias simples definidas em $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ e $\mathcal{D}$ uma partição finita de $\Omega$. Mostre que

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias simples definidas em $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ e $\mathcal{D}$ uma partição finita de $\Omega$. Mostre que, se

então $\mathbb{P}(X=Y)=1$. Dica: Desenvolva $\mathbb{E}(X-Y)^{2}$.

Prove que, se $X_{1},\dots,X_{m}$ são simples e i.i.d., e $N$ toma valores em $\{0,\dots,m\}$ e é independente de $X_{1},\dots,X_{m}$, então

onde $S_{N}=X_{1}+\dots+X_{N}$ e $S_{0}=0$.

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias simples e i.i.d. Mostre que

Dê um exemplo de variáveis aleatórias simples $X$ e $Y$ que não são independentes mas, mesmo assim, $\mathbb{E}[X|Y]=\mathbb{E}X$.

Dadas duas variáveis aleatórias simples $X$ e $Y$, e $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, mostre que $\mathbb{E}\big{[}g(Y)\mathbb{E}[X|Y]\big{]}=\mathbb{E}[Xg(Y)]$.

Um número não-negativo $Y$ é escolhido com densidade $f_{Y}(y)=ye^{-y}$ para $y>0$. Se $Y=y$, um número $X$ é escolhido uniformemente no intervalo $\left[0,y\right]$.

1. (a)
   ​

   Descreva $f_{X|Y}$.

2. (b)
   ​

   Encontre $f_{X,Y}$.

3. (c)
   ​

   Encontre $f_{X}$.

4. (d)
   ​

   Encontre $f_{Y|X}$.

5. (e)
   ​

   Calcule $\mathbb{P}(X+Y\leqslant 2)$.

Para $X$ e $Y$ definidas no Exemplo 11.30, calcule $\mathbb{E}\left[X|Y\right]$.

Seja $(X,Y)$ um vetor aleatório com densidade conjunta dada por

Calcule $\mathbb{E}[X^{2}|Y=y]$.

Refaça os exercícios de §11.1 acima, supondo que $X$ e $Y$ têm segundo momento finito e usando uma $\sigma$-álgebra $\mathcal{G}$ no lugar de uma partição $\mathcal{D}$.

1. (a)
   ​

   Suponha que $(X,Y)\sim(Y,X)$ e que $X$ seja integrável. Mostre que

   $$\mathbb{E}[X|X+Y]=\mathbb{E}[Y|X+Y].$$
2. (b)
   ​

   Sejam $X_{1},\dots,X_{n}$ i.i.d. e integráveis, e $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}$. Mostre que

   $$\mathbb{E}[X_{1}|S_{n}]=\frac{S_{n}}{n}.$$

Dica: Expresse as esperanças como integrais de Lebesgue em $\mathbb{R}^{2}$ ou $\mathbb{R}^{n}$.

Mostre que, se $X$ é integrável, então $\mathbb{E}[|\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]|]\leqslant\mathbb{E}|X|$.

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias com segundo momento finito. Mostre que $\mathop{\mathbf{Cov}}\nolimits(X,\mathbb{E}[Y|X])=\mathop{\mathbf{Cov}}\nolimits(X,Y)$.

Sejam $X_{1},X_{2},\dots$ variáveis aleatórias i.i.d. positivas. Suponha que $X_{1}$ e $\frac{1}{X_{1}}$ são integráveis, e defina $S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}$.

1. (a)
   ​

   Mostre que $\frac{1}{S_{n}}$ é integrável.

2. (b)
   ​

   Calcule $\mathbb{E}[\frac{X_{1}}{S_{n}}]$.

3. (c)
   ​

   Calcule $\mathbb{E}[\frac{S_{m}}{S_{n}}]$ para $1\leqslant m\leqslant n$.

Sejam $\lambda,\nu$ e $\mu$ medidas $\sigma$-finitas definidas no mesmo espaço mensurável $(\Omega,\mathcal{F})$. Mostre que

1. (a)
   ​

   Se $\lambda\ll\mu$ e $\nu\ll\mu$, então $(\lambda+\nu)\ll\mu$ e

   $$\frac{\mathrm{d}(\lambda+\nu)}{\mathrm{d}\mu}=\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}\mu}+\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}.$$
2. (b)
   ​

   Se $\nu\ll\mu$ e $c>0$, então $(c\nu)\ll\mu$ e

   $$\frac{\mathrm{d}(c\nu)}{\mathrm{d}\mu}=c\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}.$$
3. (c)
   ​

   Se $\lambda\ll\nu$ e $\nu\ll\mu$, então $\lambda\ll\mu$ e

   $$\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}\mu}=\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}\nu}\cdot\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}.$$

Sejam $\mu$ e $\nu$ medidas definidas no mesmo espaço mensurável $(\Omega,\mathcal{F})$.

1. (a)
   ​

   Suponha que, para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que $\nu(A)<\varepsilon$ para todo $A\in\mathcal{F}$ com $\mu(A)<\delta$. Mostre que $\nu\,\!\ll\mu$.

2. (b)
   ​

   Mostre que a recíproca também é válida se $\nu(\Omega)<\infty$.

   Dica: Suponha que a propriedade $\varepsilon$-$\delta$ não é válida, tome uma sequência adequada $(A_{k})_{k}$ de subconjuntos, defina $B_{n}=\cup_{k\geqslant n}A_{k}$ e $A=\cap_{n}B_{n}$ para mostrar $\nu\,\not\!\ll\mu$.

3. (c)
   ​

   Mostre que a recíproca pode ser falsa sem a hipótese de que $\nu(\Omega)<\infty$.

   Sugestão: Considere $\Omega=\mathbb{N}$, $\nu=\sum_{n}\delta_{n}$ e $\mu=\sum_{n}n^{-2}\delta_{n}$.

Rita lança uma moeda, cuja probabilidade de sair cara é $p$, indefinidamente até obter a primeira cara; após isto ela irá receber uma quantia cuja distribuição é exponencial com parâmetro igual ao número de lançamentos da moeda. Calcule a esperança da quantia recebida por Rita.

Joga-se um dado, depois uma moeda, depois o dado novamente e segue-se alternando entre o dado e a moeda. Quando se obtém cara na moeda, o jogo é imediatamente interrompido e conta-se o total $Z$ de pontos obtidos nos lançamentos do dado. Calcule $\mathbb{E}Z$.

O número de passageiros que chegam ao ponto do ônibus 409 durante o intervalo de tempo $[0,t]$ tem distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda t$. O tempo $T$ de chegada do próximo ônibus tem distribuição exponencial com parâmetro $\alpha$. Mas precisamente, a distribuição condicional do número $N$ de passageiros que chegam ao ponto antes do próximo ônibus dado que $T=t$ é $\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits(\lambda t)$. Mostre que $N+1\sim\mathop{\mathrm{Geom}}\nolimits(\frac{\alpha}{\lambda+\alpha})$.

Suponha que $\mathbb{P}_{X|Y}(B|y)=\mathbb{P}_{X}(B)$ para todo $B\in\mathcal{B}$ e todo $y\in\mathbb{R}$. Mostre que $X$ e $Y$ são independentes.

Seja $\mathbb{P}_{X|Y}$ uma distribuição condicional regular e $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ uma função mensurável. Defina $Z=f(X,Y)$. Mostre que

é uma distribuição condicional regular de $Z$ dado $Y$.
Dica: Use $g(x,y)=\mathds{1}_{B}(f(x,y))\cdot\mathds{1}_{C}(y)$.

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias independentes. Prove que

Dica: Use o exercício anterior e esperança iterada.

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias, onde $X$ é discreta e $Y$ tem função de densidade $f_{Y}(y)$. Seja $f_{Y|X}(y|x)$ uma densidade condicional regular de $Y$ dado $X$, isto é, $f_{Y|X}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ é mensurável, e $\mathbb{P}_{Y|X}(B|x)=\int_{B}f_{Y|X}(y|x)\mathrm{d}y$ define uma distribuição condicional regular. Defina a função

para todo $y$ tal que $f_{Y}(y)>0$, e $p_{X|Y}(x|y)=p_{X}(x)$ se $f_{Y}(y)=0$. Mostre que $\mathbb{P}_{X|Y}$, definida como $\mathbb{P}_{X|Y}(B|y)=\sum_{x\in B}p_{X|Y}(x|y)$, resulta em uma distribuição condicional regular.