10.2 Função característica

Do ponto de vista teórico, a função característica é bem mais robusta e funcional do que a função geradora de momentos: está definida para qualquer distribuição, sempre determina a distribuição, determina também a convergência em distribuição e, não bastasse, ainda gera momentos. Entretanto, a função característica envolve a manipulação de números complexos. Ressaltamos, porém, que o estudo de funções características não requer conhecimentos de cálculo em uma variável complexa. Isso porque as integrais são calculadas em $\mathrm{d}x$ para $x\in\mathbb{R}$ e não em $\mathrm{d}z$ para caminhos $\gamma\subseteq\mathbb{C}$ .

Definição 10.14 (Variável aleatória complexa).

Uma variável aleatória complexa é uma função $Z:\Omega\to\mathbb{C}$ tal que $Z=X+i\,Y$ , onde $X$ e $Y$ são variáveis aleatórias reais. Se $X$ e $Y$ são integráveis, dizemos que $Z$ é integrável e definimos

\mathbb{E}Z=\mathbb{E}X+i\,\mathbb{E}Y.

A integração de funções complexas em domínios reais pode ser feita, para todos os fins práticos, como no caso real. Ou seja, se $F:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ satisfaz $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x)=f(x)$ para $x\in[a,b]$ , então

(10.15) (10.15)

\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a).

Vamos utilizar a fórmula de Euler, que define

e^{iy}=\cos y+i\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits y

para $y\in\mathbb{R}$ . Usaremos sem demonstração os seguintes fatos:

e^{z}=\sum_{n}\frac{z^{n}}{n!},\qquad e^{z+w}=e^{z}e^{w},

(e^{g})^{\prime}=e^{g}g^{\prime},\qquad\left(1+\frac{z_{n}}{n}\right)^{n}\to e% ^{z}\text{ se }z_{n}\to z,

onde $g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ é uma função diferenciável e $z,w,z_{n}\in\mathbb{C}$ .

Proposição 10.16.

Se $Z$ e $W$ são variáveis aleatórias complexas integráveis, então $Z+W$ é integrável com $\mathbb{E}[Z+W]=\mathbb{E}Z+\mathbb{E}W$ e, para $z\in\mathbb{C}$ , tem-se $zZ$ integrável com $\mathbb{E}[zZ]=z\,\mathbb{E}Z$ . Se, além disso, $Z$ e $W$ são independentes, então $ZW$ é integrável com $\mathbb{E}[ZW]=\mathbb{E}Z\cdot\mathbb{E}W$ .

Demonstração.

Sejam $z=x+iy\in\mathbb{C}$ , com $x,y\in\mathbb{R}$ , e $Z=X+i\,Y,\ W=A+iB$ com $X,Y,A$ e $B$ variáveis aleatórias reais integráveis. Observe que $Z+W=(X+A)+i(Y+B)$ e $zZ=(xX-yY)+i(xY+yX)$ . Logo, a integrabilidade de $Z+W$ e $zZ$ segue da integrabilidade de suas respectivas partes real e imaginária. Portanto,

\mathbb{E}[Z+W]=\mathbb{E}[X+A]+i\,\mathbb{E}[Y+B]=(\mathbb{E}X+i\,\mathbb{E}Y% )+(\mathbb{E}A+i\,\mathbb{E}B)=\mathbb{E}Z+\mathbb{E}W

\mathbb{E}[zZ]=\mathbb{E}[xX-yY]+i\,\mathbb{E}[xY+yX]=(x+iy)\mathbb{E}X+i(x+iy% )\mathbb{E}Y=z\,\mathbb{E}Z.

Se $Z$ e $W$ são independentes, então $(X,Y)$ e $(A,B)$ são independentes. Logo,

$\displaystyle\mathbb{E}[ZW]$	$\displaystyle=\mathbb{E}[XA-YB]+i\,\mathbb{E}[XB+YA]$
	$\displaystyle=\left(\mathbb{E}X\cdot\mathbb{E}A-\mathbb{E}Y\cdot\mathbb{E}B% \right)+i\left(\mathbb{E}X\cdot\mathbb{E}B+\mathbb{E}Y\cdot\mathbb{E}A\right)$
	$\displaystyle=\ \left(\mathbb{E}X+i\,\mathbb{E}Y\right)\left(\mathbb{E}A+i\,% \mathbb{E}B\right)=\mathbb{E}Z\cdot\mathbb{E}W,$

onde a hipótese de independência foi usada na segunda igualdade. ∎

Proposição 10.17.

Se $\mathbb{E}|Z|<\infty$ , então $Z$ é integrável e $|\mathbb{E}Z|\leqslant\mathbb{E}|Z|$ .

Demonstração.

Escreva $Z=X+i\,Y$ . Como $|X|\leqslant|Z|$ e $|Y|\leqslant|Z|$ , segue que $X$ e $Y$ são integráveis, logo $Z$ é integrável. Se $\mathbb{E}Z\in\mathbb{R}$ , então $|\mathbb{E}Z|=|\mathbb{E}X|\leqslant\mathbb{E}|X|\leqslant\mathbb{E}|Z|$ . No caso geral, escrevemos $|\mathbb{E}Z|=w\,\mathbb{E}Z$ , com $|w|=1$ , de forma que $\mathbb{E}[wZ]=w\,\mathbb{E}Z=|\mathbb{E}Z|\in\mathbb{R}$ e, pelo caso anterior, $|\mathbb{E}Z|=|w\,\mathbb{E}Z|=|\mathbb{E}[wZ]|\leqslant\mathbb{E}|wZ|=\mathbb% {E}|Z|$ . ∎

A seguir, definiremos a função característica de uma variável aleatória.

Definição 10.18 (Função característica).

A função característica de uma variável aleatória $X$ , denotada por $\varphi_{X}$ , é a função $\varphi_{X}:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ definida como

\varphi_{X}(t)=\mathbb{E}[e^{itX}]=\mathbb{E}[\cos(tX)]+i\,\mathbb{E}[\mathop{% \mathrm{sen}}\nolimits(tX)],\quad t\in\mathbb{R}.

Observe que a função característica de uma variável aleatória depende, de fato, apenas de sua distribuição. Quando a variável for absolutamente contínua com função densidade $f$ , sua função característica é simplesmente a transformada de Fourier da função $f$ .

Observação 10.19.

Como $|e^{itX}|=1$ , $\varphi_{X}(t)$ está definida para todo $t\in\mathbb{R}$ . ∎

Exemplo 10.20 (Uniforme).

Se $X\sim\mathcal{U}[a,b]$ , então

$\displaystyle\varphi_{X}(t)$	$\displaystyle=\mathbb{E}[e^{itX}]=\mathbb{E}[\cos(tX)]+i\,\mathbb{E}[\mathop{% \mathrm{sen}}\nolimits(tX)]$
	$\displaystyle=\int_{a}^{b}\cos(tx)\frac{1}{b-a}\mathrm{d}x+i\int_{a}^{b}% \mathop{\mathrm{sen}}\nolimits(tx)\frac{1}{b-a}\mathrm{d}x$
	$\displaystyle=\frac{\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits(tb)-\mathop{\mathrm{sen}}% \nolimits(ta)}{t(b-a)}-i\frac{\cos(tb)-\cos(ta)}{t(b-a)}$
	$\displaystyle=\frac{-ie^{itb}+ie^{ita}}{t(b-a)}=\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}.$

Ou, usando (10.15):

\displaystyle\varphi_{X}(t)

\displaystyle=\int_{a}^{b}\frac{e^{itx}}{b-a}\mathrm{d}x=\frac{e^{itb}-e^{ita}% }{it(b-a)}.\qed

Exemplo 10.21 (Poisson).

Se $X\sim\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits(\lambda)$ , então:

\displaystyle\varphi_{X}(t)

\displaystyle=\mathbb{E}[e^{itX}]=\sum_{n=0}^{\infty}e^{itn}\frac{e^{-\lambda}% \lambda^{n}}{n!}=e^{-\lambda}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{({e^{it}\lambda})^{n}}{n% !}=e^{-\lambda}e^{e^{it}\lambda}=e^{\lambda(e^{it}-1)}.\qed

Exemplo 10.22 (Geométrica).

Se $X\sim\mathop{\mathrm{Geom}}\nolimits(p)$ , então

\displaystyle\varphi_{X}(t)

\displaystyle=\sum_{n=1}^{\infty}e^{itn}\cdot p(1-p)^{n-1}=e^{it}p\sum_{m=0}^{% \infty}[(e^{it})(1-p)]^{m}=\frac{p}{e^{-it}+p-1}.\qed

Proposição 10.23.

Para todo $t\in\mathbb{R}$ , vale $|\varphi_{X}(t)|\leqslant 1$ . Além disso, $\varphi(0)=1$ . Ademais, $\varphi_{aX+b}(t)=e^{itb}\varphi_{X}(at)$ para $a,b\in\mathbb{R}$ .

Demonstração.

Basta observar que

|\varphi_{X}(t)|=|\mathbb{E}[e^{itX}]|\leqslant\mathbb{E}|e^{itX}|=\mathbb{E}[% \mathop{\mathrm{sen}}\nolimits^{2}(tX)+\cos^{2}(tX)]=1,

\varphi_{X}(0)=\mathbb{E}[e^{0}]=1,

\varphi_{aX+b}(t)=\mathbb{E}[e^{it(aX+b)}]=e^{itb}\,\mathbb{E}[e^{itaX}]=e^{% itb}\varphi_{X}(at).\qed

Proposição 10.24.

A função $\varphi_{X}$ é uniformemente contínua.

Demonstração.

Vamos estimar $|\varphi_{X}(t)-\varphi_{X}(s)|$ por

$\displaystyle\|\varphi_{X}(t)-\varphi_{X}(s)\|$	$\displaystyle=\|\mathbb{E}[e^{itX}]-\mathbb{E}[e^{isX}]\|$
	$\displaystyle\leqslant\mathbb{E}[\|e^{itX}-e^{its}\|]$
	$\displaystyle=\mathbb{E}[\|e^{i(t-s)X}-1\|].$

Escrevendo $g(h)=\mathbb{E}[|e^{ihX}-1|]$ , temos que mostrar que $\lim_{h\to 0}g(h)=0$ . Seja $h_{n}\to 0$ . Como $|e^{ihX}-1|\leqslant 2$ , pelo Teorema da Convergência Dominada,

\lim_{n}g(h_{n})=\lim_{n}\mathbb{E}[|e^{ih_{n}X}-1|]=\mathbb{E}[|e^{0}-1|]=0,

concluindo a prova. ∎

Proposição 10.25 (Independência).

Se $X$ e $Y$ são independentes, então

\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_{X}(t)\cdot\varphi_{Y}(t)

para todo $t\in\mathbb{R}$ .

Demonstração.

Observe que, se $X$ e $Y$ são independentes, então $e^{itX}$ e $e^{itY}$ também o são. Logo, podemos escrever

\varphi_{X+Y}(t)=\mathbb{E}[e^{it(X+Y)}]=\mathbb{E}\left[e^{itX}e^{itY}\right]% =\varphi_{X}(t)\cdot\varphi_{Y}(t),

onde a independência foi utilizada na última igualdade. ∎

Proposição 10.26 (Cálculo de Momentos).

Se $\mathbb{E}|X^{k}|<\infty$ , então $\varphi_{X}$ tem $k$ -ésima derivada e

\varphi^{(k)}_{X}(0)=i^{k}\,\mathbb{E}X^{k}.

Demonstração.

Assim como fizemos para a função geradora de momentos, gostaríamos de derivar dentro da esperança, de modo que possamos escrever

(10.27) (10.27)

\varphi^{(k)}_{X}(t)=\mathbb{E}[i^{k}X^{k}e^{itX}],

obtendo, assim, $\varphi^{(k)}_{X}(0)=i^{k}\,\mathbb{E}X^{k}$ . Vamos mostrar, por indução em $k$ , que, se $\mathbb{E}|X^{k}|<\infty$ , então vale (10.27) para todo $t\in\mathbb{R}$ .

O caso $k=0$ é trivial. Suponha que a afirmação vale para algum $k$ , e seja $X$ tal que $\mathbb{E}|X^{k+1}|<\infty$ . Observe que $\mathbb{E}|X^{k}|<\infty$ , pois $|x^{k}|\leqslant 1+|x^{k+1}|$ , logo vale (10.27). Defina $f(t,x)=i^{k}x^{k}e^{itx}$ . Observe que

\Big{\lvert}\tfrac{\partial}{\partial t}f(t,X)\Big{\rvert}=|i^{k+1}X^{k+1}e^{% itX}|=|X^{k+1}|,

e este último é integrável por hipótese. Pelo Teorema 5.49,

\varphi^{(k+1)}_{X}(t)=\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\varphi^{(k)}_{X}(t)=% \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbb{E}[i^{k}X^{k}\,e^{itX}]=\mathbb{E}[i^{k% +1}X^{k+1}\,e^{itX}]

para todo $t\in\mathbb{R}$ , o que conclui a prova por indução. ∎

Exemplo 10.28 (Momentos da Poisson).

Calculando os momentos da Poisson:

\mathbb{E}X=-i\,\varphi_{X}^{\prime}(0)=\lambda,

\mathbb{E}X^{2}=-\varphi_{X}^{\prime\prime}(0)=\lambda^{2}+\lambda,

\mathbb{V}X=\mathbb{E}X^{2}-(\mathbb{E}X)^{2}=\lambda.\qed

Exemplo 10.29 (Normal).

Se $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ , então $\varphi_{X}(t)=e^{-\frac{t^{2}}{2}}$ . Usando (10.27), podemos derivar dentro da integral e, integrando por partes, obtemos

\varphi^{\prime}_{X}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{ixe^{itx-\frac{x^{2}}{2}% }}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{i^{2}te^{itx-\frac{x^% {2}}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{d}x=-t\,\varphi_{X}(t).

As soluções da equação $\varphi^{\prime}_{X}(t)=-t\,\varphi_{X}(t)\ \forall t\in\mathbb{R}$ são dadas por $\varphi_{X}(t)=c\,e^{-\frac{t^{2}}{2}}$ , com $c\in\mathbb{C}$ , pois $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[e^{t^{2}/2}\varphi_{X}(t)]=0$ . Avaliando no ponto $t=0$ , obtemos $\varphi_{X}(t)=e^{-\frac{t^{2}}{2}}$ , como anunciado acima.

Ademais, se $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$ , então $\varphi_{X}(t)=e^{it\mu-\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}$ pela Proposição 10.23. ∎

Corolário 10.30 (Expansão de Taylor).

Se $\mathbb{E}|X^{k}|<\infty$ , então

$\displaystyle\varphi_{X}(t)$	$\displaystyle=\varphi_{X}(0)+\varphi_{X}^{\prime}(0)\cdot t+\varphi_{X}^{% \prime\prime}(0)\,\frac{t^{2}}{2}+\varphi_{X}^{\prime\prime\prime}(0)\,\frac{t% ^{3}}{6}+\cdots+\varphi_{X}^{(k)}\,\frac{t^{k}}{k!}+r_{k}(t)$
	$\displaystyle=1+i\mathbb{E}X\cdot t-\frac{\mathbb{E}X^{2}}{2}t^{2}-i\frac{% \mathbb{E}X^{3}}{6}t^{3}+\cdots+i^{k}\frac{\mathbb{E}X^{k}}{k!}t^{k}+r_{k}(t),$

onde o resto $r_{k}(t)$ satisfaz $\frac{r_{k}(t)}{t^{k}}\to 0$ quando $t\to 0$ .

Demonstração.

Imediato da Proposição 10.26 e Teorema A.6. ∎

Outra grande utilidade da função característica é que permite determinar a distribuição de determinada variável aleatória. Enunciaremos agora este fato, mas sua prova será dada na seção seguinte.

Teorema 10.31 (Teorema da Unicidade).

Se duas variáveis aleatórias têm a mesma função característica, então têm a mesma distribuição.

Exemplo 10.32 (Soma de variáveis Poisson independentes).

Se $X\sim\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits(\lambda)$ e $Y\sim\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits(\mu)$ são independentes, então

\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_{X}(t)\cdot\varphi_{Y}(t)=e^{\lambda(e^{it}-1)}e^{\mu% (e^{it}-1)}=e^{(\lambda+\mu)(e^{it}-1)}=\varphi_{Z}(t),

onde $Z\sim\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits(\lambda+\mu)$ . Portanto, $X+Y\sim\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits(\lambda+\mu)$ . ∎

A seguir enunciaremos uma versão simplificada do mais importante teorema deste capítulo, o Teorema da Continuidade de Lévy, que relaciona convergência de funções características com a convergência em distribuição estudada no Capítulo 7. Daremos alguns exemplos de sua grande aplicabilidade. Na Seção 10.3, enunciaremos e provaremos uma versão um pouco mais geral que a enunciada abaixo.

Teorema 10.33 (Teorema da Continuidade de Lévy).

Sejam $X$ e $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ variáveis aleatórias. Então, $X_{n}$ converge em distribuição para $X$ se, e somente se, $\varphi_{X_{n}}(t)\to\varphi_{X}(t)$ para todo $t\in\mathbb{R}.$

Como exemplos da força do Teorema da Continuidade, forneceremos novas provas da convergência de binomial a Poisson, da Lei Fraca dos Grandes Números e do Teorema do Limite Central para o caso i.i.d.

Exemplo 10.34 (Binomial Converge para Poisson).

Seja $\lambda>0$ e para $n>\lambda^{-1}$ considere $X_{n}\sim\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(n,\frac{\lambda}{n})$ . Então, $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}\mathop{\mathrm{Poisson}}% \nolimits(\lambda).$ Com efeito, analisando a função característica das $X_{n}$ , obtemos $\varphi_{X_{n}}(t)=[1+\tfrac{\lambda}{n}(e^{it}-1)]^{n}\to e^{\lambda(e^{it}-1% )}=\varphi_{X}(t)$ , onde $X\sim\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits(\lambda)$ . ∎

Exemplo 10.35 (Lei Fraca dos Grandes Números para o caso i.i.d.).

Faremos uma demonstração curta do Teorema 8.3. Como as $X_{n}$ são i.i.d.,

\varphi_{\frac{S_{n}}{n}}(t)=\varphi_{{S_{n}}}(\tfrac{t}{n})=\varphi_{{X_{1}}}% (\tfrac{t}{n})\cdots\varphi_{{X_{n}}}(\tfrac{t}{n})=\left[\varphi_{X_{1}}\left% (\tfrac{t}{n}\right)\right]^{n}=\left[1+i\frac{\mu t}{n}+r_{1}\left(\tfrac{t}{% n}\right)\right]^{n},

onde $r_{1}(\cdot)$ é tal que $\frac{r_{1}(w)}{w}\to 0$ quando $w\to 0$ . Segue que $\varphi_{\frac{S_{n}}{n}}(t)\to e^{it\mu}$ quando $n\to\infty$ , para todo $t\in\mathbb{R}$ . Pelo Teorema da Continuidade de Lévy, $\frac{S_{n}}{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}\mu$ . Como $\mu$ é constante, segue da Proposição 7.36 que $\frac{S_{n}}{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}\mu$ . ∎

Exemplo 10.36 (Teorema do Limite Central).

Faremos uma demonstração curta do Teorema 9.1. Supomos sem perda de generalidade que $\mu=0$ . Como as $X_{n}$ são i.i.d.,

\varphi_{\frac{S_{n}}{\sigma\sqrt{n}}}(t)=\varphi_{S_{n}}(\tfrac{t}{\sigma% \sqrt{n}})=\left[\varphi_{X_{1}}\left(\tfrac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]^% {n}=\left[1-\frac{t^{2}}{2n}+r_{2}\left(\tfrac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right% ]^{n},

onde $r_{2}(\cdot)$ é tal que $\frac{r_{2}(w)}{w^{2}}\to 0$ quando $w\to 0$ . Segue que $\varphi_{\frac{S_{n}}{\sigma\sqrt{n}}}(t)\to e^{-\frac{t^{2}}{2}}$ quando $n\to\infty$ , para todo $t\in\mathbb{R}$ . Como $e^{-t^{2}/2}$ é a função característica de uma normal padrão (Exemplo 10.29), pelo Teorema da Continuidade de Lévy, segue que $\frac{S_{n}}{\sigma\sqrt{n}}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}\mathcal{% N}(0,1)$ . ∎

$\displaystyle\|\varphi_{X}(t)-\varphi_{X}(s)\|$	$\displaystyle=\|\mathbb{E}[e^{itX}]-\mathbb{E}[e^{isX}]\|$
	$\displaystyle\leqslant\mathbb{E}[\|e^{itX}-e^{its}\|]$
	$\displaystyle=\mathbb{E}[\|e^{i(t-s)X}-1\|].$