10.3 Unicidade e convergência

Nesta seção, provaremos o Teorema da Unicidade e o Teorema da Continuidade de Lévy. A maior parte desta seção será uma continuação da Seção 7.4, em que vamos estabelecer propriedades de convergência em distribuição de variáveis aleatórias análogas às de convergência de números reais.

Teorema 10.37 (Teorema da Seleção de Helly).

Dada uma sequência $(F_{n})_{n}$ de funções de distribuição, existem uma subsequência $(F_{n_{k}})_{k}$ , e uma função $F:\mathbb{R}\to[0,1]$ não-decrescente e contínua à direita, tais que $F_{n_{k}}(x)\to F(x)$ quando $k\to\infty$ , para todo $x$ ponto de continuidade de $F$ .

Demonstração.

Seja $B=\{r_{1},r_{2},r_{3},\dots\}$ um conjunto denso em $\mathbb{R}$ . Como $(F_{n}(r_{1}))_{n}$ é uma sequência limitada ao intervalo $[0,1]$ , existe uma subsequência $(n^{1}_{j})_{j}$ de $\mathbb{N}$ tal que $\smash{F_{n^{1}_{j}}(r_{1})\to G(r_{1})}$ , quando $j\to\infty$ , para algum número $G(r_{1})\in[0,1]$ . Da mesma maneira, existe uma subsequência $(n^{2}_{j})_{j}$ de $(n^{1}_{j})_{j}$ tal que $\smash{F_{n^{2}_{j}}(r_{2})\to G(r_{2})}$ para algum número $G(r_{2})\in[0,1]$ . Por conveniência, podemos supor que $n^{2}_{1}=n^{1}_{1}$ e $n^{2}_{2}=n^{1}_{2}$ . Prosseguindo recursivamente, para todo $k\in\mathbb{N}$ existe $(n^{k}_{j})_{j}$ subsequência de $(n^{k-1}_{j})_{j}$ tal que $n^{k}_{l}=n^{k-1}_{l}$ para $l=1,\dots,k$ e tal que $\smash{F_{n^{k}_{j}}(r_{k})\to G(r_{k})}$ para algum número $G(r_{k})\in[0,1]$ . A subsequência $(n_{j})_{j}$ desejada é definida tomando-se $n_{j}=n^{j}_{j}$ para todo $j\in\mathbb{N}$ . Observe que, para cada $k\in\mathbb{N}$ , $(n_{j})_{j}$ é subsequência de $(n^{k}_{j})_{j}$ , donde $F_{n_{j}}(r_{k})\to G(r_{k})$ quando $j\to\infty$ . Ademais, $G:B\to[0,1]$ é não-decrescente.

Defina $F(x)=\inf\{G(r):r\in B,r>x\}$ . Note que $F$ é não-decrescente por inclusão, e é contínua à direita, pois $\inf A_{n}\downarrow\inf A$ sempre que $A_{n}\uparrow A\subseteq\mathbb{R}$ . Resta mostrar que $F_{n_{j}}(x)\to F(x)$ para todo ponto $x$ onde $F$ é contínua. Sejam $\varepsilon>0$ e $x\in\mathbb{R}$ ponto de continuidade. Tome $\delta>0$ tal que $F(x)-\varepsilon<F(x-\delta)\leqslant F(x+\delta)<F(x)+\varepsilon$ , e tome $r^{\prime},r^{\prime\prime}\in B$ tais que $x-\delta<r^{\prime}<x<r^{\prime\prime}<x+\delta$ . Pela definição de $F$ e como $G$ é não-decrescente, $F(x-\delta)\leqslant G(r^{\prime})\leqslant F(x)\leqslant G(r^{\prime\prime})% \leqslant F(x+\delta)$ . Daí segue que, para todo $j$ suficientemente grande, $F(x)-\varepsilon<F_{n_{j}}(r^{\prime})\leqslant F_{n_{j}}(r^{\prime\prime})<F(% x)+\varepsilon$ e, como a função $F_{n_{j}}$ é não-decrescente, $F(x)-\varepsilon<F_{n_{j}}(x)<F(x)+\varepsilon$ ; o que conclui esta demonstração. ∎

Observe que o Teorema de Seleção de Helly não garante que a função limite $F$ seja uma função de distribuição. Intuitivamente, isso pode falhar porque é possível deixar massa escapar ao infinito. Por exemplo, se $X_{n}\sim\mathcal{U}[-n,2n]$ , então $F_{X_{n}}(x)\to\frac{1}{3}$ para todo $x\in\mathbb{R}$ . A função limite $F$ é não-decrescente e contínua à direita, mas não é função de distribuição pois $\lim_{x\to\pm\infty}F(x)=\frac{1}{3}$ . Nesse exemplo, podemos pensar que $\frac{1}{3}$ da massa escapou para $-\infty$ e $\frac{2}{3}$ da massa escaparam para $+\infty$ . Por isso, introduzimos a seguinte definição.

Definição 10.38.

Dada uma sequência $(X_{n})_{n}$ de variáveis aleatórias, dizemos que a sequência está confinada se, para todo $\varepsilon>0$ , existe um conjunto compacto $K$ tal que $\mathbb{P}(X_{n}\not\in K)<\varepsilon$ para todo $n\in\mathbb{N}$ .

Podemos agora enunciar o seguinte corolário do Teorema de Seleção de Helly.

Corolário 10.39.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência confinada de variáveis aleatórias. Então, existem uma subsequência $(X_{n_{k}})_{k}$ e uma variável aleatória $X$ tais que $X_{n_{k}}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ .

Demonstração.

Sejam $(F_{n})_{n}$ as respectivas funções de distribuição de $(X_{n})_{n}$ . Pelo Teorema da Seleção de Helly, existem uma subsequência $(F_{n_{k}})_{k}$ e uma função $F:\mathbb{R}\to[0,1]$ não-decrescente e contínua à direita tais que $F_{n_{k}}(x)\to F(x)$ para todo $x$ ponto de continuidade de $F$ . Para que $F$ seja de fato uma função de distribuição, basta que ela satisfaça $\lim_{x\to+\infty}\left(F(x)-F(-x)\right)=1$ . Seja $\varepsilon>0$ . Tome $M$ tal que $\mathbb{P}(|X_{n}|>M)\leqslant\varepsilon$ para todo $n$ e tal que $\pm M$ sejam pontos de continuidade de $F$ . Então, $F(M)-F(-M)=\lim_{n}F_{n}(M)-F_{n}(-M)\geqslant 1-\varepsilon$ , o que conclui a prova. ∎

Como no caso de sequências de números determinísticos, podemos usar o corolário acima para obter outro que permitirá estabelecer convergência de uma sequência olhando para subsequências.

Corolário 10.40.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência confinada de variáveis aleatórias. Suponha que exista uma variável aleatória $X$ tal que $X_{n_{k}}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ para qualquer subsequência $(X_{n_{k}})_{k}$ que convirja em distribuição. Então, $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ .

Demonstração.

Seja $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ contínua e limitada. Pelo Teorema de Helly-Bray, basta mostrar que a sequência numérica $(\mathbb{E}[g(X_{n})])_{n}$ converge para $\mathbb{E}[g(X)]$ . Para isso, basta mostrar que toda subsequência $(\mathbb{E}[g(X_{n_{k}})])_{k}$ tem uma subsubsequência $(\mathbb{E}[g(X_{n_{k_{j}}})])_{j}$ que converge para $\mathbb{E}[g(X)]$ (veja Teorema A.8). Seja $(n_{k})_{k}$ uma tal subsequência. Pelo Corolário 10.39, existe uma subsubsequência $(n_{k_{j}})_{j}$ tal que $(X_{n_{k_{j}}})_{j}$ converge em distribuição para alguma variável aleatória. Por hipótese, essa variável aleatória é $X$ , ou seja, $X_{n_{k_{j}}}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ . Pelo Teorema de Helly-Bray, $(\mathbb{E}[g(X_{n_{k_{j}}})])_{j}\to\mathbb{E}[g(X)]$ , como queríamos demonstrar. ∎

De volta à função característica, gostaríamos de um critério para mostrar que uma dada sequência de variáveis aleatórias está confinada.

Lema 10.41.

Seja $X$ uma variável aleatória. Para todo $\delta>0$ , vale a estimativa $\mathbb{P}\big{(}|X|\geqslant\tfrac{2}{\delta}\big{)}\leqslant\frac{2}{\delta}% \int_{0}^{\delta}\mathbb{E}[1-\cos(tX)]\mathrm{d}t.$

Demonstração.

Comutando a esperança e a integral,

$\displaystyle\frac{1}{\delta}\int_{0}^{\delta}\mathbb{E}\left[1-\cos(tX)\right% ]\mathrm{d}t$	$\displaystyle=\mathbb{E}\left[\frac{1}{\delta}\int_{0}^{\delta}\left[1-\cos(tX% )\right]\mathrm{d}t\right]=\mathbb{E}\left[1-\tfrac{\mathop{\mathrm{sen}}% \nolimits(\delta X)}{\delta X}\right]$
	$\displaystyle\geqslant\mathbb{E}\left[\left(1-\tfrac{\mathop{\mathrm{sen}}% \nolimits(\delta X)}{\delta X}\right)\mathds{1}_{\{\|X\|\geqslant\frac{2}{\delta% }\}}\right]\geqslant\tfrac{1}{2}\mathbb{P}\big{(}\|X\|\geqslant\tfrac{2}{\delta}% \big{)},$

pois $1-\frac{\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits u}{u}\geqslant 0$ para todo $u\neq 0$ e $1-\frac{\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits u}{u}\geqslant\frac{1}{2}$ se $|u|\geqslant 2$ . Comutar a esperança e a integral está justificado pelo Teorema de Tonelli. ∎

A proposição abaixo, junto com o Teorema da Unicidade, permite usar funções características para identificar um limite em distribuição.

Proposição 10.42.

Se $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ , então $\varphi_{X_{n}}(t)\to\varphi_{X}(t)$ para todo $t\in\mathbb{R}$ .

Demonstração.

Seja $t\in\mathbb{R}$ . Como $\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits(tx)$ e $\cos(tx)$ são funções contínuas e limitadas de $x$ , segue do Teorema de Helly-Bray que $\mathbb{E}[\cos(tX_{n})]\to\mathbb{E}[\cos(tX)]$ e $\mathbb{E}[\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits(tX_{n})]\to\mathbb{E}[\mathop{% \mathrm{sen}}\nolimits(tX)]$ , donde $\varphi_{X_{n}}(t)\to\varphi_{X}(t)$ . ∎

Agora estamos prontos para mostrar o Teorema da Continuidade de Lévy. Na verdade, enunciaremos e provaremos abaixo uma versão um pouco mais forte que aquela enunciada na seção anterior. Ela nos diz que basta que a sequência de funções características $(\varphi_{X_{n}})_{n}$ convirja para uma função que seja contínua em $t=0$ , e isto já será suficiente para garantir que o limite das funções características também seja uma função característica. Esta última será a função característica de uma variável aleatória $X$ que será o limite em distribuição da sequência $(X_{n})_{n}$ .

Teorema 10.43 (Teorema da Continuidade de Lévy).

Sejam $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ variáveis aleatórias e $(\varphi_{X_{n}})_{n\in\mathbb{N}}$ suas respectivas funções características. Se existe $\lim_{n}\varphi_{X_{n}}(t)=\varphi(t)$ para todo $t$ real e $\varphi$ é contínua em $t=0$ , então existe uma variável aleatória $X$ , tal que $\varphi=\varphi_{X}$ e $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ .

Demonstração.

Do Lema 10.41 e do Teorema da Convergência Dominada,

$\displaystyle\mathbb{P}\big{(}\|X_{n}\|\geqslant\tfrac{2}{\delta}\big{)}$	$\displaystyle\leqslant\tfrac{2}{\delta}\int_{0}^{\delta}\mathbb{E}\left[1-\cos% (tX_{n})\right]\mathrm{d}t$
	$\displaystyle=\tfrac{2}{\delta}\int_{0}^{\delta}\left[1-\Re\varphi_{X_{n}}(t)% \right]\mathrm{d}t\to\tfrac{2}{\delta}\int_{0}^{\delta}[1-\Re\varphi(t)]% \mathrm{d}t$

para todo $\delta>0$ . Seja $\varepsilon>0$ . Como $\varphi$ é contínua em $t=0$ , podemos tomar $\delta_{0}>0$ tal que $|1-\Re\varphi(t)|<\tfrac{\varepsilon}{2}$ para todo $t\in[0,\delta_{0}]$ . Assim podemos tomar $n_{0}$ tal que $\mathbb{P}(|X_{n}|\geqslant 2\delta^{-1}_{0})<\varepsilon$ para todo $n>n_{0}$ . Para cada $n\leqslant n_{0}$ , sempre existe $\delta_{n}>0$ tal que $\mathbb{P}(|X_{n}|\geqslant 2\delta^{-1}_{n})<\varepsilon$ . Tomando $\delta=\min\{\delta_{0},\delta_{1},\dots,\delta_{n_{0}}\}$ , obtemos $\mathbb{P}(|X_{n}|\geqslant 2\delta^{-1})<\varepsilon$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Portanto, a sequência $(X_{n})_{n}$ está confinada.

Pelo Corolário 10.39, existem uma variável aleatória $X$ e uma subsequência $(X_{n_{k}})_{k}$ tais que $X_{n_{k}}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ . Pela Proposição 10.42, $\varphi_{X}=\varphi$ . Agora seja $X_{n_{k}^{\prime}}$ outra subsequência que converge em distribuição para alguma $X^{\prime}$ . Novamente, pela Proposição 10.42, $\varphi_{X^{\prime}}=\varphi$ e, pelo Teorema de Unicidade, $X^{\prime}\sim X$ . Pelo Corolário 10.40, $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ , concluindo a prova. ∎

Ficou faltando apenas demonstrar o Teorema de Unicidade.

Prova do Teorema de Unicidade.

Basta mostrar que, dados $a,b\in\mathbb{R}$ , vale $\mathbb{P}(a\leqslant X\leqslant b)=\mathbb{P}(a\leqslant Y\leqslant b)$ , pois segue que $F_{X}=F_{Y}$ tomando-se $a\downarrow-\infty$ . Para isso, vamos aproximar $\mathds{1}_{[a,b]}$ por uma combinação de funções trigonométricas e usar a hipótese de que $\varphi_{X}=\varphi_{Y}$ .

Sejam $-\infty<a<b<\infty$ e $\varepsilon>0$ . Tome $f^{\varepsilon}(x):\mathbb{R}\to[0,1]$ contínua tal que $f(x)=1$ para $x\in[a,b]$ e $f(x)=0$ para $x\not\in[a-\varepsilon,b+\varepsilon]$ . Seja $n>|a|+|b|+\varepsilon$ . Note que $f^{\varepsilon}$ é uma função contínua em $[-n,n]$ e $f^{\varepsilon}(-n)=f^{\varepsilon}(n)=0$ .

Pela versão trigonométrica do Teorema de Weierstrass (Teorema A.15), $f^{\varepsilon}$ pode ser aproximada em $[-n,n]$ por polinômios trigonométricos. Em particular, existem $m\in\mathbb{N}$ e $a_{-m},\dots,a_{m}\in\mathbb{C}$ tais que a função

f^{\varepsilon}_{n}(x)=\sum_{k=-m}^{m}a_{k}e^{i\tfrac{k\pi}{n}x}

assume valores reais e satisfaz

(10.44) (10.44)

\sup_{x\in[-n,n]}|f^{\varepsilon}_{n}(x)-f^{\varepsilon}(x)|\leqslant\tfrac{1}% {n}\quad\text{ e }\quad\sup_{x\in\mathbb{R}}|f^{\varepsilon}_{n}(x)|\leqslant 2,

onde a segunda estimativa acima segue da primeira e do fato que $f_{n}^{\varepsilon}$ é uma função periódica de período $2n$ . Tomando-se a esperança,

(10.45) (10.45)

\mathbb{E}[f_{n}^{\varepsilon}(X)]=\sum_{k=1}^{m}a_{k}\varphi_{X}(\tfrac{k\pi}% {n})=\sum_{k=1}^{m}a_{k}\varphi_{Y}(\tfrac{k\pi}{n})=\mathbb{E}[f_{n}^{% \varepsilon}(Y)].

Observe que

\displaystyle\mathbb{P}(a\leqslant X\leqslant b)\leqslant\mathbb{E}[f^{% \varepsilon}(X)]\leqslant\mathbb{E}[f_{n}^{\varepsilon}(X)]+\tfrac{1}{n}+2\,% \mathbb{P}(|X|\geqslant n)\ \ \text{ e}

\displaystyle\mathbb{P}(a-\varepsilon\leqslant Y\leqslant b+\varepsilon)% \geqslant\mathbb{E}[f^{\varepsilon}(Y)]\geqslant\mathbb{E}[f_{n}^{\varepsilon}% (Y)]-\tfrac{1}{n}-2\,\mathbb{P}(|Y|\geqslant n).

Em cada linha acima, a primeira desigualdade é devida à definição de $f^{\varepsilon}$ e a segunda segue das estimativas em (10.44). Substituindo a identidade (10.45), tomando $n\to\infty$ e depois $\varepsilon\downarrow 0$ , chegamos a $\mathbb{P}(a\leqslant X\leqslant b)\leqslant\mathbb{P}(a\leqslant Y\leqslant b)$ . De forma idêntica, provamos a desigualdade oposta, donde segue que $F_{X}=F_{Y}$ , concluindo a prova. ∎