10.5 Exercícios

Seja $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$.

1. (a)
   ​

   Mostre que, se $\mu=0$ e $\sigma=1$, então $M_{X}(t)=e^{\frac{t^{2}}{2}}$.

2. (b)
   ​

   Mostre que $M_{X}(t)=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}+\mu t}$.

3. (c)
   ​

   Use a função geradora de momentos para calcular $\mathbb{E}X$ e $\mathbb{V}X$.

Dica: $2tx-x^{2}=t^{2}-(x-t)^{2}$.

Seja $X\sim\mathcal{U}[a,b]$.

1. (a)
   ​

   Mostre que $M_{X}(t)=\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$.

2. (b)
   ​

   Use a função geradora de momentos para calcular $\mathbb{E}X$ e $\mathbb{V}X$.

Seja $X\sim\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(\lambda)$.

1. (a)
   ​

   Mostre que $M_{X}(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}$ para $t<\lambda$ e $M_{X}(t)=+\infty$ para $t\geqslant\lambda$.

2. (b)
   ​

   Use a função geradora de momentos para calcular $\mathbb{E}X$ e $\mathbb{V}X$.

Seja $Y$ uma variável aleatória absolutamente contínua com função de densidade dada por

Ache a função geradora de momentos de $Y$ e use-a para calcular $\mathbb{E}Y$ e $\mathbb{V}Y$.

Seja $X$ uma variável aleatória. Mostre que o conjunto $\{t\in\mathbb{R}:M_{X}(t)<\infty\}$ é um intervalo que contém o ponto $t=0$.

Seja $X\sim\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(\lambda)$, calcule $\varphi_{X}(t)$.

Sejam $X_{1}\sim\mathcal{N}(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$ e $X_{2}\sim\mathcal{N}(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$ independentes. Utilize funções características para mostrar que $X_{1}+X_{2}\sim\mathcal{N}(\mu_{1}+\mu_{2},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$.

Suponha que $\varphi_{X}(t)=e^{-|t|}$. Mostre que $X$ não é integrável.

Mostre que uma variável aleatória $X$ é simétrica, isto é, $X\sim-X$ se, e somente se, sua função característica é uma função real.

Dado $a>0$, qual é a variável aleatória cuja função característica é $\cos(at)$? Qual a variável aleatória cuja função característica é $\cos^{2}t$?

Sejam $X$ uma variável aleatória e $\varphi$ sua respectiva função característica.

1. (a)
   ​

   Mostre que, se existe $t_{0}\neq 0$ tal que $|\varphi(t_{0})|=1$, então existe $a\in\mathbb{R}$ tal que a distribuição de $X$ esteja concentrada nos números da forma $a+\frac{2\pi n}{t_{0}},\ n\in\mathbb{Z}$. Isto é, $\sum_{n\in\mathbb{Z}}\mathbb{P}(X=a+\tfrac{2\pi n}{t_{0}})=1.$

2. (b)
   ​

   Mostre que, se existe $\varepsilon>0$ tal que $|\varphi(t)|=1$ para todo $t\in(\varepsilon,+\varepsilon)$, então $X$ é degenerada.

Sejam $(X_{n})_{n}$ e $(\varphi_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias e suas respectivas funções características. Mostre que $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}0$ se, e somente se, existe $\varepsilon>0$ tal que $\varphi_{n}(t)\to 1$, quando $n\to\infty$, para todo $t\in(-\varepsilon,\varepsilon)$.

Suponha que $\int_{\mathbb{R}}|\varphi_{X}(t)|\,\mathrm{d}t<\infty$. Prove que $X$ é absolutamente contínua com densidade $f_{X}(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\varphi_{X}(t)\,\mathrm{d}t$.

Sejam $X,Y$ independentes com distribuição $\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(1)$ e defina $Z=X-Y$.

1. (a)
   ​

   Mostre que $\varphi_{Z}(t)=\varphi_{X}(t)\varphi_{Y}(-t)$ para todo $t\in\mathbb{R}$.

2. (b)
   ​

   Encontre $\varphi_{Z}$.

3. (c)
   ​

   Encontre $f_{Z}$.

4. (d)
   ​

   Prove que $\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\frac{1}{1+t^{2}}\,\mathrm{d}t=\frac{e^{-|x|}}{2}$.

Suponha que $X\sim\mathop{\mathrm{Cauchy}}\nolimits(0,1)$. Prove que $\varphi_{X}(t)=e^{-|t|}$.