12.4 Convergência quase certa de martingales

Nesta seção, veremos que supermartingales cujo primeiro momento é limitado têm que convergir quase certamente. A razão por trás disso é a seguinte. Para que o processo não convirja, deve haver uma faixa $[a,b]$ tal que ele assuma valores abaixo de $a$ e acima de $b$ infinitas vezes. Pensemos que um supermartingale reflete o preço de um ativo que, na média, não sobe. Se o preço desse ativo atravessasse a faixa $[a,b]$ muitas vezes, um investidor poderia acumular lucro comprando uma ação cada vez que o preço está abaixo de $a$ e vendendo essa ação cada vez que está acima de $b$ . Entretanto, como essa estratégia também resulta em um supermartingale, esse investidor ainda tem lucro médio negativo, o que implica que o preço desse ativo deve ser cada vez mais disperso, no sentido de que $\mathbb{E}|X_{n}|\to+\infty$ . Portanto, exceto nesse caso, o processo tem que convergir.

Teorema 12.27 (Teorema de Convergência de Martingales).

Seja $(X_{n})_{n}$ um supermartingale. Se $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty$ , então existe uma variável aleatória integrável $X_{\infty}$ tal que $X_{n}\to X_{\infty}$ quase certamente. Em particular, todo supermartingale não-negativo converge quase certamente.

Demonstração.

A maior parte da prova consiste em mostrar que

(12.28) (12.28)

\mathbb{P}\big{(}X_{n}\leqslant a\text{ i.v.\ e }X_{n}\geqslant b\text{ i.v.}% \big{)}=0

para todo par de números reais $a<b$ .

Sejam $a<b$ números reais. Analisemos a estratégia de comprar em baixa e vender em alta. Para isso, definimos os tempos de parada:

$\displaystyle\tau_{1}$	$\displaystyle=\min\{n\geqslant 0:X_{n}\leqslant a\},$	$\displaystyle\tau_{2}$	$\displaystyle=\min\{n>\tau_{1}:X_{n}\geqslant b\}$
$\displaystyle\tau_{2k+1}$	$\displaystyle=\min\{n>\tau_{2k}:X_{n}\leqslant a\},$	$\displaystyle\tau_{2k+2}$	$\displaystyle=\min\{n>\tau_{2k+1}:X_{n}\geqslant b\},$
	$\displaystyle\ \ \vdots$		$\displaystyle\ \ \vdots$

com a convenção de que $\min\emptyset=+\infty.$ Uma interpretação é que os tempos $\tau_{k}$ indicam os momentos de compra do ativo se $k$ for ímpar ou venda se for par. Definimos

Z_{n}=\begin{cases}1,&\text{ se }\tau_{k}<n\leqslant\tau_{k+1}\text{ e $k$ \'{% e} \'{\i}mpar},\\ 0,&\text{ se }\tau_{k}<n\leqslant\tau_{k+1}\text{ e $k$ \'{e} par},\end{cases}

com $\tau_{0}=0$ . Observe que $Z_{n}$ é $\mathcal{F}_{n-1}$ -mensurável, pois

\{Z_{n}=1\}=\bigcup_{k\text{ \'{\i}mpar}}\big{(}\{\tau_{k}\leqslant n-1\}\cap% \{\tau_{k+1}>n-1\}\big{)}.

Essa variável indica se o investidor possui uma ação do ativo $(X_{n})_{n}$ logo antes do instante $n$ .

Figura 12.1: Argumento de travessias ascendentes completas.

O processo

W_{n}=\sum_{j=1}^{n}Z_{j}\cdot(X_{j}-X_{j-1})

descreve a variação do capital entre os instantes $0$ e $n$ . Definimos, para cada $m\in\mathbb{N}$ ,

T_{m}=\max\{k:\tau_{2k}\leqslant m\},

que conta o numero de travessias ascendentes completas do processo $(X_{n})_{n}$ sobre o intervalo $[a,b]$ até o tempo $m$ . Observe que

W_{n}\geqslant(b-a)\,T_{n}-(X_{n}-a)^{-},

pois $(b-a)\,T_{n}$ é uma cota inferior para o lucro obtido com as vendas em alta e $[X_{n}-a]^{-}$ é uma cota superior para a perda acumulada desde a última compra, veja Figura 12.1.

Por outro lado, $(W_{n})_{n}$ também é supermartingale. Com efeito,

$\displaystyle\mathbb{E}\big{[}W_{n+1}-W_{n}\|\mathcal{F}_{n}\big{]}$	$\displaystyle=\mathbb{E}\big{[}Z_{n+1}(X_{n+1}-X_{n})\|\mathcal{F}_{n}\big{]}=$
	$\displaystyle\qquad=Z_{n+1}\cdot\mathbb{E}\big{[}X_{n+1}-X_{n}\|\mathcal{F}_{n}% \big{]}\leqslant 0,$

pois $Z_{n+1}\geqslant 0$ e $\mathbb{E}[X_{n+1}-X_{n}|\mathcal{F}_{n}]\leqslant 0$ q.c., já que $(X_{n})_{n}$ é um supermartingale. Logo, $\mathbb{E}W_{n}\leqslant\mathbb{E}W_{0}=0$ , donde concluímos que

\mathbb{E}T_{n}\leqslant\frac{\mathbb{E}(X_{n}-a)^{-}}{b-a}.

Definimos $T_{\infty}=\lim_{n}T_{n}$ , que conta as travessias ascendentes completas do processo $(X_{n})_{n}$ sobre o intervalo $[a,b]$ , sem limite de tempo. Pelo Teorema da Convergência Monótona,

\mathbb{E}(T_{\infty})=\lim_{n}\mathbb{E}T_{n}\leqslant\sup_{n}\frac{\mathbb{E% }(X_{n}-a)^{-}}{b-a}\leqslant\sup_{n}\frac{\mathbb{E}|X_{n}|+|a|}{b-a},

que é finito por hipótese. Sendo integrável, $T_{\infty}$ é finito quase certamente, o que prova (12.28).

Mostremos agora que $(X_{n})_{n}$ converge quase certamente. No evento $\{\liminf_{n}X_{n}<\limsup_{n}X_{n}\}$ , existem $a<b\in\mathbb{Q}$ tais que $X_{n}\leqslant a$ i.v. e $X_{n}\geqslant b$ i.v. Como $\mathbb{Q}^{2}$ é enumerável, por subaditividade, obtemos

\mathbb{P}(\liminf_{n}X_{n}<\limsup_{n}X_{n})\leqslant\sum_{a,b\in\mathbb{Q}}% \mathbb{P}\big{(}X_{n}\leqslant a\text{ i.v.\ e }X_{n}\geqslant b\text{ i.v.}% \big{)}=0.

Portanto, $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}X_{\infty}$ para alguma variável aleatória estendida $X_{\infty}$ . Pelo Lema de Fatou, $\mathbb{E}|X_{\infty}|\leqslant\liminf_{n}\mathbb{E}|X_{n}|\leqslant\sup_{n}% \mathbb{E}|X_{n}|<\infty.$ Ou seja, $|X_{\infty}|$ é integrável, logo quase certamente finito. ∎

Exemplo 12.29 (Processo de ramificação).

Seja $(X_{n,k})_{n,k\in\mathbb{N}}$ uma sequência duplamente indexada de variáveis aleatórias i.i.d. assumindo valores em $\mathbb{N}_{0}$ . Definimos a sequência de variáveis aleatórias $(Z_{n})_{n}$ , por

Z_{0}=1\quad\text{ e }\quad Z_{n}=\sum_{k=1}^{Z_{n-1}}X_{n,k},\ \text{ para % todo }n\in\mathbb{N}.

Podemos interpretar o processo $(Z_{n})_{n}$ como um modelo de crescimento populacional: cada indivíduo dá origem à próxima geração e logo desaparece, sendo que a prole gerada por cada indivíduo é independente dos demais e com a mesma distribuição. Deste modo, $Z_{n}$ é o número de indivíduos da $n$ -ésima geração. Gostaríamos de determinar se essa população se extingue ou não e, caso não se extingua, como cresce.

Para estudar o crescimento dessa população, vamos supor que as $X_{n,k}$ têm segundo momento finito, e denotar sua média por $\lambda=\mathbb{E}X_{1,1}$ , a variância por $\sigma^{2}=\mathbb{V}X_{1,1}$ e $p_{j}=\mathbb{P}(X_{1,1}=j)$ . Defina $\mathcal{F}_{n}=\sigma((X_{j,k})_{k\in\mathbb{N},j=1,\dots,n})$ e

M_{n}=\lambda^{-n}Z_{n}

para todo $n\in\mathbb{N}$ .

Afirmamos que $(M_{n})_{n}$ é um martingale com respeito a $(\mathcal{F}_{n})_{n}$ . Com efeito, $Z_{n}$ é mensurável com respeito a $\mathcal{F}_{n}$ e

\mathbb{E}[Z_{n+1}|\mathcal{F}_{n}]=\sum_{k\in\mathbb{N}}\mathbb{E}[X_{n+1,k}% \mathds{1}_{\{Z_{n}\geqslant k\}}|\mathcal{F}_{n}]=\sum_{k\in\mathbb{N}}% \lambda\mathds{1}_{\{Z_{n}\geqslant k\}}=\lambda Z_{n},

onde, na primeira igualdade, usamos que as variáveis envolvidas são não-negativas e, na segunda, usamos que $\{Z_{n}\geqslant k\}\in\mathcal{F}_{n}$ e que $X_{n+1,k}$ é independente de $\mathcal{F}_{n}$ . A independência entre $X_{n+1,k}$ e $\mathcal{F}_{n}$ é bastante óbvia, uma justificativa rigorosa será dada pelo Corolário 13.11.

Tomando a esperança na equação acima, $Z_{n+1}$ é integrável, pois $\mathbb{E}Z_{n+1}=\lambda\,\mathbb{E}Z_{n}=\dots=\lambda^{n+1}<\infty$ . Substituindo, obtemos $\mathbb{E}[M_{n+1}|\mathcal{F}_{n}]=\lambda^{-n-1}\lambda Z_{n}=M_{n}$ , provando que $(M_{n})_{n}$ é um martingale.

Passemos então a estudar o comportamento de $(Z_{n})_{n}$ em termos de $\lambda$ .

O caso $0\leqslant\lambda<1$ é o mais fácil. Como $\mathbb{P}(Z_{n}>0)=\mathbb{P}(Z_{n}\geqslant 1)\leqslant\mathbb{E}Z_{n}=% \lambda^{n}$ , temos que $Z_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$ quando $n\to\infty$ pelo Lema de Borel-Cantelli. Ou seja, a população se extinguirá quase certamente.

Consideremos agora o caso $\lambda=1$ . Se $p_{1}=1$ , então o processo $(Z_{n})_{n}$ se torna trivial com $Z_{n}=1$ para todo $n\in\mathbb{N}$ q.c. Supomos então que $p_{1}<1$ , que neste caso implica $p_{0}>0$ . Como $(Z_{n})_{n}$ é um martingale não-negativo, pelo Teorema de Convergência de Martingales, existe uma variável aleatória $Z_{\infty}$ , tal que $Z_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}Z_{\infty}$ . Como $Z_{n}$ é sempre um número inteiro, $Z_{n}=Z_{\infty}$ para todo $n$ grande, quase certamente. Por outro lado, como $p_{0}>0$ , temos $\mathbb{P}(Z_{n}=k,\ \text{para todo $n$ grande})=0$ para todo $k\in\mathbb{N}$ , pois $\mathbb{P}(Z_{n}=Z_{n+1}=\cdots=Z_{n+j}=k)\leqslant(1-{p_{0}}^{k})^{j}$ para todo $j$ . Portanto, $Z_{\infty}=0$ q.c., e a população se extinguirá nesse caso.

O caso $\lambda>1$ exige mais ferramentas. Pelo Teorema de Convergência de Martingales, $M_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}M_{\infty}$ para alguma variável aleatória $M_{\infty}$ . Se $p_{0}>0$ , a população tem chance de se extinguir logo nas primeiras gerações. Por outro lado, no evento $\{M_{\infty}>0\}$ , a população não apenas sobrevive como também cresce exponencialmente rápido, pois $Z_{n}\geqslant\frac{1}{2}\lambda^{n}M_{\infty}$ para todo $n$ suficientemente grande. Logo, gostaríamos de mostrar que $\mathbb{P}(M_{\infty}>0)>0$ , o que será feito na próxima seção. ∎

Exemplo 12.30 (Recorrência do passeio aleatório simétrico).

Sejam $x$ e $y\in\mathbb{Z}$ . Considere $(S_{n})_{n}$ o passeio aleatório simétrico começando de $S_{0}=x$ e defina o tempo de parada $\tau=\inf\{n\geqslant 0:S_{n}=y\}$ . Afirmamos que

\mathbb{P}(\tau<\infty)=1.

Podemos supor, sem perda de generalidade, que $y=0$ e $x\geqslant 0$ (caso contrário consideramos $S_{n}-y$ ou $-S_{n}$ no lugar de $S_{n}$ ). Pelo Teorema do Martingale Parado, $(S_{n\wedge\tau})_{n}$ é um martingale. Como $S_{n\wedge\tau}\geqslant 0$ , pelo Teorema de Convergência de Martingales, $(S_{n\wedge\tau})_{n}$ converge quase certamente. Porém, $(S_{n})_{n}$ sempre dá saltos de $\pm 1$ , logo não pode convergir. Logo, a única forma de $(S_{n\wedge\tau})_{n}$ convergir é que $\tau<\infty$ , donde concluímos que este evento é quase certo. Observamos que esta prova da recorrência tem a particularidade de não usar estimativas quantitativas de nenhum tipo. ∎

O exemplo acima é talvez o tipo mais comum de aplicação desta teoria: uma vez que identificamos um martingale, observamos que ele deve convergir quase certamente e tiramos conclusões a partir disso. Abaixo, damos exemplos de martingales e submartingales que não convergem.

Exemplo 12.31.

Um exemplo trivial que ilustra a necessidade da hipótese $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty$ é o submartingale determinístico dado por $X_{n}=n$ para todo $n\in\mathbb{N}$ , que obviamente não satisfaz tal hipótese e não converge. ∎

Exemplo 12.32.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência independente tal que $\mathbb{P}(X_{n}=4^{n})=\mathbb{P}(X_{n}=-4^{n})=\frac{1}{2}$ , e tome $S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}$ . Então, $(S_{n})_{n}$ é um martingale, $\limsup_{n}S_{n}=+\infty$ q.c. e $\liminf_{n}S_{n}=-\infty$ q.c. ∎

Exemplo 12.33.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência independente tal que $\mathbb{P}(X_{n}=1)=\frac{1}{2}$ , $\mathbb{P}(X_{n}=-2^{n-1})=2^{-n}$ e $\mathbb{P}(X_{n}=0)=\frac{1}{2}-2^{-n}$ . Tome $S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}$ . Então $(S_{n})_{n}$ é um martingale e $S_{n}\to+\infty$ q.c. ∎

Exemplo 12.34.

O passeio aleatório simétrico $(S_{n})_{n}$ não converge, pois sempre dá saltos de $\pm 1$ . Podemos concluir pelo Teorema de Convergência de Martingales que $\sup_{n}\mathbb{E}|S_{n}|=+\infty$ . Ademais, como $|S_{n}|$ é um submartingale, $\mathbb{E}|S_{n}|$ é não-decrescente em $n$ , logo $\mathbb{E}|S_{n}|\to+\infty$ . ∎