12.5 Convergência de martingales em $\mathcal{L}^{p}$

Na seção anterior, estudamos condições para que um submartingale convirja quase certamente, o que não necessariamente implica convergência dos respectivos momentos, conforme podemos observar nos exemplos abaixo.

Exemplo 12.35.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. com $\mathbb{P}(X_{n}=0)=\mathbb{P}(X_{n}=2)=\frac{1}{2}$ , e considere sua filtração natural. Defina $M_{n}=X_{1}\times\cdots\times X_{n}$ . Então, $(M_{n})_{n}$ é um martingale não-negativo e $M_{n}\to 0$ quase certamente. Observe que o martingale $(M_{n})_{n}$ não converge em $\mathcal{L}^{1}$ , pois $\mathbb{E}[\lim_{n}M_{n}]\neq\lim_{n}\mathbb{E}M_{n}$ . ∎

O exemplo acima é uma reformulação do Exemplo 12.22. Há outros exemplos do mesmo fenômeno. No processo de ramificação crítico ( $\lambda=1$ ), vimos que $(Z_{n})_{n}$ é um martingale com $\mathbb{E}Z_{n}=\mathbb{E}Z_{0}=1$ , mas $Z_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$ . Também vimos, no Exemplo 12.30, que o passeio aleatório simétrico começando em $x$ e parado em $y$ é um martingale que satisfaz $\mathbb{E}S_{n\wedge\tau}=x$ mas $S_{n\wedge\tau}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}y\neq x$ .

Gostaríamos de saber quando a esperança é preservada no limite. A definição a seguir terá um papel importante na convergência de martingales em $\mathcal{L}^{1}$ .

Definição 12.36 (Integrabilidade uniforme).

Dizemos que uma sequência de variáveis aleatórias $(X_{n})_{n}$ é uniformemente integrável se

\lim_{{k}\to\infty}\sup_{n}\int_{\{|X_{n}|\geqslant{k}\}}|X_{n}|\ \mathrm{d}% \mathbb{P}=0.

Teorema 12.37 (Teorema de Convergência de Vitali).

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência uniformemente integrável. Então $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty$ . Além disso, se $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}X$ , então $X$ é integrável e $X_{n}\to X$ em $\mathcal{L}^{1}$ .

Demonstração.

Para a primeira afirmação, basta tomar ${k}$ tal que

\sup_{n}\int_{\{|X_{n}|\geqslant{k}\}}|X_{n}|\ \mathrm{d}\mathbb{P}\leqslant 1,

pois isso nos dá $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|\leqslant{k}+1$ para todo $n$ .

Para a segunda, suponha que $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}X$ . Pelo Lema de Fatou, $\mathbb{E}|X|\leqslant\liminf_{n}\mathbb{E}|X_{n}|\leqslant\sup_{n}\mathbb{E}|% X_{n}|<\infty$ , logo $X$ é integrável.

Agora seja $\varepsilon>0$ . Tome $k$ tal que $\int_{\{|X|>k\}}|X|\,\mathrm{d}\mathbb{P}<\varepsilon$ e $\int_{\{|X_{n}|>k\}}|X_{n}|\,\mathrm{d}\mathbb{P}<\varepsilon$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Defina $g(x)=x\mathds{1}_{[-k,k]}(x)+k\mathds{1}_{(k,+\infty)}(x)-k\mathds{1}_{(-% \infty,-k)}(x)$ . Estimaremos

\mathbb{E}|X_{n}-X|\leqslant\mathbb{E}|g(X_{n})-g(X)|+\mathbb{E}|g(X_{n})-X_{n% }|+\mathbb{E}|g(X)-X|.

Como $g$ é contínua, $g(X_{n})\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}g(X)$ e, pelo Teorema da Convergência Dominada, $\mathbb{E}|g(X_{n})-g(X)|\to 0$ . Como $|g(x)-x|<|x|\mathds{1}_{|x|>k}$ , temos que $\mathbb{E}|g(X_{n})-X_{n}|\leqslant\varepsilon$ e $\mathbb{E}|g(X)-X|\leqslant\varepsilon$ . Portanto, $\limsup_{n}\mathbb{E}|X_{n}-X|\leqslant 2\varepsilon$ , para todo $\varepsilon$ , concluindo a prova. ∎

Observação 12.38.

Integrabilidade uniforme implica $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty$ mas não vale a recíproca. Por exemplo, se $\mathbb{P}(X_{n}=n)=1-\mathbb{P}(X_{n}=0)=\frac{1}{n}$ , então $\mathbb{E}|X_{n}|=1$ , mas essa sequência não é uniformemente integrável. ∎

Teorema 12.39.

Seja $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ um submartingale uniformemente integrável. Então, existe uma variável aleatória $X_{\infty}$ , tal que $X_{n}\to X_{\infty}$ quase certamente e em $\mathcal{L}^{1}$ . Além disso, $\mathbb{E}[X_{\infty}|\mathcal{F}_{k}]\geqslant X_{k}$ q.c. para todo $k\in\mathbb{N}_{0}$ . Em particular, se $(X_{n})_{n}$ é um martingale uniformemente integrável, $\mathbb{E}[X_{\infty}|\mathcal{F}_{k}]=X_{k}$ q.c.

Demonstração.

Pelo Teorema de Convergência de Vitali, $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty$ . Logo, pelo Teorema da Convergência de Martingales, existe uma variável aleatória estendida $X_{\infty}$ tal que $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}X_{\infty}$ . Pelo Teorema de Convergência de Vitali novamente, $X_{\infty}$ é integrável e $X_{n}\to X_{\infty}$ em $\mathcal{L}^{1}$ . Finalmente, seja $A\in\mathcal{F}_{k}$ . Como $X_{n}\to X_{\infty}$ em $\mathcal{L}^{1}$ e $\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{F}_{k}]\geqslant X_{k}$ para $n\geqslant k$ , temos

\int_{A}\mathbb{E}[X_{\infty}|\mathcal{F}_{k}]\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}X% _{\infty}\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\lim_{n}\int_{A}X_{n}\,\mathrm{d}\mathbb{P}% \geqslant\int_{A}X_{k}\,\mathrm{d}\mathbb{P}.

Como ambos $\mathbb{E}[X_{\infty}|\mathcal{F}_{k}]$ e $X_{k}$ são $\mathcal{F}_{k}$ -mensuráveis e a desigualdade vale para todo $A\in\mathcal{F}_{k}$ , pelo Exercício 5.65, concluímos que $\mathbb{E}[X_{\infty}|\mathcal{F}_{k}]\geqslant X_{k}$ q.c. ∎

Podemos inspecionar o martingale definido no Exemplo 12.35 e verificar diretamente que ele converge certamente, mas não é uniformemente integrável nem converge em $\mathcal{L}^{1}$ . Abaixo, discutimos mais alguns exemplos.

Exemplo 12.40.

Seja $M_{n}$ o passeio aleatório simétrico começando de $x=1$ e parado em $y=0$ , como definido no Exemplo 12.30. Observe que $\sup_{n}\mathbb{E}|M_{n}|=1$ , pois $M_{n}\geqslant 0$ q.c. e $\mathbb{E}M_{n}=1$ para todo $n$ , donde pudemos concluir que $(M_{n})_{n}$ converge q.c. Entretanto, $M_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$ , logo não pode valer convergência em $\mathcal{L}^{1}$ e esse martingale não é uniformemente integrável. ∎

Exemplo 12.41.

O processo de ramificação crítico satisfaz $\sup_{n}\mathbb{E}|Z_{n}|<\infty$ , pois $Z_{n}\geqslant 0$ q.c. e $\mathbb{E}Z_{n}=1$ para todo $n$ . Isso foi usado para mostrar que $Z_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$ . Novamente, não pode valer convergência em $\mathcal{L}^{1}$ e esse martingale não é uniformemente integrável. ∎

As proposições seguintes são critérios úteis para verificar a integrabilidade uniforme.

Proposição 12.42.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias. Se $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty$ para algum $p>1$ , então $(X_{n})_{n}$ é uniformemente integrável.

Demonstração.

Basta observar que

\sup_{n}\int_{\{|X_{n}|\geqslant{k}\}}|X_{n}|\ \mathrm{d}\mathbb{P}\leqslant% \sup_{n}\int_{\{|X_{n}|\geqslant{k}\}}\frac{|X_{n}|^{p}}{{k}^{p-1}}\ \mathrm{d% }\mathbb{P}\leqslant\frac{\sup_{n}{\mathbb{E}|X_{n}|^{p}}}{{k}^{p-1}}\to 0

quando $k\to\infty$ , pois $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty$ . ∎

Proposição 12.43.

Seja $(X_{n})_{n}$ um martingale tal que $X_{0}=0$ q.c. Suponha que $\mathbb{E}(X_{n}-X_{n-1})^{2}<\infty$ para todo $n$ . Então,

\mathbb{E}X_{n}^{2}=\sum_{k=1}^{n}\mathbb{E}(X_{k}-X_{k-1})^{2}\text{ para % todo }n.

Em particular, se $(M_{n})_{n}$ é um martingale tal que $\sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{E}(M_{k}-M_{k-1})^{2}<\infty$ , então $(M_{n})_{n}$ é uniformemente integrável, logo converge q.c. e em $\mathcal{L}^{1}$ .

Demonstração.

Mostraremos a primeira parte por indução em $n$ . Expandindo os todos termos, vemos que

\displaystyle X_{n+1}^{2}=X_{n}^{2}+(X_{n+1}-X_{n})^{2}+2\,X_{n}(X_{n+1}-X_{n}).

Observe que $X_{n}(X_{n+1}-X_{n})$ é integrável, pois $|xy-x^{2}|\leqslant y^{2}+2x^{2}$ para todos $x$ e $y$ em $\mathbb{R}$ . Como $(X_{n})_{n}$ é um martingale,

\mathbb{E}[X_{n}(X_{n+1}-X_{n})|\mathcal{F}_{n}]=X_{n}\,\mathbb{E}[X_{n+1}-X_{% n}|\mathcal{F}_{n}]=0\text{ q.c.}

Tomando a esperança na equação acima, obtemos $\mathbb{E}[X_{n}(X_{n+1}-X_{n})]=0$ , o que termina a prova por indução.

Para a segunda parte, tome $X_{n}=M_{n}-M_{0}$ , observe que $\sup_{n}\mathbb{E}X_{n}^{2}=\sum_{n}\mathbb{E}(M_{n}-M_{n-1})^{2}<\infty$ . Pela Proposição 12.42, $(X_{n})_{n}$ é uniformemente integrável. Pelo Teorema 12.39, $(X_{n})_{n}$ converge q.c. e em $\mathcal{L}^{1}$ para alguma $X_{\infty}$ . Portanto, $\mathbb{E}|M_{n}-M_{0}-X_{\infty}|\to 0$ , donde concluímos que $(M_{n})_{n}$ converge q.c. e em $\mathcal{L}^{1}$ para $X_{\infty}+M_{0}$ . ∎

Exemplo 12.44 (Processo de ramificação supercrítico).

Continuando o Exemplo 12.29, mostraremos que quando $\lambda>1$ há probabilidade positiva de a população crescer exponencialmente ao invés de se extinguir. Como $(M_{n})_{n}$ é um martingale não-negativo, sabemos que converge quase certamente para alguma variável aleatória $M_{\infty}$ . Basta, então, mostrar que $\mathbb{P}(M_{\infty}>0)>0$ .

Para isso, vamos estimar $\mathbb{E}(M_{n}-M_{n-1})^{2}$ . Observe que

$\displaystyle(M_{n}-M_{n-1})^{2}$	$\displaystyle=\lambda^{-2n}\,(Z_{n}-\lambda Z_{n-1})^{2}$
	$\displaystyle=\lambda^{-2n}\Big{[}\sum_{k}\mathds{1}_{\{Z_{n-1}=k\}}\Big{(}% \sum_{j=1}^{k}(X_{{n,j}}-\lambda)\Big{)}^{2}\Big{]}.$

Tomando a esperança e usando independência entre $Z_{n-1}$ e $(X_{n,j})_{j}$ ,

$\displaystyle\mathbb{E}(M_{n}-M_{n-1})^{2}$	$\displaystyle=\lambda^{-2n}\,\Big{[}\sum_{k}\mathbb{P}({Z_{n-1}=k})\cdot% \mathbb{E}\Big{(}\sum_{j=1}^{k}(X_{{n,j}}-\lambda)\Big{)}^{2}\Big{]}$
	$\displaystyle=\lambda^{-2n}\,\Big{[}\sum_{k}\mathbb{P}({Z_{n-1}=k})\cdot k\,% \sigma^{2}\Big{]}$
	$\displaystyle=\lambda^{-2n}\,\sigma^{2}\,\mathbb{E}[Z_{n-1}]=\sigma^{2}\,% \lambda^{-n-1}.$

Logo, $\sum_{n}\mathbb{E}(M_{n}-M_{n-1})^{2}<\infty$ . Pela Proposição 12.43, $(M_{n})_{n}$ converge em $\mathcal{L}^{1}$ . Portanto, $\mathbb{E}M_{\infty}=\mathbb{E}M_{1}=1$ e $\mathbb{P}(M_{\infty}>0)>0$ . ∎

O teorema abaixo diz que uma variável aleatória pode ser aproximada por sua esperança condicional dada uma $\sigma$ -álgebra de uma filtração qualquer.

Teorema 12.45.

Sejam $(\mathcal{F}_{n})_{n}$ uma filtração e $Z$ uma variável aleatória integrável. Defina $\mathcal{F}_{\infty}=\sigma(\cup_{n}\mathcal{F}_{n})$ . Então,

\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_{n}]\to\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_{\infty}]\text{ q.c.% \ e em }\mathcal{L}^{1}.

Demonstração.

Para todo $n\in\mathbb{N}$ , definimos $X_{n}=\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_{n}]$ , que é um martingale com respeito à filtração $(\mathcal{F}_{n})_{n}$ , conforme vimos no Exemplo 12.6. Mostraremos inicialmente que $(X_{n})_{n}$ é uniformemente integrável. Seja $\varepsilon>0$ . Como $Z$ é integrável, podemos tomar $\beta$ de modo que $\int_{\{|Z|>\beta\}}|Z|\ \mathrm{d}\mathbb{P}<\tfrac{\varepsilon}{2}$ . Sendo assim,

$\displaystyle\int_{\{\|X_{n}\|>{k}\}}\|X_{n}\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$	$\displaystyle\leqslant\int_{\{\|X_{n}\|>{k}\}}\mathbb{E}[\|Z\|\big{\|}\mathcal{F}_{% n}]\ \mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{\{\|X_{n}\|>{k}\}}\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$
	$\displaystyle=\int_{\{\|X_{n}\|>{k},\|Z\|\leqslant\beta\}}\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P% }+\int_{\{\|X_{n}\|>{k},\|Z\|>\beta\}}\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$
	$\displaystyle\leqslant\beta\mathbb{P}(\|X_{n}\|\geqslant{k})+\int_{\{\|Z\|>\beta\}% }\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$
	$\displaystyle\leqslant\frac{\beta\mathbb{E}\|X_{n}\|}{{k}}+\frac{\varepsilon}{2}% \leqslant\frac{\beta\mathbb{E}\|Z\|}{{k}}+\frac{\varepsilon}{2}\leqslant\varepsilon,$

onde na última desigualdade, tomamos ${k}>\tfrac{2\beta\mathbb{E}|Z|}{\varepsilon}$ . Isto mostra a integrabilidade uniforme de $(X_{n})_{n}$ . Portanto, pelo Teorema 12.39, $X_{n}=\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_{n}]\to X_{\infty}$ q.c. e em $\mathcal{L}^{1}$ .

Resta mostrar que $\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_{\infty}]=X_{\infty}$ . Primeiro, podemos tomar $X_{\infty}=\lim_{n}X_{n}\cdot\mathds{1}_{\{(X_{n})_{n}\text{ converge}\}}$ , de forma que $X_{\infty}$ é $\mathcal{F}_{\infty}$ -mensurável pelo Lema 3.50. Observe que, para todos $A\in\mathcal{F}_{n}$ e $m\geqslant n$ , pela definição de $X_{m}$ , temos que

\int_{A}X_{m}\ \mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Z\ \mathrm{d}\mathbb{P}.

Como $X_{m}\overset{\mathcal{L}^{1}}{\rightarrow}X_{\infty}$ , podemos tomar o limite na integral, obtendo

\int_{A}X_{\infty}\ \mathrm{d}\mathbb{P}=\lim_{m}\int_{A}X_{m}\ \mathrm{d}% \mathbb{P}=\int_{A}Z\ \mathrm{d}\mathbb{P}\ \text{ para todo }A\in\cup_{n\in% \mathbb{N}}\mathcal{F}_{n}.

Lembrando que $Z$ e $X_{\infty}$ são integráveis, podemos definir para todo $A\in\mathcal{F}_{\infty}$ ,

\mu(A)=\int_{A}(Z^{+}+X_{\infty}^{-})\ \mathrm{d}\mathbb{P}\quad\text{ e }% \quad\nu(A)=\int_{A}(X_{\infty}^{+}+Z^{-})\ \mathrm{d}\mathbb{P},

obtendo duas medidas finitas $\mu$ e $\nu$ definidas em $(\Omega,\mathcal{F}_{\infty})$ , que coincidem na classe $\cup_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{F}_{n}$ . Como essa classe é um $\pi$ -sistema, pelo Teorema 3.37 (unicidade de medidas), as medidas coincidem na $\sigma$ -álgebra $\sigma(\cup_{n}\mathcal{F}_{n})=\mathcal{F}_{\infty}$ . Assim,

\int_{A}X_{\infty}\ \mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Z\ \mathrm{d}\mathbb{P}\ % \text{ para todo }A\in\mathcal{F}_{\infty}.

Como $X_{\infty}$ é $\mathcal{F}_{\infty}$ -mensurável, segue que $X_{\infty}=\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_{\infty}]$ q.c. ∎

Se um martingale satisfaz $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty$ para algum $p>1$ , podemos combinar a Proposição 12.42 com o Teorema 12.39 para concluir que $X_{n}\to X_{\infty}$ q.c. e em $\mathcal{L}^{1}$ . Entretanto, nesse caso podemos concluir algo bem mais forte, conforme enunciado abaixo.

Teorema 12.46 (Convergência em

\mathcal{L}^{p}

Sejam $p>1$ e $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ um martingale, ou um submartingale não-negativo, e suponha que $\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty$ . Então, existe uma variável aleatória $X_{\infty}$ , tal que $X_{n}\to X_{\infty}$ quase certamente e em $\mathcal{L}^{p}$ .

Demonstração.

Defina $Y=\sup_{n}|X_{n}|=\lim_{n}\max_{j=1,\dots,n}|X_{j}|$ . Usando o Teorema 12.21 e o Teorema da Convergência Monótona, temos $\mathbb{E}Y^{p}\leqslant(\tfrac{p}{p-1})^{p}\sup_{n}\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty$ . Já sabemos que $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}X_{\infty}$ pelo parágrafo acima. Como $|X_{n}|\leqslant Y$ para todo $n$ , podemos aplicar o Teorema da Convergência Dominada em $\mathcal{L}^{p}$ , concluindo a prova. ∎

$\displaystyle\int_{\{\|X_{n}\|>{k}\}}\|X_{n}\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$	$\displaystyle\leqslant\int_{\{\|X_{n}\|>{k}\}}\mathbb{E}[\|Z\|\big{\|}\mathcal{F}_{% n}]\ \mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{\{\|X_{n}\|>{k}\}}\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$
	$\displaystyle=\int_{\{\|X_{n}\|>{k},\|Z\|\leqslant\beta\}}\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P% }+\int_{\{\|X_{n}\|>{k},\|Z\|>\beta\}}\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$
	$\displaystyle\leqslant\beta\mathbb{P}(\|X_{n}\|\geqslant{k})+\int_{\{\|Z\|>\beta\}% }\|Z\|\ \mathrm{d}\mathbb{P}$
	$\displaystyle\leqslant\frac{\beta\mathbb{E}\|X_{n}\|}{{k}}+\frac{\varepsilon}{2}% \leqslant\frac{\beta\mathbb{E}\|Z\|}{{k}}+\frac{\varepsilon}{2}\leqslant\varepsilon,$

12.5 Convergência de martingales em ℒp\mathcal{L}^{p}

12.5 Convergência de martingales em $\mathcal{L}^{p}$