12.7 Exercícios

Seja $(S_{n})_{n}$ o passeio aleatório em $\mathbb{Z}$ e $(\mathcal{F})_{n}$ a filtração definidos no Exemplo 12.9. Defina $M_{n}=(\frac{1-p}{p})^{S_{n}}$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Mostre que $(M_{n})_{n}$ é um martingale.

Seja $X$ uma variável aleatória ilimitada que toma valores em $\mathbb{N}$. Defina as taxas $\lambda_{k}=\mathbb{P}(X>k|X\geqslant k)$ e suponha que $\lambda_{k}>0$ para todo $k$. Defina $M_{0}=1$ e

Mostre que $(M_{n})_{n}$ é um martingale com respeito à sua própria filtração natural.

Se $\tau_{1}$ e $\tau_{2}$ são tempos de parada com respeito à mesma filtração $(\mathcal{F}_{n})_{n}$, então podemos afirmar que as variáveis abaixo são tempos de parada? Prove ou dê contra-exemplo.

1. (a)
   ​

   $\tau_{1}+\tau_{2}$.

2. (b)
   ​

   $|\tau_{1}-\tau_{2}|$.

3. (c)
   ​

   $\max\{\tau_{1},\tau_{2}\}$.

4. (d)
   ​

   $\tau_{1}\wedge\tau_{2}$.

5. (e)
   ​

   $\tau_{1}\wedge k$ para $k\in\mathbb{N}$.

Sejam $(X_{n})_{n}$ um processo adaptado e $B\in\mathcal{B}$. Definimos o tempo de última passagem em $B$ como $\sigma_{B}=\sup\{n:X_{n}\in B\}$. Dê um exemplo ilustrando que $\sigma_{B}$ não é tempo de parada.

Seja $\tau$ um tempo de parada com respeito à filtração $(\mathcal{F}_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$. Defina

Mostre que:

1. (a)
   ​

   $\mathcal{F}_{\tau}$ é uma $\sigma$-álgebra.

2. (b)
   ​

   $\tau$ é $\mathcal{F}_{\tau}$-mensurável.

3. (c)
   ​

   Se $(X_{n})_{n}$ é um processo adaptado à filtração $(\mathcal{F}_{n})_{n}$, então $X_{\tau}$ é $\mathcal{F}_{\tau}$-mensurável.

4. (d)
   ​

   Se $\tau_{1}$ e $\tau_{2}$ são tempos de parada tais que $\tau_{1}\leqslant\tau_{2}$ para todo $\omega$, então $\mathcal{F}_{\tau_{1}}\subseteq\mathcal{F}_{\tau_{2}}$.

Seja $\tau$ um tempo de parada com respeito à filtração $(\mathcal{F}_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$. Suponha que existem $C\in\mathbb{N}$ e $\varepsilon>0$ satisfazendo

Mostre por indução em $k$ que

para todo $k\in\mathbb{N}$ e, em particular, $\mathbb{E}\tau<\infty$.

No problema da ruína do apostador, mostre que $\mathbb{E}\tau<\infty$.

Seja $(X_{n})^{N}_{n=1}$ um processo adaptado à filtração $(\mathcal{F}_{n})^{N}_{n=1}$ e suponha que as $X_{n}$ sejam integráveis. Vamos mostrar que existe um tempo de parada $\tau^{*}$ tal que $\mathbb{E}X_{\tau^{*}}\geqslant\mathbb{E}X_{\tau}$ para todo tempo de parada $\tau$. Defina $Y_{N}=X_{N}$ e $Y_{n}=\max\{X_{n},\mathbb{E}[Y_{n+1}|\mathcal{F}_{n}]\}$ para todo $n=1,\dots,N-1$, que representa o preço justo para entrar no jogo no instante $n$ (pois o jogador pode escolher entre ficar com $X_{n}$ ou esperar o instante $n+1$). Tome $\tau^{*}=\min\{n:Y_{n}=X_{n}\}$ e seja $\tau$ um tempo de parada qualquer.

1. (a)
   ​

   Verifique que $(Y_{n})^{N}_{n=1}$ é um supermartingale.

2. (b)
   ​

   Mostre que $\mathbb{E}X_{\tau}\leqslant\mathbb{E}Y_{\tau}\leqslant\mathbb{E}Y_{1}$.

3. (c)
   ​

   Defina $Z_{n}=Y_{n\wedge\tau^{*}}$. Verifique que $Z_{n+1}\cdot\mathds{1}_{\{\tau^{*}\leqslant n\}}=Z_{n}\cdot\mathds{1}_{\{\tau^{*}\leqslant n\}}$ q.c.

4. (d)
   ​

   Verifique que $\mathbb{E}[Z_{n+1}|\mathcal{F}_{n}]\cdot\mathds{1}_{\{\tau^{*}>n\}}=Z_{n}\cdot\mathds{1}_{\{\tau^{*}>n\}}$ q.c.

5. (e)
   ​

   Conclua que $(Z_{n})^{N}_{n=1}$ é um martingale.

6. (f)
   ​

   Mostre que $\mathbb{E}X_{\tau^{*}}=\mathbb{E}Y_{\tau^{*}}=\mathbb{E}Y_{1}$, concluindo o exercício.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência i.i.d. assumindo valores $\pm 1$ com probabilidade $\frac{1}{2}$ cada. Defina $Z_{1}=\frac{1}{3}$ e $Z_{n+1}=Z_{n}+(1-Z_{n})Z_{n}X_{n}$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Mostre que $Z_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}\mathop{\mathrm{Bernoulli}}\nolimits(\frac{1}{3})$.

Mostre que a posição do passeio aleatório $(S_{n})_{n}$ não é uniformemente integrável.

Mostre que o processo de ramificação com $\lambda>1$ tem probabilidade positiva de sobreviver, sem supor que $\sigma^{2}<\infty$.

Mostre que o martingale definido no Exercício 2 converge quase certamente, mas não converge em $\mathcal{L}^{1}$.

Sejam $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ processo adaptado e $(C_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ processo previsível com respeito à filtração $(\mathcal{F}_{n})_{n}$. Suponha que existe $K>0$ tal que $\mathbb{P}(|C_{n}|\leqslant K)=1$ para todo $n$. Defina $M_{n}=C_{0}X_{0}+\sum_{k=1}^{n}C_{k}(X_{k}-X_{k-1})$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

1. (a)
   ​

   Mostre que se $(X_{n})_{n}$ é um martingale, então $(M_{n})_{n}$ também o é.

2. (b)
   ​

   Mostre que se $(X_{n})_{n}$ é um submartingale e $C_{n}\geqslant 0$ para todo $n\in\mathbb{N}$, então $(M_{n})_{n}$ é um submartingale.

O processo $(M_{n})_{n}$ é chamado transformação de $(X_{n})_{n}$ por $(C_{n})_{n}$, denotado por $(C\bullet X)_{n}$. Ele aparece implicitamente no preâmbulo deste capítulo e na prova do Teorema de Convergência de Martingales.

Sejam $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ e $(Y_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ martingales com respeito à mesma filtração $(\mathcal{F}_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$, tais que $\mathbb{E}X_{n}^{2}<\infty$ e $\mathbb{E}Y_{n}^{2}<\infty$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Defina o processo $\langle X,Y\rangle$ como

Mostre que $(X_{n}Y_{n}-\langle X,Y\rangle_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ é um martingale.

Sejam $(X_{n})_{n}$ e $(Y_{n})_{n}$ sequencias de variáveis aleatórias independentes com $\mathbb{E}X_{n}^{2}<\infty$, $\mathbb{E}Y_{n}^{2}<\infty$, $\mathbb{E}X_{n}=\mathbb{E}Y_{n}=0$, $S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}$ e $T_{n}=Y_{1}+\dots+Y_{n}$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Mostre que $\langle S,T\rangle_{n}=\sum_{k=1}^{n}\mathop{\mathbf{Cov}}\nolimits(X_{k},Y_{k})$.