12.3 Amostragem opcional

Se $(X_{n})_{n}$ é um martingale, então $\mathbb{E}X_{n}=\mathbb{E}X_{0}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Ou seja, se a sequência representa os ganhos em um jogo justo, o valor médio deve ser preservado ao longo das rodadas. Porém, se $\tau$ é um tempo aleatório, pense por exemplo em $\tau$ como sendo o tempo em que o martingale atinge seu máximo, muito provavelmente $\mathbb{E}X_{\tau}\neq\mathbb{E}X_{0}$ . Isso também é natural, pois neste caso precisamos de informação acerca do futuro para determinar quando estamos passando pelo tempo $\tau$ . Mas e se $\tau$ for um tempo de parada, será que poderíamos afirmar que $\mathbb{E}X_{\tau}=\mathbb{E}X_{0}$ ?

Exemplo 12.22 (O sistema de apostas chamado Martingale).

Seja $(Z_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis i.i.d. com $\mathbb{P}(Z_{n}=+1)=\mathbb{P}(Z_{n}=-1)=\tfrac{1}{2}$ e considere sua filtração natural. Tome $X_{n}=\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}Z_{k}$ para todo $n$ . O martingale $(X_{n})_{n}$ reflete o ganho acumulado de um jogador que aposta nos vermelhos, em um jogo de roleta justo,²⁰²⁰ 20 Em um jogo de roleta justo, que não existe na prática, os vermelhos e pretos têm chance $\frac{1}{2}$ , isto é, não existem as casas verdes 0 e 00. e vai dobrando o valor apostado. Seja $\tau=\inf\{n:Z_{n}=+1\}$ , isto é, $\tau$ é a rodada em que o jogador ganha pela primeira vez, recuperando todas as perdas anteriores e ainda tirando $\$1$ de lucro. Neste caso, $X_{\tau}=+1$ q.c. e $X_{0}=0$ , logo $\mathbb{E}X_{\tau}\neq\mathbb{E}X_{0}$ . Veja que essa estratégia exige que o jogador tenha um capital (ou crédito) infinito.²¹²¹ 21 Há muitos relatos de apostadores que começaram com um grande capital e, depois de um longo período de lucro obtido com a aplicação sistemática dessa estratégia, terminaram perdendo todo o lucro e mais o capital que haviam levado consigo. ∎

Portanto, queremos saber sob quais hipóteses a propriedade de ser martingale ou supermartingale é preservada quando o processo é observado em um tempo de parada $\tau$ . O teorema a seguir nos fornece vários critérios que asseguram essa propriedade.

Teorema 12.23 (Teorema da Amostragem Opcional).

Sejam $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ um supermartingale e $\tau$ um tempo de parada finito. Então, $\mathbb{E}X_{\tau}\leqslant\mathbb{E}X_{0}$ se pelo uma das condições abaixo for satisfeita para algum $K>0$ :

(1)

$\tau\leqslant K$ q.c.;
(2)

$|X_{n\wedge\tau}|\leqslant K$ q.c. para todo $n$ ;
(3)

$\mathbb{E}\big{[}|X_{n+1}-X_{n}|\big{|}\mathcal{F}_{n}\big{]}\,\leqslant K$ q.c. para todo $n$ e $\mathbb{E}\tau<\infty$ ;
(4)

$X_{n}\geqslant 0$ q.c. para todo $n$ .

Em particular, se $(X_{n})_{n}$ é um martingale e vale alguma das três primeiras condições acima, então $\mathbb{E}X_{\tau}=\mathbb{E}X_{0}$ .

Demonstração.

Usando o Teorema do Martingale Parado, $\mathbb{E}X_{n\wedge\tau}\leqslant\mathbb{E}X_{0}$ . Supondo (1), basta tomar algum $n\geqslant K$ para ter $X_{\tau}=X_{n\wedge\tau}$ . Para os outros casos, observe que, como $\tau$ é finito, $X_{n\wedge\tau}\to X_{\tau}$ q.c. Supondo (4), temos que $\mathbb{E}X_{\tau}\leqslant\liminf_{n}\mathbb{E}X_{n\wedge\tau}\leqslant% \mathbb{E}X_{0}$ diretamente pelo Lema de Fatou.

Para (2) e (3), bastará mostrar que $\mathbb{E}X_{n\wedge\tau}\to\mathbb{E}X_{\tau}$ . Usando o Teorema da Convergência Dominada, basta mostrar que $|X_{n\wedge\tau}|\leqslant Y$ com $Y$ integrável. Para (2), tomamos $Y=K$ constante.

Para (3), definimos $Y_{0}=|X_{0}|$ e $Y_{n}=Y_{n-1}+|X_{n\wedge\tau}-X_{(n-1)\wedge\tau}|$ , observamos que $|X_{n\wedge\tau}|\leqslant Y_{n}\uparrow Y$ , e estimamos

$\displaystyle\mathbb{E}Y_{n+1}-\mathbb{E}Y_{n}$	$\displaystyle=\mathbb{E}\|X_{(n+1)\wedge\tau}-X_{n\wedge\tau}\|$
	$\displaystyle=\mathbb{E}\big{[}\,\|X_{n+1}-X_{n}\|\cdot\mathds{1}_{\{\tau>n\}}% \big{]}$
	$\displaystyle=\mathbb{E}\Big{[}\mathbb{E}\big{[}\,\|X_{n+1}-X_{n}\|\cdot\mathds{% 1}_{\{\tau>n\}}\big{\|}\mathcal{F}_{n}\big{]}\Big{]}$
	$\displaystyle=\mathbb{E}\Big{[}\mathds{1}_{\{\tau>n\}}\cdot\mathbb{E}\big{[}\,% \|X_{n+1}-X_{n}\|\big{\|}\mathcal{F}_{n}\big{]}\Big{]}$
	$\displaystyle\leqslant\mathbb{E}\big{[}K\cdot\mathds{1}_{\{\tau>n\}}\big{]}=K% \cdot\mathbb{P}(\tau>n).$

Somando em $n\in\mathbb{N}_{0}$ , obtemos $\mathbb{E}Y\leqslant\mathbb{E}|X_{0}|+K\,\mathbb{E}\tau<\infty$ . ∎

Podemos ver que o Exemplo 12.22 viola cada uma das hipóteses acima:

•

O tempo de parada $\tau$ não é limitado.
•

O lucro (ou prejuízo!) acumulado $|X_{n\wedge\tau}|$ não é limitado.
•

No evento $\{\tau>n\}\in\mathcal{F}_{n}$ , temos que $|X_{n+1}-X_{n}|=2^{n}$ , portanto, $\mathbb{E}\big{[}|X_{n+1}-X_{n}|\big{|}\mathcal{F}_{n}\big{]}$ não é limitado.
•

O lucro acumulado $X_{n}$ pode tomar valores negativos.

Exemplo 12.24 (Problema da ruína do apostador).

Considere $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ o passeio aleatório começando de $S_{0}=x$ . Seja $N\in\mathbb{N}$ fixo e suponha que $x\in\{0,\dots,N\}$ . Defina o tempo de parada $\tau=\inf\{n\in\mathbb{N}_{0}:S_{n}=0\text{ ou }S_{n}=N\}$ , e observe que $\tau<\infty$ q.c. (exercício!). Queremos calcular $\alpha(x)=\mathbb{P}(S_{\tau}=N)$ , isto é, a probabilidade de que um passeio aleatório, começando em $x$ , chegue a $N$ antes de $0$ .

Podemos interpretar este exemplo como um jogador que dispõe de um capital inicial $x$ e tem como adversário um outro jogador cujo capital inicial é de $N-x$ . Em cada rodada o primeiro jogador ganha $+1$ com probabilidade $p$ e $-1$ com probabilidade $1-p$ , até que um dos dois perca todo o capital.

Consideramos primeiro o caso $p=\tfrac{1}{2}$ , em que $(S_{n})_{n}$ é um martingale. Como $S_{n\wedge\tau}$ é limitado, pelo Teorema da Amostragem Opcional,

x=\mathbb{E}S_{0}=\mathbb{E}S_{\tau}=0\cdot(1-\alpha(x))+N\cdot\alpha(x).

Portanto, $\alpha(x)=\frac{x}{N}$ para todo $x\in\{0,\dots,N\}$ .

No caso $p\neq\tfrac{1}{2}$ , observamos que a sequência definida por $M_{n}=(\frac{1-p}{p})^{S_{n}}$ é um martingale com respeito à mesma filtração. Tirar um martingale do chapéu é uma técnica muito comum em Probabilidade! Usando-se novamente Teorema da Amostragem Opcional, obtemos

(\tfrac{1-p}{p})^{x}=\mathbb{E}S_{0}=\mathbb{E}S_{\tau}=(\tfrac{1-p}{p})^{0}% \cdot(1-\alpha(x))+(\tfrac{1-p}{p})^{N}\cdot\alpha(x),

e, resolvendo,

\alpha(x)=\frac{1-(\frac{1-p}{p})^{x}}{1-(\frac{1-p}{p})^{N}},

para todo $x\in\{0,\dots,N\}$ . ∎

O teorema abaixo é uma interessante aplicação do Teorema da Amostragem Opcional e generaliza o Exemplo 11.24, que diz que sob certas condições a média da soma de uma quantidade aleatória de parcelas aleatórias é a média das parcelas vezes o número médio de parcelas.

Teorema 12.25 (Identidade de Wald).

Seja $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes, integráveis e com a mesma esperança. Seja $\tau$ um tempo de parada integrável com respeito à filtração natural de $(X_{n})_{n}$ . Então,

\mathbb{E}[X_{1}+\dots+X_{\tau}]=\mathbb{E}\tau\cdot\mathbb{E}X_{1}.

Demonstração.

Definindo $S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}-n\mathbb{E}X_{1}$ , temos que $(S_{n})_{n}$ é martingale e satisfaz

\mathbb{E}\Big{[}|S_{n+1}-S_{n}|\Big{|}\mathcal{F}_{n}\Big{]}\leqslant\mathbb{% E}|X_{n+1}-\mathbb{E}X_{1}|\leqslant 2\mathbb{E}|X_{1}|<\infty.

Pelo Teorema da Amostragem Opcional, $\mathbb{E}S_{\tau}=\mathbb{E}S_{0}=0$ , portanto

\mathbb{E}[X_{1}+\dots+X_{\tau}-\tau\cdot\mathbb{E}X_{1}]=0,

o que conclui a prova. ∎

Exemplo 12.26 (Tempo médio de retorno do passeio aleatório).

No passeio aleatório simétrico, definia o tempo de parada $\tau=\inf\{n:S_{n}=1\}$ . Vamos mostrar que $\mathbb{E}\tau=+\infty$ . Sabe-se que $\mathbb{P}(\tau<\infty)=1$ (será mostrado na próxima seção, e se fosse falso teríamos $\mathbb{E}\tau=+\infty$ trivialmente). Se $\tau$ fosse integrável, teríamos $\mathbb{E}S_{\tau}=\mathbb{E}X_{1}\cdot\mathbb{E}\tau=0$ pela identidade de Wald. Como $S_{\tau}=1$ q.c., podemos concluir que $\mathbb{E}\tau=+\infty$ . ∎

$\displaystyle\mathbb{E}Y_{n+1}-\mathbb{E}Y_{n}$	$\displaystyle=\mathbb{E}\|X_{(n+1)\wedge\tau}-X_{n\wedge\tau}\|$
	$\displaystyle=\mathbb{E}\big{[}\,\|X_{n+1}-X_{n}\|\cdot\mathds{1}_{\{\tau>n\}}% \big{]}$
	$\displaystyle=\mathbb{E}\Big{[}\mathbb{E}\big{[}\,\|X_{n+1}-X_{n}\|\cdot\mathds{% 1}_{\{\tau>n\}}\big{\|}\mathcal{F}_{n}\big{]}\Big{]}$
	$\displaystyle=\mathbb{E}\Big{[}\mathds{1}_{\{\tau>n\}}\cdot\mathbb{E}\big{[}\,% \|X_{n+1}-X_{n}\|\big{\|}\mathcal{F}_{n}\big{]}\Big{]}$
	$\displaystyle\leqslant\mathbb{E}\big{[}K\cdot\mathds{1}_{\{\tau>n\}}\big{]}=K% \cdot\mathbb{P}(\tau>n).$