2.2 Independência

Dois eventos aleatórios são independentes quando a ocorrência de um deles não aumenta nem diminui a chance relativa de que ocorra o outro.

Definição 2.13 (Eventos independentes).

Os eventos aleatórios $A$ e $B$ são ditos independentes se

\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B).

Neste caso, dizemos que $A$ é independente de $B$ .

Dois eventos $A$ e $B$ são independentes se, e somente se, $\mathbb{P}(A|B)=\mathbb{P}(A)$ . Deixamos a demonstração como exercício (separe em casos!).

Exemplo 2.14.

Uma moeda é lançada duas vezes. Sejam $A=$ “a primeira moeda sai cara” e $B=$ “a segunda moeda sai cara”. Então, $A$ e $B$ são independentes, pois

\displaystyle\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(\{1\}\times\{0,1\})=\frac{2}{4}=\frac{1}% {2}

\displaystyle\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(\{0,1\}\times\{1\})=\frac{2}{4}=\frac{1}% {2}

\displaystyle\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(\{1\}\times\{1\})=\frac{1}{4}=% \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B).\qed

Veja que, no exemplo acima, já sabíamos de antemão que os eventos deveriam ser independentes, pois cada lançamento da moeda não tem interferência alguma sobre o outro. Entretanto, independência não significa necessariamente que os eventos não possuam nenhuma relação entre si.

Exemplo 2.15.

Dois dados são lançados. Consideramos os eventos $A=$ “o primeiro dado é par” e $C=$ “a soma dos valores dos dados é par”. Então, os eventos $A$ e $C$ são independentes, pois

\displaystyle\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(\{2,4,6\}\times\{1,2,3,4,5,6\})=\frac{18% }{36}=\frac{1}{2},

\displaystyle\mathbb{P}(C)=\mathbb{P}(\{2,4,6\}^{2}\cup\{1,3,5\}^{2})=\frac{18% }{36}=\frac{1}{2},

\displaystyle\mathbb{P}(A\cap C)=\mathbb{P}(\{2,4,6\}^{2})=\frac{9}{36}=\frac{% 1}{4}=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(C).\qed

Proposição 2.16.

Um evento $A$ é independente de si próprio se, e somente se, $\mathbb{P}(A)=0$ ou $1$ .

Novamente, a demonstração fica como exercício.

Definição 2.17 (Eventos independentes dois a dois).

Eventos aleatórios $(A_{j})_{j\in J}$ , onde $J$ é um conjunto qualquer de índices, são ditos independentes dois a dois se $A_{k}$ e $A_{j}$ são independentes para todos $k,j\in J$ com $k\neq j$ .

Exemplo 2.18.

Dois dados são lançados. Consideramos os eventos $A=$ “o primeiro dado é par”, $B=$ “o segundo dado é par” $C=$ “a soma dos valores dos dados é par”. Então,

\displaystyle\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(\{2,4,6\}\times\{1,2,3,4,5,6\})=\frac{18% }{36}=\frac{1}{2},

\displaystyle\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(\{1,2,3,4,5,6\}\times\{2,4,6\})=\frac{18% }{36}=\frac{1}{2},

\displaystyle\mathbb{P}(C)=\mathbb{P}(\{2,4,6\}^{2}\cup\{1,3,5\}^{2})=\frac{18% }{36}=\frac{1}{2},

\displaystyle\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(\{2,4,6\}^{2})=\frac{9}{36}=\frac{% 1}{4}=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B),

\displaystyle\mathbb{P}(A\cap C)=\mathbb{P}(\{2,4,6\}^{2})=\frac{9}{36}=\frac{% 1}{4}=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(C),

\displaystyle\mathbb{P}(B\cap C)=\mathbb{P}(\{2,4,6\}^{2})=\frac{9}{36}=\frac{% 1}{4}=\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C).\qed

Exemplo 2.19.

Lançamento de um dado de 4 faces. Considere $A=$ “par”, $B=$ “menor que 3”, $C=$ “1 ou 4”, ou seja, $A=\{2,4\}$ , $B=\{1,2\}$ , $C=\{1,4\}$ . Então $A$ , $B$ e $C$ são independentes dois a dois. Com efeito,

$\displaystyle\mathbb{P}(A\cap B)$	$\displaystyle=\mathbb{P}(\{2\})=\frac{1}{4}=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B),$
$\displaystyle\mathbb{P}(A\cap C)$	$\displaystyle=\mathbb{P}(\{4\})=\frac{1}{4}=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(C),$
$\displaystyle\mathbb{P}(B\cap C)$	$\displaystyle=\mathbb{P}(\{1\})=\frac{1}{4}=\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C).\qed$

Definição 2.20 (Eventos independentes).

Os eventos aleatórios $(A_{j})_{j\in J}$ são ditos independentes se, dados quaisquer $n\in\mathbb{N}$ e $j_{1},j_{2},\dots,j_{n}\in J$ distintos, vale

\mathbb{P}(A_{j_{1}}\cap A_{j_{2}}\cap\cdots\cap A_{j_{n}})=\mathbb{P}(A_{j_{1% }})\mathbb{P}(A_{j_{2}})\cdots\mathbb{P}(A_{j_{n}}).

Exemplo 2.21.

No lançamento de um dado dodecaédrico (12 faces), considere os eventos $A=$ “múltiplo de $3$ ”, $B=$ “menor ou igual a $6$ ” e $C=$ “par”, isto é, $A=\{3,6,9,12\}$ , $B=\{1,2,3,4,5,6\}$ e $C=\{2,4,6,8,10,12\}$ . Então, $A$ , $B$ e $C$ são independentes, pois

$\displaystyle\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(\{3,6\})=$	$\displaystyle\,\frac{1}{6}\,=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B),$
$\displaystyle\mathbb{P}(B\cap C)=\mathbb{P}(\{2,4,6\})=$	$\displaystyle\,\frac{1}{4}\,=\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C),$
$\displaystyle\mathbb{P}(A\cap C)=\mathbb{P}(\{6,12\})=$	$\displaystyle\,\frac{1}{6}\,=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(C),$
$\displaystyle\mathbb{P}(A\cap B\cap C)=\mathbb{P}(\{6\})=$	$\displaystyle\,\frac{1}{12}\,=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C).\qed$

Tomando $n=2$ na Definição 2.20, podemos observar que toda família de eventos independentes é também $2$ a $2$ independente. Todavia, a recíproca é falsa.

Contra-exemplo 2.22.

No Exemplo 2.19, os eventos $A$ , $B$ e $C$ não são independentes. Com efeito,

\mathbb{P}(A\cap B\cap C)=\mathbb{P}(\emptyset)=0\neq\frac{1}{8}=\mathbb{P}(A)% \mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C).\qed

Contra-exemplo 2.23.

No Exemplo 2.18, os eventos $A$ , $B$ e $C$ não são independentes. Com efeito,

\mathbb{P}(A\cap B\cap C)=\mathbb{P}(\{2,4,6\}^{2})=\frac{1}{4}\neq\frac{1}{8}% =\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C).\qed