8.3 Leis Fortes de Kolmogorov

Nesta seção provaremos outras duas versões de Leis Forte dos Grandes Números com hipóteses mais generosas que aquelas dos Teoremas 8.5 e 8.6.

A Primeira Lei Forte de Kolmogorov, provada em 1930, permite que as variáveis não tenham a mesma distribuição, mas tem uma condição sobre as variâncias. A chamada Lei Forte de Kolmogorov, provada em 1933, estabelece que a hipótese de integrabilidade é suficiente no caso de variáveis i.i.d., e é baseada na Primeira Lei Forte combinada com o método de truncamento.

A prova que daremos para a Primeira Lei Forte de Kolmogorov usa a elegante ideia, introduzida por Etemadi em 1981, de considerar variáveis não-negativas e estudar uma subsequência que cresce exponencialmente rápido, porém com expoente pequeno. Com essa ideia, precisamos apenas que as variáveis sejam independentes duas a duas, mas temos que supor uma condição sobre o primeiro momento que não era usada na demonstração original. Isso também permite provar a Segunda Lei Forte de Kolmogorov supondo apenas que as variáveis sejam independentes duas a duas.

Teorema 8.8 (Primeira Lei Forte dos Grandes Números).

Sejam $(Y_{n})_{n}$ variáveis independentes duas a duas. Suponha que $\sup_{n}\mathbb{E}|Y_{n}|<\infty$ e $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathbb{E}Y_{n}^{2}}{n^{2}}<\infty$ . Então,

\frac{Y_{1}+\cdots+Y_{n}-\mathbb{E}[Y_{1}+\cdots+Y_{n}]}{n}\overset{\mathrm{q.% c.}}{\rightarrow}0.

Demonstração.

Utilizando a decomposição $Y_{n}=Y_{n}^{+}-Y_{n}^{-}$ , podemos supor, sem perda de generalidade, que $Y_{n}$ é não-negativa para todo $n\in\mathbb{N}$ . Denotamos as somas por $T_{n}=Y_{1}+\dots+Y_{n}$ . Mostraremos primeiro que

\frac{T_{k_{n}}-\mathbb{E}T_{k_{n}}}{k_{n}}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0

para uma família especial de subsequências $(k_{n})_{n}$ . Seja $\alpha>1$ . Defina $k_{n}=\lfloor\alpha^{n}\rfloor$ . Note que $k_{n}^{-2}\leqslant 4\alpha^{-2n}$ (pois $x\leqslant 2\lfloor x\rfloor$ para todo $x\geqslant 1$ ) e $\frac{k_{n+1}}{k_{n}}\to\alpha$ . Para cada $r\in\mathbb{N}$ , escrevemos $n_{r}=\min\{n\in\mathbb{N}:k_{n}\geqslant r\}\geqslant\log_{\alpha}r$ .

Estimando a partir da Desigualdade de Tchebyshev, obtemos

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(\|T_{k_{n}}-\mathbb{E}T_{k_{n}}\|% \geqslant\varepsilon k_{n})$	$\displaystyle\leqslant\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathbb{V}T_{k_{n}}}{% \varepsilon^{2}k_{n}^{2}}=\varepsilon^{-2}\sum_{n=1}^{\infty}k_{n}^{-2}\sum_{r% =1}^{k_{n}}\mathbb{V}Y_{r}$
	$\displaystyle=\varepsilon^{-2}\sum_{r=1}^{\infty}\mathbb{V}Y_{r}\sum_{n:k_{n}% \geqslant r}k_{n}^{-2}=\varepsilon^{-2}\sum_{r=1}^{\infty}\mathbb{V}Y_{r}\sum_% {n=n_{r}}^{\infty}k_{n}^{-2}$
	$\displaystyle\leqslant\varepsilon^{-2}\sum_{r=1}^{\infty}\mathbb{V}Y_{r}\frac{% 4\alpha^{-2n_{r}}}{1-\alpha^{-2}}\leqslant\frac{4\varepsilon^{-2}}{1-\alpha^{-% 2}}\sum_{r=1}^{\infty}\frac{\mathbb{V}Y_{r}}{r^{2}}<\infty,$

onde na primeira igualdade usamos a hipótese de que as variáveis $(Y_{n})_{n}$ são independentes duas a duas. Pelos Lema de Borel-Cantelli e Proposição 7.16,

(8.9) (8.9)

\frac{T_{k_{n}}-\mathbb{E}T_{k_{n}}}{k_{n}}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow% }0.

Para concluir a prova, falta preencher as lacunas, controlando a diferença

\frac{T_{r}-\mathbb{E}T_{r}}{r}

para todo $r\in\mathbb{N}$ grande e não apenas na subsequência $k_{n}$ . É aqui que usamos a hipótese de que as variáveis $Y_{n}$ são não-negativas. Para cada $r\geqslant\alpha$ , tomamos $n=n_{r}-1$ , de forma que $1\leqslant k_{n}<r\leqslant k_{n+1}$ . Usando o fato de que $T_{r}$ e $\mathbb{E}T_{r}$ são não-decrescentes e $M=\sup_{r}\mathbb{E}Y_{r}<\infty$ , vamos trabalhar a expressão acima para reduzir o problema a (8.9). Para isso, primeiro majoramos, depois alinhamos os índices do numerador e, finalmente, os do denominador:

$\displaystyle\frac{T_{r}-\mathbb{E}T_{r}}{r}$	$\displaystyle\leqslant\frac{T_{k_{n+1}}-\mathbb{E}T_{k_{n}}}{r}\leqslant\frac{% T_{k_{n+1}}}{k_{n}}-\frac{\mathbb{E}T_{k_{n}}}{k_{n+1}}$
	$\displaystyle=\frac{T_{k_{n+1}}}{k_{n}}-\frac{\mathbb{E}T_{k_{n+1}}}{k_{n}}+(% \tfrac{1}{k_{n}}-\tfrac{1}{k_{n+1}})\mathbb{E}T_{k_{n+1}}+\frac{\mathbb{E}[T_{% k_{n+1}}-T_{k_{n}}]}{k_{n+1}}$
	$\displaystyle\leqslant\frac{k_{n+1}}{k_{n}}\cdot\frac{T_{k_{n+1}}-\mathbb{E}T_% {k_{n+1}}}{k_{n+1}}+(\tfrac{1}{k_{n}}-\tfrac{1}{k_{n+1}})k_{n+1}M+\frac{k_{n+1% }-k_{n}}{k_{n+1}}M.$

Usando (8.9), vemos que $\limsup_{r}\frac{T_{r}-\mathbb{E}T_{r}}{r}\leqslant\alpha\cdot 0+(\alpha-1)M+(% 1-\alpha^{-1})M$ q.c. Como isso vale para todo $\alpha>1$ , $\limsup_{r}\frac{T_{r}-\mathbb{E}T_{r}}{r}\leqslant 0$ q.c. De forma análoga, mostramos que $\liminf_{r}\frac{T_{r}-\mathbb{E}T_{r}}{r}\geqslant 0$ q.c., o que conclui a prova. ∎

Lema 8.10.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias identicamente distribuídas e integráveis. Para cada $n\in\mathbb{N}$ , defina $Y_{n}=X_{n}\mathds{1}_{\{|X_{n}|\leqslant n\}}$ . Então, $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathbb{E}Y_{n}^{2}}{n^{2}}<\infty$ .

Demonstração.

Escrevendo $X=|X_{1}|$ por simplicidade,

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}\,\mathbb{E}Y_{n}^{2}=\sum_{n=1}^{\infty% }n^{-2}\,\mathbb{E}[X_{n}^{2}\mathds{1}_{\{|X_{n}|\leqslant n\}}]=\sum_{n=1}^{% \infty}n^{-2}\,\mathbb{E}[X^{2}\mathds{1}_{\{X\leqslant n\}}]

\displaystyle=\mathbb{E}\Big{[}X^{2}\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}\,\mathds{1}_{\{X% \leqslant n\}}\Big{]}\leqslant\mathbb{E}\Big{[}X^{2}(X^{-1}+X^{-2})\Big{]}=1+% \mathbb{E}X<\infty,

onde usamos o Teorema da Convergência Monótona para comutar soma e esperança, além da estimativa $\sum_{n\geqslant\lceil x\rceil}n^{-2}\leqslant x^{-1}+x^{-2}$ para $x>0$ . ∎

Teorema 8.11 (Segunda Lei Forte dos Grandes Números).

Seja $(X_{n})_{n}$ sequência de variáveis aleatórias, independentes duas a duas, identicamente distribuídas e integráveis. Então,

\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}\mathbb{E}X_{1}.

Demonstração.

Seja $Y_{n}=X_{n}\mathds{1}_{\{|X_{n}|\leqslant n\}}$ para cada $n\in\mathbb{N}$ . Combinando o Lema 8.10 com a Primeira Lei Forte dos Grandes Números, obtemos

\frac{Y_{1}+\dots+Y_{n}-\mathbb{E}[Y_{1}+\dots+Y_{n}]}{n}\overset{\mathrm{q.c.% }}{\rightarrow}0.

Por outro lado, do Teorema da Convergência Dominada,

\mathbb{E}Y_{n}=\mathbb{E}[X_{n}\mathds{1}_{\{|X_{n}|\leqslant n\}}]=\mathbb{E% }[X_{1}\mathds{1}_{\{|X_{1}|\leqslant n\}}]\to\mathbb{E}X_{1}

e, por conseguinte,

\frac{\mathbb{E}[Y_{1}+\dots+Y_{n}]}{n}\to\mathbb{E}X_{1}.

Combinando estes limites, obtemos

\frac{Y_{1}+\dots+Y_{n}}{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}\mathbb{E}X_{1}.

Finalmente, escrevemos $X_{n}=Y_{n}+Z_{n}$ , onde $Z_{n}=X_{n}\mathds{1}_{\{|X_{n}|>n\}}$ . Veja que

\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(Z_{n}\neq 0)=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(|X_{n% }|>n)=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(|X_{1}|>n)<\infty

pela Proposição 5.35. Pelo Lema de Borel-Cantelli, $\mathbb{P}(Z_{n}\neq 0\text{ i.v.})=0$ , logo $Z_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$ e, portanto,

\frac{Z_{1}+\dots+Z_{n}}{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0,

concluindo a prova. ∎