9.3 Teorema do Limite Central de Lyapunov

Nesta seção apresentaremos uma versão de Teorema do Limite Central que, ainda sob a hipótese de independência, é a primeira versão que permite variáveis aleatórias com distribuições diferentes.

Teorema 9.7 (Teorema do Limite Central de Lyapunov).

Sejam $(X_{n})_{n}$ variáveis aleatórias independentes com terceiros momentos finitos satisfazendo

\frac{\sum_{j=1}^{n}\mathbb{E}|X_{j}-\mathbb{E}X_{j}|^{3}}{\left(\sum_{j=1}^{n% }\mathbb{V}X_{j}\right)^{3/2}}\to 0,\text{ quando }n\to\infty.

Então,

\frac{S_{n}-\mathbb{E}S_{n}}{\sqrt{\mathbb{V}S_{n}}}\overset{\smash{\mathrm{d}% }}{\rightarrow}\mathcal{N}(0,1).

Demonstração.

Pelo Teorema de Helly-Bray, basta mostrar que

\mathbb{E}\left[f\left(\frac{S_{n}-\mathbb{E}S_{n}}{\sqrt{\mathbb{V}S_{n}}}% \right)\right]\to\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\frac{e^{-x^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}% \mathrm{d}x\ \text{ quando }n\to\infty,

para qualquer $f$ tal que $f$ , $f^{\prime}$ , $f^{\prime\prime}$ e $f^{\prime\prime\prime}$ sejam limitadas.

Podemos assumir, sem perda de generalidade, que $\mathbb{E}X_{k}=0$ . Escreva $\sigma_{k}=\sqrt{\mathbb{V}X_{k}}$ e $s_{n}=\sqrt{\mathbb{V}S_{n}}$ . Considere $(Y_{n})_{n}$ independentes, e também independentes de $(X_{n})_{n}$ , com a distribuição $\mathcal{N}(0,\sigma_{k}^{2})$ . (Aceitaremos, sem prova, a existência de tal sequência no mesmo espaço de probabilidade.)

Escreva

W_{n}=\frac{Y_{1}+\dots+Y_{n}}{s_{n}}\sim\mathcal{N}(0,1)\quad\text{ e }\quad W% _{n}^{\prime}=\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{s_{n}}.

Fixe $n$ , defina $Z^{0}=W_{n}$ e, para $k=1,\dots,n$ , defina

U^{k}=Z^{k-1}-\frac{Y_{k}}{s_{n}}\quad\text{ e }\quad Z^{k}=U^{k}+\frac{X_{k}}% {s_{n}},

de modo que $Z^{n}=W_{n}^{\prime}$ . Agora,

\mathbb{E}[f(W_{n}^{\prime})]-\mathbb{E}[f(W_{n})]=\mathbb{E}[f(Z^{n})]-% \mathbb{E}[f(Z^{0})]=\sum_{k=1}^{n}\mathbb{E}[f(Z^{k})]-\mathbb{E}[f(Z^{k-1})].

Usando a expansão de Taylor de $f$ com resto de Lagrange,

$\displaystyle f(Z^{k})$	$\displaystyle=f(U^{k}+\tfrac{X_{k}}{s_{n}})$
	$\displaystyle=f(U^{k})+f^{\prime}(U^{k})\frac{X_{k}}{s_{n}}+\frac{f^{\prime% \prime}(U^{k})}{2}\frac{X_{k}^{2}}{s_{n}^{2}}+\frac{f^{\prime\prime\prime}(% \theta^{k})}{6}\frac{X_{k}^{3}}{s_{n}^{3}},$

$\displaystyle f(Z^{k-1})$	$\displaystyle=f(U^{k}+\tfrac{Y_{k}}{s_{n}})$
	$\displaystyle=f(U^{k})+f^{\prime}(U^{k})\frac{Y_{k}}{s_{n}}+\frac{f^{\prime% \prime}(U^{k})}{2}\frac{Y_{k}^{2}}{s_{n}^{2}}+\frac{f^{\prime\prime\prime}(% \tilde{\theta}^{k})}{6}\frac{Y_{k}^{3}}{s_{n}^{3}},$

onde $\theta_{k}$ e $\tilde{\theta}_{k}$ vêm da expansão de Taylor e dependem de $U^{k}$ , $X_{k}$ e $Y_{k}$ .

Observe que $\mathbb{E}X_{k}=\mathbb{E}Y_{k}$ , $\mathbb{E}X_{k}^{2}=\mathbb{E}Y_{k}^{2}$ , que $U^{k}$ é independente de $X_{k}$ e $Y_{k}$ , e recordemos que $f$ e suas três primeiras derivadas são limitadas. Queremos tomar a esperança acima e subtrair. Como $f$ é limitada, $f(U^{k})$ é integrável e este primeiro termo se cancela. Além disso, $f^{\prime}(U^{k})$ é integrável e, usando a independência,

\mathbb{E}[f^{\prime}(U^{k})X_{k}]=\mathbb{E}[f^{\prime}(U^{k})]\cdot\mathbb{E% }X_{k}=\mathbb{E}[f^{\prime}(U^{k})]\cdot\mathbb{E}Y_{k}=\mathbb{E}[f^{\prime}% (U^{k})Y_{k}],

de forma que este termo também se cancela, bem como o terceiro termo pelo mesmo motivo. Portanto,

\mathbb{E}[f(Z^{k})]-\mathbb{E}[f(Z^{k-1})]=\frac{\mathbb{E}[f^{\prime\prime% \prime}(\theta_{k}){X_{k}^{3}}]-\mathbb{E}[f^{\prime\prime\prime}(\tilde{% \theta}_{k})Y_{k}^{3}]}{6s_{n}^{3}}.

Tomando $C=\sup_{x}|f^{\prime\prime\prime}(x)|$ , podemos estimar

$\displaystyle\left\|\mathclap{\phantom{\big{\|}}}\mathbb{E}[f(Z^{k})]-\mathbb{E}% [f(Z^{k-1})]\right\|$	$\displaystyle\leqslant\frac{C\,\mathbb{E}\|X_{k}\|^{3}+C\,\mathbb{E}\|Y_{k}\|^{3}}% {6s_{n}^{3}}$
	$\displaystyle\leqslant C\frac{\mathbb{E}\|X_{k}\|^{3}}{s_{n}^{3}},$

onde na última desigualdade usamos que $\mathbb{E}|Y_{k}|^{3}=\frac{4\sigma_{k}^{3}}{\sqrt{2\pi}}\leqslant 2\sigma_{k}% ^{3}$ e que

\sigma_{k}=(\mathbb{E}|X_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}}\leqslant(\mathbb{E}|X_{k}|^{3% })^{\frac{1}{3}},

pela desigualdade de Lyapunov. Finalmente, somando sobre $k$ ,

$\displaystyle\left\|\mathclap{\phantom{\big{\|}}}\mathbb{E}[f(Z^{n})]-\mathbb{E}% [f(Z^{0})]\right\|$	$\displaystyle\leqslant\sum_{k=1}^{n}\left\|\mathclap{\phantom{\big{\|}}}\mathbb{% E}[f(Z^{k})]-\mathbb{E}[f(Z^{k-1})]\right\|$
	$\displaystyle\leqslant C\frac{\sum_{k=1}^{n}\mathbb{E}\|X_{k}\|^{3}}{\left(\sum_% {k=1}^{n}\mathbb{V}X_{k}\right)^{3/2}}\to 0$

quando $n\to\infty$ por hipótese, o que conclui a prova do teorema. ∎