9.5 Teorema de Slutsky e Método Delta

Nesta seção, veremos o Teorema de Slutsky e o Método Delta, ambos de suma importância em Inferência Estatística. Começamos pelo Teorema do Mapeamento Contínuo, que é uma propriedade fundamental da convergência em distribuição.

Teorema 9.17 (Teorema do Mapeamento Contínuo).

Sejam $(X_{n})_{n}$ e $X$ variáveis aleatórias e $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma função mensurável. Suponha que $g$ seja contínua em todos os pontos de algum conjunto $C\in\mathcal{B}$ tal que $\mathbb{P}(X\in C)=1$ . Se $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ , então $g(X_{n})\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}g(X)$ .

Demonstração.

Pelo acoplamento de Skorokhod, existem $Y\sim X$ e $Y_{n}\sim X_{n}$ tais que $\mathbb{P}(\{\omega:Y_{n}(\omega)\to Y(\omega)\})=1$ . Por hipótese, $\mathbb{P}(\{\omega:Y(\omega)\in C\})=1$ . Além disso, para todo $\omega$ tal que $Y_{n}(\omega)\to Y(\omega)$ e tal que $Y(\omega)\in C$ , vale $g(Y_{n}(\omega))\to g(Y(\omega))$ . Portanto, $g(Y_{n})\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}g(Y)$ . Em particular, $g(Y_{n})\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}g(Y)$ . Por outro lado, $g(Y_{n})\sim g(X_{n})$ e $g(Y)\sim g(X)$ e, pela unicidade do limite em distribuição, $g(X_{n})\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}g(X)$ , concluindo a prova. ∎

No que segue, usaremos o teorema acima em toda a sua generalidade, e também corolários óbvios como $cX_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}cX$ e $X_{n}+c\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X+c$ , se $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ .

Teorema 9.18 (Teorema de Slutsky).

Sejam $X$ , $(X_{n})_{n}$ , $(Y_{n})_{n}$ variáveis aleatórias e $c\in\mathbb{R}$ . Se $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ e $Y_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}c$ , então:

(1)

$X_{n}+Y_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X+c$ ;
(2)

$Y_{n}\cdot X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}cX$ ;
(3)

$\frac{X_{n}}{Y_{n}}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}\frac{X}{c}$ , caso $c\neq 0$ e $Y_{n}\neq 0$ q.c. para todo $n$ .

Demonstração.

Começamos pelo item (1). Supomos inicialmente que $c=0$ . Vamos usar o Teorema de Helly-Bray três vezes. Seja $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ contínua, limitada e com derivada limitada. Tome $M=\sup_{x\in\mathbb{R}}|g(x)|$ e $C=\sup_{x\in\mathbb{R}}|g^{\prime}(x)|$ , de modo que $|g(x)-g(y)|\leqslant C\,|x-y|$ para todos $x,y\in\mathbb{R}$ . Desenvolvemos

$\displaystyle\|\mathbb{E}[g(X_{n}+Y_{n})]-\mathbb{E}[g(X_{n})]\|$	$\displaystyle\leqslant\mathbb{E}\|g(X_{n}+Y_{n})-g(X_{n})\|$
	$\displaystyle\leqslant\mathbb{E}\big{[}\min\{2M,C\,\|Y_{n}\|\}\big{]}$

A última esperança converge a zero pelo Teorema de Helly-Bray, pois $\min\{2M,C\,|y|\}$ é uma função contínua e limitada de $y$ , e $Y_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}0$ . Da mesma forma, $\mathbb{E}[g(X_{n})]\to\mathbb{E}[g(X)]$ , pois $g$ é contínua, limitada e $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ . Portanto, $\mathbb{E}[g(X_{n}+Y_{n})]\to\mathbb{E}[g(X)]$ . Como isso vale para toda função contínua com derivada limitada; novamente pelo Teorema de Helly-Bray, concluímos que $X_{n}+Y_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ . No caso $c\neq 0$ , escrevemos $X_{n}+Y_{n}=(X_{n}+c)+(Y_{n}-c)$ . Observe que $X_{n}+c\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X+c$ e $Y_{n}-c\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}0$ . Aplicando o caso anterior com $X_{n}+c$ no lugar de $X_{n}$ e $Y_{n}-c$ no lugar de $Y_{n}$ , concluímos que $X_{n}+Y_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X+c$ .

Passamos ao item (2). Como no item anterior, vamos supor inicialmente que $c=0$ . Sejam $\varepsilon>0$ e $\delta>0$ . Tome $K>0$ tal que $\mathbb{P}(|X|>K)<\delta$ e $K$ e $-K$ sejam pontos de continuidade de $F_{X}$ (é possível tomar tal $K$ , pois $\{|X|>n\}\downarrow\emptyset$ quando $n\to\infty$ e o conjunto de pontos onde $F_{X}$ é descontínua é enumerável). Vamos mostrar que $X_{n}Y_{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0$ . Expandindo:

$\displaystyle\limsup_{n}\mathbb{P}(\|X_{n}Y_{n}\|\geqslant\varepsilon)$	$\displaystyle\leqslant\lim_{n}\mathbb{P}(\|X_{n}\|>K)+\lim_{n}\mathbb{P}(\|Y_{n}\|% \geqslant\tfrac{\varepsilon}{K})$
	$\displaystyle=\mathbb{P}(\|X\|>K)+0<\delta,$

onde na igualdade acima utilizamos que $Y_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}0$ . Como isso vale para todo $\delta>0$ , temos $\lim_{n}\mathbb{P}(|X_{n}Y_{n}|\geqslant\varepsilon)=0$ , donde $X_{n}Y_{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0$ e, em particular, $X_{n}Y_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}0$ . No caso $c\neq 0$ , escrevemos $X_{n}Y_{n}=X_{n}(Y_{n}-c)+cX_{n}$ . Observe que $cX_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}cX$ e $Y_{n}-c\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}0$ . Pelo caso anterior, com $Y_{n}-c$ no lugar de $Y_{n}$ , obtemos $X_{n}(Y_{n}-c)\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}0$ . Pelo item (1), $Y_{n}\cdot X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}cX$ .

Provemos finalmente (3). Considere $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $g(0)=0$ e $g(y)=y^{-1}$ se $y\neq 0$ . Pelo Teorema do Mapeamento Contínuo, $\frac{1}{Y_{n}}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}\frac{1}{c}$ , pois $g$ é descontinua apenas em $0$ e $c\neq 0$ . Aplicando o item (2), com $\frac{1}{Y_{n}}$ no lugar de $Y_{n}$ , concluímos que $\frac{X_{n}}{Y_{n}}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}\frac{X}{c}$ . ∎

Corolário 9.19.

Sejam $X$ e $(X_{n})_{n}$ variáveis aleatórias e sejam $c$ e $(c_{n})_{n}$ constantes reais. Se $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ e $c_{n}\to c$ , então $c_{n}X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}cX$ e $X_{n}+c_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X+c$ .

Observação 9.20.

A conclusão do teorema acima pode ser falsa se $Y_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}Y$ com $Y$ aleatória, pois as hipóteses do teorema nada dizem sobre a distribuição conjunta de $X_{n}$ e $Y_{n}$ . Com efeito, tome $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ , $X_{n}=Y_{n}=Z$ , $X=Z$ e $Y=-Z$ . Observe que $X_{n}+Y_{n}\sim\mathcal{N}(0,4)$ e $X+Y=0$ q.c., de forma que $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ , $Y_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}Y$ , mas $X_{n}+Y_{n}$ não converge para $X+Y$ . ∎

Exemplo 9.21.

Considere uma sequência $(X_{n})_{n}$ de variáveis aleatórias i.i.d. não-degeneradas com segundo momento finito, com média $\mu$ e variância $\sigma$ . Se $\mu$ é desconhecido, um estimador para $\mu$ após observar os valores $X_{1},\dots,X_{n}$ é

\hat{\mu}_{n}=\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}.

Pela Lei dos Grandes Números de Kolmogorov, $\hat{\mu}_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}\mu$ . Queremos saber qual é a distribuição do erro $\hat{\mu}_{n}-\mu$ . Pelo Teorema do Limite Central,

\sqrt{n}\,\frac{\hat{\mu}_{n}-\mu}{\sigma}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{% \rightarrow}\mathcal{N}(0,1),

ou seja, $\hat{\mu}_{n}-\mu$ tem distribuição aproximadamente normal com média zero e variância $\sigma^{2}/n$ . Porém, gostaríamos de saber a distribuição aproximada de $\hat{\mu}_{n}-\mu$ sem ter que fazer referência ao parâmetro $\sigma^{2}$ , pois este pode ser também desconhecido. Um estimador para $\sigma^{2}$ é dado por¹⁶¹⁶ 16 A razão para tomar-se $n-1$ no denominador é para que $\mathbb{E}[\hat{s}_{n}^{2}]=\sigma^{2}$ .

{\hat{s}_{n}^{2}}=\frac{\sum_{k=1}^{n}(X_{k}-\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_{j})^{% 2}}{n-1}.

Reescrevendo e expandindo a expressão acima, chegamos a

\hat{s}_{n}^{2}=\frac{n}{n-1}\bigg{[}\Big{(}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_{k}^{2}% \Big{)}-\Big{(}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_{k}\Big{)}^{2}\bigg{]}\overset{% \mathrm{q.c.}}{\rightarrow}\mathbb{E}X_{1}^{2}-(\mathbb{E}X_{1})^{2}=\sigma^{2}

pela Lei dos Grandes Números de Kolmogorov. Em particular,

\frac{\hat{s}_{n}}{\sigma}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}1

e, pelo item (3) do Teorema de Slutsky,

\sqrt{n}\,\frac{\hat{\mu}_{n}-\mu}{{\hat{s}_{n}}}=\sqrt{n}\,\frac{\hat{\mu}_{n% }-\mu}{\sigma\cdot({\hat{s}_{n}}/\sigma)}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{% \rightarrow}\mathcal{N}(0,1),

ou seja, $\hat{\mu}_{n}-\mu$ tem distribuição aproximadamente normal com média zero e variância $\hat{s}_{n}^{2}/n$ (para que o quociente acima esteja definido, substituímos $\hat{s}_{n}$ por $1$ caso seu valor seja $0$ ; a probabilidade desse evento tende a zero). ∎

No exemplo acima, qual a distribuição aproximada de $\hat{\mu}_{n}^{-1}-\mu^{-1}$ , ou de $\hat{\mu}_{n}^{2}-\mu^{2}$ ? A resposta é dada por outra aplicação do Teorema de Slutsky.

Teorema 9.22 (Método Delta).

Seja $(Y_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias tais que

r_{n}\cdot(Y_{n}-\mu)\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}Z

para alguma sequência de números reais $r_{n}\to+\infty$ , algum $\mu\in\mathbb{R}$ e alguma variável aleatória $Z$ . Se $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ é uma função mensurável e $g$ é diferenciável em $\mu$ , então

r_{n}\cdot\big{(}g(Y_{n})-g(\mu)\big{)}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{% \rightarrow}g^{\prime}(\mu)\,Z.

Demonstração.

Defina $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ como $h(\mu)=g^{\prime}(\mu)$ e $h(x)=\frac{g(x)-g(\mu)}{x-\mu}$ para $x\neq\mu$ , e observe que $h$ é contínua em $\mu$ . Reescrevemos

\displaystyle r_{n}\cdot[g(Y_{n})-g(\mu)]

\displaystyle=r_{n}\cdot h(Y_{n})\cdot(Y_{n}-\mu).

Observe que, pelo Corolário 9.19, $Y_{n}=\mu+r_{n}^{-1}\cdot r_{n}\cdot(Y_{n}-\mu)\overset{\smash{\mathrm{d}}}{% \rightarrow}\mu$ . Pelo Teorema do Mapeamento Contínuo, $h(Y_{n})\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}h(\mu)=g^{\prime}(\mu)$ , pois $h$ é contínua em $\mu$ . Por outro lado, $r_{n}\cdot(Y_{n}-\mu)\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}Z$ e, pelo item (2) do Teorema de Slutsky, $h(Y_{n})\cdot r_{n}\cdot(Y_{n}-\mu)\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}g^% {\prime}(\mu)\,Z$ , concluindo a prova. ∎

Observação 9.23.

No contexto do Teorema do Limite Central, se

\frac{S_{n}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}% \mathcal{N}(0,1)

com $S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}$ , podemos tomar $Y_{n}=\bar{X}_{n}=\frac{S_{n}}{n}$ e $r_{n}=\sqrt{n}$ , de forma a reescrever a convergência como

\ \sqrt{n}\,(\bar{X}_{n}-\mu)\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}\mathcal% {N}(0,\sigma^{2}).

Neste caso, o Método Delta nos dá

\sqrt{n}\,\big{(}g(\bar{X}_{n})-g(\mu)\big{)}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{% \rightarrow}\mathcal{N}\big{(}\,0,\sigma^{2}\,g^{\prime}(\mu)^{2}\,\big{)}

supondo que $g^{\prime}(\mu)\neq 0$ (ou, caso $g^{\prime}(\mu)=0$ , convencionando que $\mathcal{N}(0,0)$ denota uma variável aleatória degenerada q.c. igual a zero). ∎

Exemplo 9.24.

Sejam $(X_{n})_{n}$ variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição $\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(\lambda)$ e considere o estimador

\hat{\lambda}_{n}=\frac{n}{X_{1}+\dots+X_{n}}

para o parâmetro $\lambda$ . Pela Lei dos Grandes Números de Cantelli, $\hat{\lambda}_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}\lambda$ e gostaríamos de saber a distribuição aproximada do erro $\hat{\lambda}_{n}-\lambda$ . Observe que, pelo Teorema do Limite Central,

\sqrt{n}\,(\hat{\lambda}_{n}^{-1}-\lambda^{-1})\overset{\smash{\mathrm{d}}}{% \rightarrow}\mathcal{N}(0,{\lambda^{-2}}).

Aplicando o Método Delta, com $g(x)=x^{-1}$ , obtemos

\sqrt{n}\,(\hat{\lambda}_{n}-\lambda)\to\mathcal{N}(0,\lambda^{2}).\qed

Exemplo 9.25.

Sejam $(X_{n})_{n}$ variáveis aleatórias i.i.d. com média $\mu>0$ e variância $\sigma^{2}$ , e defina

\hat{\mu}_{n}=\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}.

Suponha que estamos interessados na grandeza $\mu^{2}=(\mathbb{E}X_{1})^{2}$ e usamos $\hat{\mu}_{n}^{2}$ para estimá-la. Para o erro desse estimador, o Método Delta nos dá

\sqrt{n}\,(\hat{\mu}_{n}^{\,2}-\mu^{2})\overset{\smash{\mathrm{d}}}{% \rightarrow}\mathcal{N}(0,4\sigma^{2}\mu^{2}).\qed