C.1 Reta estendida

Definimos o conjunto dos números reais estendidos, denotado por $[-\infty,+\infty]$, agregando-se os símbolos $+\infty$ e $-\infty$ ao conjunto $\mathbb{R}$. Salientamos que os símbolos $+\infty$ e $-\infty$ não são números reais. Às vezes, escrevemos $\infty$ no lugar de $+\infty$.

Adotaremos as seguintes convenções:

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  Declaramos que $-\infty<+\infty$ e $-\infty<c<+\infty$ para todo $c\in\mathbb{R}$.

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  Deixamos sem definir $(+\infty)+(-\infty)$, que chamamos “$\infty-\infty$”.

  Atentemos para que tudo o que escrevamos não contenha $\infty-\infty$.

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  Também deixamos sem definir $\frac{z}{\pm\infty}$, qualquer que seja $z\in[-\infty,+\infty]$.

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  Definimos $0\cdot(\pm\infty)=0$.

  No Cálculo, $0\cdot(\pm\infty)$ era considerada uma forma indeterminada, mas em Teoria da Medida e Teoria da Probabilidade, essa definição é muito conveniente e faz sentido. Por exemplo, a área de um retângulo de largura zero e altura infinita é igual a zero.

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  Definimos $(+\infty)+(+\infty)=+\infty$, $(-\infty)+(-\infty)=-\infty$, $(+\infty)\cdot(\pm\infty)=\pm\infty$, $(-\infty)\cdot(\pm\infty)=\mp\infty$, $-(-\infty)=+\infty$, $|\pm\infty|=+\infty$. Ademais, $c+(\pm\infty)=\pm\infty$ para todo $c\in\mathbb{R}$ e $a\cdot(\pm\infty)=\pm\infty$ para todo $a>0$.

Estas convenções fazem com que a soma e produto em $[-\infty,+\infty]$ sejam operações comutativas, distributivas e associativas sempre que bem definidas, ou seja, exceto pela restrição do $\infty-\infty$.

Observe que algumas propriedades, antes válidas para números reais, agora exigem maior escrutínio. Mais precisamente, para $x,y,z\in[-\infty,+\infty]$, a relação $x+z=y+z$ não necessariamente implica que $x=y$, pois não podemos subtrair $z$ de ambos os lados de uma igualdade antes de verificar que $|z|<\infty$. Da mesma forma, $x<y$ não implica que $x+z<y+z$.

Com a definição $0\cdot(\pm\infty)=0$ ao invés da forma indeterminada, não podemos dizer que $\lim_{n}(a_{n}b_{n})=(\lim_{n}a_{n})(\lim_{n}b_{n})$ mesmo que os limites existam em $[-\infty,+\infty]$, pois a igualdade pode falhar em exemplos como $a_{n}=n$ e $b_{n}=\frac{1}{n}$. Entretanto, vale essa igualdade se as sequências são não-negativas e não-decrescentes.

Apesar do problema acima, limites funcionam bem com a soma, como em

O mais importante é lembrar que sempre teremos problema se encontrarmos $\infty-\infty$.