Trata-se de um curso com sigla dupla, ou seja, que será dado ao mesmo tempo para a graduação e a pós-graduação. Aqui está a ementa da matéria da pós (com algumas inclusões) que é a que vou seguir:
Ementa:
Grupo fundamental, recobrimentos e o teorema de Seifert-van Kampen; Homologia simplicial; Homologia singular: complexos de cadeias. Construção de funtores de homologia. Invariância homotópica, excisão e seqüência Mayer-Vietoris. Cálculo de homologia; aplicações. Teorema do ponto fixo de Brouwer, grau de uma aplicação. Teorema de Jordan-Brouwer; invariância do domínio. CW-Complexos: definição e propriedades elementares; exemplos. Teoremas da extenção das homotopias e da aproximação celular. Homologia celular e cálculos de homologia dos espaços projetivos. Cohomologia singular (parte aditiva).
Bibliografia:
1)A. Hatcher. Algebraic Topology, Cambridge University Press
2)G. E. Bredon. Geometry and Topology, Springer
3)J. M. Lee. Introduction to Topological Manifolds, Springer
4)Algumas partes da ementa também estão nestas notas de aula que escrevi para outra disciplina.
NOTAS PARCIAIS: Aqui vocês encontram as notas das três provas e a média final. Lembro que que quiser pode me mandar um email para marcar a prova SUB oral. Vocês também podem entregar os projetos (bonus na média) até o dia 14/12.
Quem ficar de REC me escreva para marcar a data!
Avaliação:
Serão 3 provas, todas com o mesmo peso. As alunas e os alunos da pós deverão realizar a prova toda na sala de aula. Para as alunas e os alunos da graduação, uma parte deverá ser realizada na sala de aula, e outra parte em casa. Vocês poderão utilizar referencias durante a prova (livros, cadernos, artigos, etc...) mas não poderão consultar a/o colega e nem a internet (incluindo a parte da prova que será feita em casa! - claro que isso se baseia em uma relação de confiança).
Data das Provas: P1: 14/09; P2 26/10; P3 30/11
Listas de Exercícios
Lista 1, Lista 2, Lista 3, Lista 4, Lista 5
Projeto 1: (Bonus de até 0,5pts na Média Final) Explique a construção do “Alexander Horned Sphere” e domonstre suas propriedades. Explique e demonstre o teorema de Schoenflies (ou Schönflies). Compare os dois resultados acima. -- Entrega até o fim do semestre
Projeto 2: (Bonus de até 0,5pts na Média Final) Mostre que o grau diferenciável coincide com o grau topológico. Aqui você encontra um roteiro para a demonstração. -- Entrega até o fim do semestre
Resumo das Aulas
05/08 - Introdução; O que é topologia algébrica
10/08 - Homotopia; equivalencia de homotopia
12/08 - Grupo Fundamental: Definição; Homotopia livre vs homotopia relativa
17/08 - Recobrimentos: definição, ações propriamente descontínuas, uncidade de levantamentos, levantamento de homotpias, consequencia: levantamento de caminhos, levantamento de homotpias relativas à {0,1}, ação do grupo fundamental na fibra do recobrimento; o grupo fundamental do quociente por uma ação propriamente descontínua, exemplo o grupo fudamental de S^1 (Notas de Aula do Matheus Gonçalves Cunha)
19/08 - demonstrações da aula anterior; levantamentos de funções arbitrárias de X para B (critério); o teorema de Bosuk-Ulam (Notas de Aula do Matheus Gonçalves Cunha)
24/08 - Recobrimento Universal - definição, existência, unicidade.
26/08 - Teorema de Seifert - van Kampen: pushout de grupos; enunciado do teorema; casos particulares: (a) G_1 = G_2 = {1} implica G = {1}; aplicação S^n é simplesmente conexo (n>1); (b) N = G_2 = {1} implica G = G_1; Apllicação: remover um ponto de uma variedade de dimensão maior ou igual a 3 não muda o grupo fundamental; (c) G_2 = {1} implica que G é isomorfo ao quociente de G_1 pelo fecho normal i(N); aplicação para espaços obtidos colando uma 2-célula à um espaço A. O grupo fundamental de superfícies em termos do grupo fundamental de um bouquet de S^1. OBS: tb defini variedades e soma conexa.
31/08 - Teorema de Seifert - van Kampen: produto livre de grupos, grupos livres, grupos dados por geradores e relações, descrição de \pi_1(X,x) no caso geral.
02/09 - Demontração do Teorema de Seifert - van Kampen.
14/09 - Prova 1
16/09 - Introdução intuitiva à Homologia
21/09 - Complexos simpliciais, realização geométrica, triangulações, Delta-complexos, complexo de cadeias simpliciais, ciclos, bordos e homologia simplicial
23/09 - H_0(K) e conexidade, pseudo-variedades com e sem bordo, orientação de pseudo variedades e interpretação de H_n(K) para uma pseudo-variedade K de dimensão n.
28/09 - Aplicações simpliciais, aplicação induzida em homologia, o teorema da aproximação simplicial.
30/09 - Um pouco de álgebra homológica: complexos de cadeias de R-módulos, número de Euler de um complexo de espaços vetorias de dimensão finita e sua invariância homológica, homotopias de cadeias, sequencias curtas exatas e a sequencia longa exata induzida em homologia, sequencia longa do par, a classe fundamental de uma pseudo-variedade orientada com bordo, teorema de Mayer-Vietoris.
05/10 - Homologia singular, homologia relativa, invariancia de homotopia, naturalidade do morfismo de conexão, homologia reduzida.
07/10 - Excisão, Mayer-vietoris, bom par, homologia de S^n, homologia de CP^n, Teorema da invariância de domínio.
14/10 - Parte I: Isomorfismo entre homologia simplicial e homologia singular. Parte II: Número de Lefschetz, Teorema do ponto fixo de Lefschetz, Teorema da “Esfera Cabeluda”.
19/10 - O teorema de Hurewicz em dimensão 1.
21/10 - Dualidade de Jordan-Alexander & o Teorema da curva de Jordan.
26/10 - Prova 2
28/10 - Avaliação da Disciplina
04/11 - Grau de Brouwer, definição, propriedades, teorema da bola cabeluda (de novo!), Ação livre em esfera de dimensão par implica G = Z_2, grau local, grau = soma de graus locais, grau diferenciável.
09/11 - Células, X é obtido de A colando uma n-célula, propriedade universal, exemplos.
11/11 - Complexos CW; definição e exemplos
16/11 - Homologia Celular; definição, isomorfismo com homologia singular, aplicação de bordo via grau de Brouwer. (CUIDADO: Tem um erro nas notas de aula na última página. Se n=2k+1 é ímpar, então H_n(RP^n) = Z e não Z_2)!!!
18/11 - Sequencia “transfer” para recobrimentos duplos e o teorema de Borsuk-Ulam
23/11 - Cohomologia; Preparação para o teorema dos coeficientes universais: produto tensorial, Hom(A,B), exato a esquerda, exato a direita, resoluções projetivas
25/11 - Tor, Ext, e o teorema dos coeficientes universais para homologia e cohomologia.
30/11 - Prova 3