Curso de Cálculo V
MAP 0217 / MAT 0311
Professor: Pedro Tavares Paes Lopes
PROVA REC SERÁ NA SEGUNDA-FEIRA, DIA 01 DE FEVEREIRO DE 2016. COMEÇARÁ ÀS 10:00 E TERMINARÁ AO MEIO DIA NA SALA B-06 (ATENÇÃO! NÃO SERÁ A MESMA SALA DA AULA).
Como haverá congresso durante esta semana, a prova não passará do meio dia. Favor evitem atrasos (a prova poderá ser feita em 2 horas).
Notas Finais após REC (de acordo com os critérios do curso)
PROVA SUBSTITUTIVA SERÁ NA SEXTA, DIA 11/12, ÀS 10:00 NA SALA DE AULA (A mudança ocorreu a pedido de alunos).
A Lista 7 é para entregar na segunda. Estarei na minha sala B 110, durante o horário de aula. Caso haja qualquer desencontro, pode colocar a lista debaixo da porta da minha sala.
Horário:
Segunda-feira às 10:00 hs
Quarta-feira às 8:00 hs
Sexta-feira às 10:00 hs
Monitoria: Quarta-feira às 13:00 na sala 169 do bloco B.
Avaliação:
90% Provas (Prova 1 +Prova 2 + Prova 3)/3.
10% Listas (Por volta de um exercício a cada 2 semanas).
Data das Provas:
P1) 21 de Setembro
P2) 26 de Outubro
P3) 4 de Dezembro
Psub) 11 de Dezembro às 10 horas da manhã na sala de aula.
Prec) 1 de Fevereiro de 2016, às 10 horas da manhã na sala B-06 do bloco B. (NOVO)
Atenção:
Quem não puder fazer alguma das provas acima (e tiver justificativa) poderá fazer a prova substitutiva. A regra de avaliação continuará a mesma: a média das provas feitas. (Lembramos também que colar = reprovação imediata)
Os alunos que fizerem todas as provas no período normal e que estiverem abaixo da média (somente os alunos com nota final menor do que 5), também poderão fazer a prova substitutiva. Neste caso a nota final será
Min{5,max{(P1+P2+P3)/3,((P1+P2+P3)/3+Psub)/2}}
Para aqueles que fizerem a Rec, a nota final será
Min{5,max{M,(M+Rec)/2}},
em que M é a média final (antes da Rec) e Rec é a nota da Rec.
Referências:
1) Análise Real volume 2, Elon Lages Lima.
2) Cálculo Diferencial Geométrico no Rn, Élvia Sallum, Lucia Murakami, Juaci da Silva.
Site: http://www.ime.usp.br/~ricardo/calculogeometrico/calculo_diferencial_geometrico_Rn.pdf
3) Espaços Métricos, Elon Lages Lima.
Exercícios para Entregar:
1) Exercício da primeira quinzena (escolha um dos três exercícios para entregar até dia 31 de agosto). Exercícios Primeira Quinzena
Notas dos Exercícios da primeira quinzena. Notas dos Exercícios Primeira Quinzena
2) Exercício da segunda quinzena (escolha um dos três exercícios para entregar até dia 21 de setembro). Exercícios Segunda Quinzena
Notas dos Exercícios da segunda quinzena. Notas dos Exercícios Segunda Quinzena
Exercícios Resolvidos (Pelo Monitor) da segunda quinzena. Gabarito dos Exercícios Segunda Quinzena
3) Exercício da terceira quinzena (escolha um dos três exercícios para entregar até dia 14 de outubro). Exercícios Terceira Quinzena
Notas dos Exercícios da terceira quinzena. Notas dos Exercícios Terceira Quinzena
Exercícios Resolvidos (Pelo Monitor) da terceira quinzena. Gabarito dos Exercícios Terceira Quinzena
4) Exercício da quarta quinzena (escolha um dos três exercícios para entregar até dia 28 de outubro). Exercícios Quarta Quinzena
Exercícios Resolvidos (Pelo Monitor) da quarta quinzena. Gabarito dos Exercícios Quarta Quinzena
5) Exercício da quinta quinzena (escolha um dos três exercícios para entregar até dia 9 de novembro). Exercícios Quinta Quinzena
Exercícios Resolvidos (Pelo Monitor) da quinta quinzena. Gabarito dos Exercícios Quinta Quinzena
6) Exercício da sexta quinzena (escolha um dos três exercícios para entregar até dia 23 de novembro). Exercícios Sexta Quinzena
Exercícios Resolvidos (Pelo Monitor) da sexta quinzena. Gabarito dos Exercícios Sexta Quinzena
Notas dos Exercícios da sexta quinzena. Notas dos exercícios (até a sexta quinzena)
7) Exercício da sétima quinzena (escolha um dos três exercícios para entregar até dia 7 de dezembro) Exercícios Sétima Quinzena
Exercícios Resolvidos (Pelo Monitor) da sétima quinzena. Gabarito dos Exercícios Sétima Quinzena
Notas Finais dos Exercícios Notas de Listas Final (Novo)
Exercícios para estudar:
1) Primeira Lista de Exercícios (Não precisa entregar). Primeira Lista de Exercícios
2) Segunda Lista de Exercícios (Não precisa entregar). Segunda Lista de Exercícios
3) Terceira Lista de Exercícios (Não precisa entregar). Terceira Lista de Exercícios
Alguns Exercícios Resolvidos da lista 3. Cuidado! Estas resoluções foram feitas sem revisão e podem conter erros (Exemplo: Ignore a solução do exercício 1 b)). Eu as coloco aqui apenas para poder ajudar àqueles que não puderam comparecer à aula extra de exercícios. Use-as com senso crítico!
4) Quarta Lista de Exercícios (Não precisa entregar). Quarta Lista de Exercícios - Quarta Lista de Exercícios Digitalizada
Todos Exercícios Resolvidos - Lista 4 da lista 4.
Notas das Provas:
1) Primeira Prova Notas da Primeira Prova Gabarito da Primeira Prova
2) Segunda Prova Notas da Segunda Prova Gabarito da Segunda Prova
3) Terceira Prova Notas das três provas Gabarito da Terceira Prova
4) Gabarito da Prova Substitutiva (Novo)
Notas Finais Notas Finais (Com SUB)
As Notas Finais foram revisadas (lamento pelos erros). Acima estão as notas finais corrigidas.
O curso aula por aula:
Dia 10/08: Definição de espaços métricos e topológicos. Espaços normados e espaços com produto interno. A métrica vinda de normas. Bolas abertas. Exemplos.
Dia 12/08: Conjuntos abertos e topologia de espaços métricos (formada pelos abertos). Métrica e topologia induzida. Interior de um conjunto. Exemplos.
Dia 14/08: Conjuntos fechados e suas propriedades básicas. Definição de fecho de um conjunto. Definição de pontos de aderência, distância de ponto a um conjunto e relação entre fecho e pontos de aderência (o fecho é o conjunto de todos os pontos de aderência).
Dia 17/08: Exemplos de conjuntos fechados e fechos de conjuntos. Fechos e conjuntos fechados em subconjuntos de um espaço métrico com uma métrica induzida. Definição e exemplos de ponto de acumulação. Definição de fronteira de um conjunto.
Dia 19/08: Conjuntos densos. Propriedades de fronteira de conjuntos. Conjuntos conexos: Definição e exemplos.
Dia 21/08: Conjuntos conexos: Propriedades (Teorema da Alfândega e etc). Componentes conexas.
Dia 24/08: Conjuntos Compactos. Definição e Propriedades.
Dia 26/08: Distância entre conjuntos. A distância entre um compacto e um fechado é maior do que zero. Funções contínuas: Definição e caracterizações. A composta de funções contínuas é uma função contínua.
Dia 28/08: Exemplos de funções contínuas (entre eles a norma, o produto interno, a métrica, a soma e a multiplicação). Errata de um Teorema sobre conexidade. Definição de homeomorfismo.
Dia 31/08: Propriedades de homeomorfismos. Equivalência de métricas. Funções contínuas e conjuntos compactos: funções contínuas levam compactos em compactos.
Dia 02/09: Funções uniformemente contínuas. Funções contínuas e conjuntos conexos: funções contínuas levam conexos em conexos. Espaços conexos por caminhos.
Dia 04/09: Propriedades de espaços conexos por caminhos. Definição de seqüências e seqüências convergentes.
Dia 14/09: Subsequências. Relações de sequências com conjuntos abertos, fechados e funções contínuas.
Dia 16/09: Sequências e funções contínuas. Espaços métricos completos. Caracterização de compactos usando sequências.
Dia 18/09: Produto Cartesiano de Espaços Métricos e Aula Extra de exercícios (das 12:30 às 14:00)
Dia 21/09: Primeira Prova.
Dia 23/09: Demonstração de que todas as normas em espaços vetoriais de dimensão finita são equivalentes. Conceito de limite.
Dia 25/09: Continuidade de transformações lineares entre dois espaços vetoriais. Demonstração de que toda transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita é contínua. Exemplos de normas de matrizes. Definição de funções diferenciáveis de Rn em R.
Dia 28/09: Exemplo de função com derivadas parciais que não é diferenciável. Funções de classe C1 e C0. Regra da cadeia. Derivada direcional e Teorema do valor médio.
Dia 30/09: Propriedades do Gradiente. Derivadas de ordem superior: Teorema de Schwartz.
Dia 02/10: Fórmula de Taylor: Definição, unicidade, fórmulas com resto integral e de Lagrange. Definição de p-ésima diferencial em um ponto.
Dia 05/10: Formas quadráticas. A forma quadrática Hessiana. Pontos críticos. Máximos e Mínimos.
Dia 07/10: Exemplos de Máximos e Mínimos. Teorema das funções implícitas.
Dia 09/10: Hiperfícies. Espaço tangente de uma hiperfície num determinado ponto. Valores Regulares. Faixa de Möbius. Exemplos.
Dia 14/10: Pontos críticos em Hiperfícies e Multiplicadores de Lagrange.
Dia 16/10: Exemplos e aplicações do Método dos Multiplicadores de Lagrange: Todo operador auto-adjunto tem autovetores, Teorema de Hadamard, média geométrica é sempre menor ou igual à média algébrica.
Dia 19/10: A Lagrangeana de um problema. Definição de funções convexas. Estudo de funções convexas em R.
Dia 21/10: Propriedades de funções convexas em Rn. Demonstração da desigualdade de Cauchy-Schwartz usando propriedades de funções convexas.
Dia 23/10: Demonstração de que toda função convexa é contínua. Começo da terceira parte do curso. Definição de Funções Diferenciáveis de Rm em Rn. Aula Extra de Exercícios das 12:30 às 14:00.
Dia 26/10: Segunda Prova.
Dia 28/10: Demonstração de que f=(f1,…,fn) é diferenciável se, e somente se, todas as suas componentes fj forem diferenciáveis. Exemplos de funções (aplicações) diferenciáveis: Formas lineares, bilineares, derivação complexa e etc.
Dia 04/11: Propriedades de Aplicações Diferenciáveis: Se df(x)=0 para todo x, então f é constante. Se f e g são diferenciáveis, então a composta de f e g também é. Regra da Cadeia. Exemplos com regra da cadeia usando funções bilineares, determinantes, exponenciais de matrizes e etc.
Dia 06/11: Diferencial de Inversas de matrizes. Desigualdade do valor médio. Derivada direcional. Derivada de ordem superior. Funções de classe C^k.
Dia 09/11: Derivadas de ordem superior como funções multilineares. Diferenciabilidade Uniforme. Definição de Difeomorfismo.
Dia 11/11: Propriedades de Difeomorfismos: Se f é difeomorfismo Ck, então f^-1 também é difeomorfismo Ck. A composição de difeomorfismos de classe Ck também é de classe Ck. Difeomorfismos locais e suas propriedades. Começo da demonstração do Teorema da Aplicação Inversa: Demonstração da Diferenciabilidade do Homeomorfismo Inverso.
Dia 13/11: Fim da demonstração do Teorema da Aplicação Inversa. Exemplos: Raiz quadrada de matrizes, função e^z. Comentários finais sobre o Teorema da Aplicação Inversa para funções em R.
Dia 16/11: Exemplo dos pontos degenerados. Definição de Submersões. Teorema da Forma Local das Submersões.
Dia 18/11: Propriedades de Submersões: Leva abertos em abertos. Teorema das aplicações Implícitas. Derivada de aplicações implícitas.
Dia 23/11: Exemplo de aplicação do Teorema da Aplicação Implícita. Dependência Suave das raízes complexas simples em relação aos coeficientes do polinômio. Forma local das imersões e algumas consequências.
Dia 25/11: Definição de Posto de uma matriz/transformação linear. Definição de posto de uma aplicação diferenciável. Demonstração do Teorema do Posto.
Dia 27/11: Parametrizações e superfícies diferenciáveis. Demonstração de que M é uma superfície se, e somente se, é localmente o gráfico de uma função diferenciável.
Dia 30/11: Espaço tangente de uma superfície. Pontos críticos de uma função sobre uma superfície. Método dos Multiplicadores de Lagrange.
Dia 02/12: Exemplo de Superfície e aplicação de multiplicadores de Lagrange: Teorema dos valores singulares. Demonstração de que o Teorema das funções implícitas implica o Teorema das Funções Inversas. Aviso: As notas de aula da terceira prova estão na gráfica.
Dia 03/12: Dúvidas das 12:30 às 14:00.
Dia 04/12: Terceira Prova.