Equações Diferenciais e Aplicações

Dinâmica de Equações de Evolução
O grupo trabalha com aspectos fundamentais do comportamento qualitativo de sistemas dinâmicos de dimensão infinita, quer sejam gerados por equações diferenciais parciais quer sejam por equações funcionais. Tais sistemas são importantes na modelagem matemática e no estudo de fenômenos naturais relacionados às mais diversas áreas do conhecimento, como a Física, Biologia, Química, Economia, Engenharia e Ecologia.

Membros:
Dinâmica de Sistemas Hamiltonianos
Estudo da dinâmica de sistemas mecânicos Hamiltonianos com aplicações à mecânica celeste e ao movimento de corpos imersos em líquidos. Investigação dos efeitos de forças que dissipam energia.

Membro:
Equações Diferenciais Parciais não Lineares
Estudo de estabilidade de ondas estacionárias.

 

Membro:

 

Mecânica Geométrica e Controle
Estudo de problemas da mecânica geométrica e mecânica celeste. Teoria de controle. 

Membros:
Teoria Geométrica de EDPs e várias variáveis complexas
Os principais objetivos do projeto são dar continuidade às pesquisas desenvolvidas pelo grupo proponente durante a vigência do Projeto Temático 2012/03168­7 nas áreas de Equações Diferenciais Parciais Lineares e Análise Complexa Multidimensional, bem como fortalecer as atividades de formação de estudantes de pós­graduação nestas áreas de pesquisa. Os principais tópicos a serem abordados são: (a) Resolubilidade local, semi­global e global para operadores diferenciais lineares e sistemas involutivos de campos vetoriais complexos; (b) Propriedades de regularidade das soluções: hipoelipticidade C^\infty, analítica e Gevrey; (c) Propriedades gerais das soluções aproximadas para sistemas involutivos de campos vetoriais complexos; (d) Teoria de espaços de Hardy para campos vetoriais não elípticos; (e) Extensão dos teoremas de F. e M. Riesz e de Rudin­Carleson para campos vetoriais complexos.
 
Membro:
Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais e suas Aplicações
Os principais tópicos estudados nesta linha são os campos vetoriais, suaves ou não, equações diferenciais implícitas, e campos vetoriais reversíveis. Do ponto de vista geométrico, nas equações diferenciais são tratadas as curvas especiais em superfícies (linhas de curvatura principal, linhas assintóticas, curvas de Darboux) e outras questões que relacionam dinâmica e geometria. Vinculado a campos vetoriais, trabalhamos ao longo das linhas gerais propostas no programa de Thom-Smale: determinação de cotas de ciclos limite, fenômenos globais (conexões e órbitas periódicas), perturbação singular, comportamento assintótico, dinâmica e bifurcações. Em resumo, busca-se desenvolver estudos utilizando as técnicas da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias e aplicá-las à Geometria Diferencial e a problemas de diferentes áreas como teoria do controle, física, biologia, engenharia, etc. 

Membros:


Física Matemática

Mecânica Estatística Rigorosa: Clássica e Quântica
Estudo rigoroso de modelos, de curto e longo alcance, da mecânica estatística, tais como os modelos tipo Ising, no caso clássico, assim como os tipo Hubbard e BCS, no caso quântico. O objetivo principal é produzir teoremas que ajudem na compreensão destes. Busca-se, em geral, resultados sobre o comportamento das correlações, a descrição do conjuntos dos estados DLR no caso clássico e dos KMS no caso quântico, a existência ou não de transições de fase, a caracterização dos ground states, as propriedades da pressão, entre outros. Entre as ferramentas matemáticas utilizadas estão: probabilidade, teoria dos grafos e combinatória, análise funcional, álgebras-C* e de von Neumann, análise convexa, teoria da medida, teoria ergódica etc.

 

Membros:

Teoria Clássica e Quântica dos Campos
Desenvolvimento do formalismo geral (lagrangiano e hamiltoniano), Simetrias e leis de conservaçâo, Modelos geométricos (relatividade geral, teorias de calibre, etc).
 
Membros:

 

 

Matemática Aplicada Computacional

Computação Gráfica
Estudo de técnicas de modelagem matemática e computacional visando­se a simulação realista de fenômenos naturais através da computação gráfica. Atualmente, além do estudo de geometria discreta mult­dimensional visando aplicações em computação gráfica, estamos desenvolvendo os modelos matemáticos e computacionais para algumas aplicações em Biologia. 

Membro:
Métodos Numéricos e Mecânica dos Fluidos Computacional
Desenvolvimento de métodos numéricos para equações diferenciais da mecânica dos fluidos e aplicações, em especial para equações que modelam escoamentos multifásicos e para as equações ligadas à previsão numérica de tempo e clima. 

Membros:

 

Métodos Numéricos e Otimização
Otimização é a área de estudo que lida com o problema de encontrar valores para variáveis ou incógnitas que, dentre todos aqueles valores que satisfazem um conjunto dado de restrições, minimizam (ou maximizam) uma função objetivo predefinida. Estamos interessados no problema de otimização não linear com variáveis reais, onde estudamos propriedades analíticas satisfeitas pelas soluções e, em particular, aquelas que podem ser usadas para guiar um processo iterativo que busca resolver o problema. O grupo também trabalha na área de otimização de forma, onde a variável é a geometria, ou forma, de subconjuntos de Rn, em particular, em problemas que envolvem equações diferenciais parciais nas restrições. A otimização é uma área intra­disciplinar que se fundamenta em diferentes áreas da matemática como geometria diferencial, topologia, controle ótimo, análise numérica e álgebra linear aplicada. Esta linha de pesquisa dedica­-se tanto ao estudo téorico quanto à implementação computacional e à aplicação em problemas reais que surgem em áreas tais como Física, Química, Estatística, Economia, Engenharias e Matemática Industrial. Esta linha usufrui de colaboração com o Departamento de Ciência da Computação do IME-USP. Para mais informações, acesse a página do grupo.

 

Membros:

 


Modelagem Matemática e Aplicações

Estatística Bayesiana, Otimização Estocástica e Sistemas Esparsos
Teste de siginificância totalmente bayesiano (FBST­Full Bayesian Significance Test) é um novo procedimento estatístico para acessar a verossimilhança de hipóteses precisas. Este procedimento resolve vários problemas de procedimentos semelhantes da estatística frequentista, como p-valores, ou da estatística bayesiana ortodoxa, como fatores de bayes.

Membros:
Modelos Matemáticos Aplicados à Epidemiologia
Estudar a mobilidade humana local e global e seus efeitos sobre o espalhamento de doenças infecto­contagiosas é o objetivo principal deste projeto. A dinâmica espacial, deve contemplar a correção dos parâmetros de forma a incluir variações sazonais. Uma análise de risco, de um indivíduo ser contaminado e a determinação de limiares epidemiológicos também serão avaliados. Modelos estocásticos representam bem a mobilidade. Devido à dificuldade de obtenção de dados em quantidade suficiente, dados simulados por Monte Carlo deverão ser gerados para testes iniciais. 

Membros:

 

Modelos Matemáticos em Genética
Modelo algébrico para o código genético, Modelagem matemática da expressão gênica.
 

Membro:

 

Modelos Matemáticos para Sistemas Sociais
O objetivo desta linha de pesquisa é o estudo de modelos matematicos que possam auxiliar na interpretação de evidência empírica sobre sistemas sociais. Estamos interessados em fenômenos relacionados às sociedades humanas, mais especificamente: emergência e manutenção de altruismo em larga escala; relações entre limita ções cognitivas, estrutura social e dinâmica de opiniões; e dinâmicas de opinião com imitação, adapta ção, auto­referência e efeitos de reputação. Em nossos estudos são importantes técnicas analíticas e de simula ção provenientes da mecânica estatística dos sistemas desordenados bem como os frameworks da teoria dos jogos evolucionários e das redes complexas. Resultados rigorosos não são nosso foco principal, mas são vistos como altamente desejáveis sempre que possíveis. Este projeto é vinculado ao NAP (núcleo de apoio à pesquisa) Center for Natural and Artificial Information Processing Systems, CNAIPS­USP, que conta com suporte financeiro da Universidade.
 
Membro:

 

Sistemas Dinâmicos

Dinâmica e Geometria em Baixas Dimensões
A teoria moderna de sistemas dinâmicos começou com o trabalho de Poincaré no início do século XX e, desde então, cresceu e amadureceu, tornando-se uma área importante e ativa da matemática, com diversas sub-áreas. Os principais temas de pesquisa deste grupo são: Dinâmica em dimensão 2 (dinâmica de homeomorfismos e difeomorfismos do toro, dinâmica topológica em superfícies, transformações de Hénon); Topologia e geometria de 3-variedades e conexões com dinâmica em dimensão 2; Teoria de Teichmüller e suas conexões com dinâmica e geometria em dimensões baixas; Endomorfismos do intervalo, transformações críticas do círculo, renormalização e o espaço de parâmetros; Curvas pseudo-holomorfas e dinâmica simplética; Dinâmica complexa em dimensões 1 e 2. Esta linha usufrui de colaboração com o Departamento de Matemática do IME-USP. Para mais informações, acesse a página do grupo.

Membros:
Teoria Ergódica: Otimização Ergódica e Formalismo Termodinâmico
A teoria ergódica se concentra no estudo das medidas invariantes para uma dinâmica ou ação de um grupo. Além de ser uma das principais vertentes da teoria de sistemas dinâmicos, os resultados produzidos servem de ferramenta e interessam a pesquisadores de diversas áreas da Matemática pura e aplicada (como probabilistas, especialistas em mecânica estatística rigorosa, em grupos amenables, em dinâmica simbólica, etc). A ênfase em nosso programa é em otimização ergódica e formalismo termodinâmico, mais especificamente, no estudo de medidas maximizantes, medidas de Gibbs e de equilíbrio, ground states e transição de fase.

 

Membros: