Teoria das Distribuições e Análise de Fourier
MAP-5722
Professor: Pedro Tavares Paes Lopes
Horário:
Quarta-feira às 14:00 hs
Sexta-feira às 10:00 hs
Referências:
1) J. J. Duistermaat e J. A. C. Kolk, Distributions: Theory and Applications. (Referência Principal)
2) L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators I. (Referência Complementar)
3) G. Grubb, Distributions and Operators. (Referência Complementar)
OBS: Existem muitos livros bons sobre Teoria das Distribuições. As referências acima são apenas as que serão mais utilizadas no curso. A referência 2 (Hörmander) é uma referência clássica e muito consagrada, porém de leitura mais difícil. A referência 1 (Duistermaat e Kolk) será a nossa principal referência.
Três referências em português que também podem ser úteis:
4) P. Cordaro e A. Kawano, O Delta de Dirac. (Referência mais introdutória)
5) C. L. R. Braga, Notas de Física Matemática. (Referência contém uma introdução elementar às distribuições no capítulo 7)
6) J. G. Hounie, Teoria Elementar das distribuições. (Trata-se de um bom livro texto que pode ser encontrado em http://www.impa.br/opencms/pt/biblioteca/cbm/12CBM/12_CBM_79_04.pdf)
Sobre referências históricas a respeito da descoberta das distribuições, a leitura do capítulo 6 da autobiografia de Laurent Schwarzt (o pai das distribuições) é bastante interessante:
7) L. Schwartz, A Mathematician Grappling with His Century. Birkhäuser, 2001
Avaliação:
Serão dadas duas provas, baseadas nos exercícios que serão sugeridos.
Lista de Exercícios:
1) Primeira Lista de Exercício: Primeira Lista de Exercícios / Dicas e Respostas da Primeira Lista de Exercícios
2) Segunda Lista de Exercício: Segunda Lista de Exercícios / Dicas e Respostas da Segunda Lista de Exercícios
3) Terceira Lista de Exercício: Terceira Lista de Exercícios / Dicas e Respostas da Terceira Lista de Exercícios
4) Quarta Lista de Exercício: Quarta Lista de Exercícios / Dicas e Respostas da Quarta Lista de Exercícios
5) Quinta Lista de Exercício: Quinta Lista de Exercícios / Dicas e Respostas da Quinta Lista de Exercícios
6) Sexta Lista de Exercício: Sexta Lista de Exercícios / Dicas e Respostas da Sexta Lista de Exercícios
Observação: As dicas e repostas ainda estão sendo elaboradas. Desta maneira, ainda não foram revistas. Serão feitas atualizações.
Observação sobre Convolução de Funções em L2
Cópia das Provas:
Prova 1, Prova 2, Prova sub 1a, Prova sub 1b, Prova sub 2.
Data das Provas:
P1) 5 de Outubro de 2016
P2) 2 de Dezembro de 2016
Psub) 9 de Dezembro de 2016
Prec) 20 de Janeiro de 2017 às 10 horas, na sala de aula (A266)
Notas de Aula:
Prova 2) Notas de aula para a segunda prova Atenção: Cuidado! Estas notas não foram revistas. Podem e devem conter erros. Sugiro usá-las juntamente com as referências do curso.
Continuação das notas de aula para a segunda prova
O curso aula por aula:
Dia 10/08: Notação para funções e a notação de multi-índices (Regra de Leibniz, Fórmula de Taylor com resto integral, operadores diferenciais e seus símbolos)
Dia 12/08: Motivação para a Teoria das distribuições. Um pouco de história (Referência: Laurent Schwartz, A Mathematician Grappling with His Century. Birkhäuser, 2001). O suporte de uma função. Funções teste. Prova de que não existem funções testes analíticas diferentes de 0. Construção de uma função teste diferente de zero.
Dia 17/08: Aproximação de funções. Critério para passar para dentro de integrais limites e derivadas. Convolução de funções. Demonstração de que as funções testes são densas em Lp. Construção de aproximações de funções Lp por outras funções Lp e de classe C infinito.
Dia 19/08: Partição da Unidade. Definição de convergência no espaço das funções testes. Definição de distribuições. Exemplos. Algumas propriedades de distribuições.
Dia 24/08: Funcionais lineares contínuos no espaço das funções C k de suporte compacto. Caracterização de continuidade. Ordem das distribuições e extensão das distribuições de ordem menor ou igual a k a funcionais lineares contínuos no espaço das funções C k de suporte compacto. Medidas de Radon. Medidas de Radon positivas e distribuições positivas.
Dia 26/08: Derivação de distribuições. Exemplos e propriedades elementares. Demonstração de que toda distribuição num intervalo de R tem uma primitiva unicamente determinada a não ser por uma constante.
Dia 31/08: Exemplo de aplicações da aula anterior. Convergência de distribuições. Demonstração de que convergência comuta com derivação de distribuições. Algumas propriedades da convergência de distribuições. Exemplos.
Dia 02/09: Exemplos de limites de distribuições: 1/(x+i0), 1/(x-i0), limites com série de Taylor, funções deriváveis com valores em espaços de distribuições. Definição de restrição e de suporte de distribuições. Algumas propriedades do suporte das distribuições.
Dia 14/09: Extensão de distribuições. Teorema de existência de distribuições dadas localmente em uma cobertura de abertos. Suporte singular. Exemplos de suporte de Distribuições.
Dia 16/09: Convergência no espaço das funções de classe C infinito num aberto. Distribuições de suporte compacto. Definição e propriedades. Exaustão de um aberto por compactos. Prova de que as funções teste são densas nas funções de classe C infinito. Início da demonstração da identificação das distribuições com suporte compacto com os funcionais lineares contínuos das funções de classe C infinito.
Dia 21/09: Fim da demonstração da identificação das distribuições com suporte compacto com os funcionais lineares contínuos das funções de classe C infinito. Distribuições com suporte num único ponto. Inclusão de espaço de distribuições de suporte compacto definidos em U e em V, quando U está contido em V.
Dia 23/09: Distribuições suportadas num único ponto. Multiplicação de distribuições por funções. Propriedades da multiplicação por funções. Demonstração de que distribuições com suporte compacto são densas no conjunto de todas as distribuições. Resultado de existência e regularidade de EDOs no espaço das distribuições.
Dia 28/09: Fim da demonstração do resultado de existência e regularidade de EDOs. Resultados sobre propriedades da distribuição u quando a multiplicação por uma função suave f é tal que fu=0. Mudança de coordenadas de distribuições. Pullback de funções. Pushforward de distribuições.
Dia 30/09: Exemplos de Pushforward de distribuições. O Pullback de distribuições e sua relação com as mudanças de variável. Exemplos de pullback de distribuições. Distribuições homogêneas. Definição de convolução de distribuições com funções. Aula extra para realização de alguns exercícios.
Dia 05/09: Primeira Prova.
Dia 07/09: Não teve aula.
Dia 14/09: Propriedades de convolução de distribuições com funções. Demonstração de que toda transformação linear, contínua e invariante por translação das funções teste nas funções suaves é dada por uma convolução com uma distribuição.
Dia 19/09: Fórmula da convolução de uma distribuição por uma função quando aplicada a uma função teste. (Usamos integração de funções com valores em funções teste). Associatividade da convolução de distribuição com duas funções testes. Demonstração de que as funções testes são densas no espaço das distribuições.
Dia 21/09: Convolução entre distribuições quando uma delas tem suporte compacto. Definição e propriedades. (Seguimos o livro do Rudin de análise funcional nesta parte). Definição de solução fundamental. Alguns exemplos.
Dia 26/09: Aplicações das soluções fundamentais: Resultados de existência, unicidade e regularidade de equações diferenciais parciais com coeficientes constantes. Definição de operadores hipoelípticos. Exemplos: Laplaciano, Equação do Calor, Equação da Onda, Operador de Cauchy-Riemann.
Dia 04/11: Definição de Transformada de Fourier para funções integráveis e algumas propriedades dela. Definição de funções de Schwartz e propriedades básicas.
Dia 09/11: Propriedades elementares da transformada de Fourier. Transformada de Fourier da Gaussiana. Transformada de Fourier inversa. Relação de transformada de Fourier com a convolução de funções de Schwartz. Fórmula de Parseval. Definição de distribuição temperada.
Dia 11/11: Caracterização de distribuições temperadas. Relação entre os espaços de distribuições e de funções. Diferenciação e multiplicação por funções e distribuições temperadas. Transformada de Fourier de distribuições temperadas e suas propriedades. Transformada de Fourier em L2. O exemplo do Delta de Dirac.
Dia 16/11: Exemplos de Transformadas de Fourier de distribuições temperadas. Definição e propriedades de convolução de função de Schwartz com distribuição temperada e distribuição de suporte compacto com distribuição temperada. Definição de funções holomorfas de várias variáveis complexas.
Dia 18/11: Propriedades da função holomorfa definida pela transformada de Fourier de uma distribuição com suporte compacto. Aplicação: Toda distribuição é localmente soma de derivadas de funções contínuas.
Dia 23/11: Demonstração do Teorema de Ehrenpreis-Malgrange. Início da Demonstração do Teorema de Paley-Wiener.
Dia 25/11: Fim da Demonstração do Teorema de Paley-Wiener. Propriedades de convolução e transformada de Fourier: F(u*v)=F(u)F(v), quando u é uma distribuição temperada. Definição de Kernel de um operador e enunciado do Teorema do Kernel de Schwartz.