Programa do curso
Este é um primeiro curso de Geometria Diferencial cujo objetivo principal é o estudo local da teoria de curvas e superfícies em $\mathbb{R}^3$. Eventualmente e conforme o andamento do curso, abordaremos alguns aspectos globais.
Essencialmente, pretendemos inciar nossos estudos com curvas em $\mathbb{R}^3$, curvatura, torsão, as equações de Frenet e teorema fundamental das curvas. Em seguida veremos com detalhes superfícies parametrizadas, plano tangente, campos de vetores e os invariantes geométricos das superfícies: formas fundamentais, curvatura normal, curvaturas e direções principais, curvatura de Gauss e curvatura média.
Um resultado crucial nesta área é o Teorema Egregium de Gauss, que estabelece a invariância da curvatura gaussiana por isometrias locais.
Dada uma superfície $S$, uma classe muito importante de curvas com imagem contida em $S$ é a das geodésicas, que, como veremos, desempenham o papel das retas sobre a superfície $S$. Um estudo detalhado das geodésicas revela muita informação sobre uma superfície. Para isso precisamos do conceito de derivada covariante e transporte paralelo.
Finalmente, se houver tempo, estudaremos alguns aspectos globais de superfícies e também algumas técnicas alternativas para estudar alguns problemas, como o cálculo das variações.
Para um melhor aproveitamento deste curso são desejáveis bons conhecimento cálculo diferencial em várias variáveis reais e álgebra linear e rudimentos da teoria de equações diferenciais ordinárias. Recomendamos que você preencha este questionário.
Critérios de Avaliação
A avaliação do curso consistirá de três provas regulares ($P_1$, $P_2$ e $P_3$) e diversas listas de exercícios para entrega.
A nota em cada prova não deve ser inferior a $3.0$. Será oferecida uma prova substitutiva para cada prova onde isso ocorrer. Cada uma dessas provas substitutivas pode ser feita com o objetivo de aumentar a nota final, mas nesse caso ela substituirá obrigatoriamente a nota anterior.
A frequência mínima para aprovação é de $70\%$ e a nota do semestre, $N$, deve satisfazer $N\geq 5.0$, onde \[ N=\frac{P_1+P_2+P_3}{3}. \]
Para os alunos não aprovados com $N\geq 3.0$ e frequência não inferior a $70\%$ será ofertada uma prova de recuperação ($P_{rec}$) e a nota final será dada por \[N_{final}=\frac{N+P_{rec}}{2}.\]
Cronograma das Aulas, Datas das Provas, Listas de Exercícios, Notas e Textos Complementares
Datas das Provas:
- P1: 11 de Setembro, das 10h00min até 11h40min. (soluções)
- P2: 06 de Novembro, das 10h00min até 11h40min. (soluções)
- P3: 04 de Dezembro, das 10h00min até 11h40min. (enunciados)
- Psubs:
- P1: 06 de Dezembro, das 8h00min até 10h00min. (enunciados)
- P2: 11 de Dezembro, das 10h00min até 11h40min. (enunciados)
- P3: 13 de Dezembro, das 8h00min até 10h00min. (enunciados)
- Prec: 06 de Fevereiro, às 14h00min - sala 243-A. (enunciados)
Monitoria
Temos um monitor PAE para esta disciplina que é o Thiago Grando. Seu horário de atividades com os alunos é às sextas-feiras, das 12h00min até 13h00min, na sala B-04.
O professor também atende os alunos fora dos horários de aula na sala 106-A.
Bibliografia
- Carmo, M.P. Differential Geometry Of Curves And Surfaces, Prentice-Hall, 1976. (ou sua nova versão em português).
- Gray, A. Modern Differential Geometry Of Curves And Surfaces, CRC, Press Inc., 2000.
- Kuhnel, W. Differential Geometry: Curves - Srufaces - Manifolds, American Mathematical Society, Second Edition, 2005.
- O'Neil, B. Elementary Differential Geometry, Academic Press, 1966.
- Tenenblat, K. Introdução à Geometria Diferencial, Editora UnB, 1988.