Programa do curso

Este é um primeiro curso de Geometria Diferencial cujo objetivo principal é o estudo local da teoria de curvas e superfícies em $\mathbb{R}^3$. Eventualmente e conforme o andamento do curso, abordaremos alguns aspectos globais.

Essencialmente, pretendemos inciar nossos estudos com curvas em $\mathbb{R}^3$, curvatura, torsão, as equações de Frenet e teorema fundamental das curvas. Em seguida veremos com detalhes superfícies parametrizadas, plano tangente, campos de vetores e os invariantes geométricos das superfícies: formas fundamentais, curvatura normal, curvaturas e direções principais, curvatura de Gauss e curvatura média.

Um resultado crucial nesta área é o Teorema Egregium de Gauss, que estabelece a invariância da curvatura gaussiana por isometrias locais.

Dada uma superfície $S$, uma classe muito importante de curvas com imagem contida em $S$ é a das geodésicas, que, como veremos, desempenham o papel das retas sobre a superfície $S$. Um estudo detalhado das geodésicas revela muita informação sobre uma superfície. Para isso precisamos do conceito de derivada covariante e transporte paralelo.

Finalmente, se houver tempo, estudaremos alguns aspectos globais de superfícies e também algumas técnicas alternativas para estudar alguns problemas, como o cálculo das variações.

Para um melhor aproveitamento deste curso são desejáveis bons conhecimento cálculo diferencial em várias variáveis reais e álgebra linear e rudimentos da teoria de equações diferenciais ordinárias. Recomendamos que você preencha este questionário.

Critérios de Avaliação

A avaliação do curso consistirá de três provas regulares ($P_1$, $P_2$ e $P_3$) e diversas listas de exercícios para entrega.

A nota em cada prova não deve ser inferior a $3.0$. Será oferecida uma prova substitutiva para cada prova onde isso ocorrer. Cada uma dessas provas substitutivas pode ser feita com o objetivo de aumentar a nota final, mas nesse caso ela substituirá obrigatoriamente a nota anterior.

A frequência mínima para aprovação é de $70\%$ e a nota do semestre, $N$, deve satisfazer $N\geq 5.0$, onde \[ N=\frac{P_1+P_2+P_3}{3}. \]

Para os alunos não aprovados com $N\geq 3.0$ e frequência não inferior a $70\%$ será ofertada uma prova de recuperação ($P_{rec}$) e a nota final será dada por \[N_{final}=\frac{N+P_{rec}}{2}.\]

Cronograma das Aulas, Datas das Provas, Listas de Exercícios, Notas e Textos Complementares

Datas das Provas:

Monitoria

Temos um monitor PAE para esta disciplina que é o Thiago Grando. Seu horário de atividades com os alunos é às sextas-feiras, das 12h00min até 13h00min, na sala B-04.

O professor também atende os alunos fora dos horários de aula na sala 106-A.

Bibliografia

Data Assuntos abordados
Ter - 31/07 Curvas parametrizadas em $\mathbb{R}^3$; Curvas regulares; Comprimento de arco.
Qui - 02/08 Orientação de espaços vetoriais; Cálculo 1 + Álgebra Linear.
Ter - 07/08 Curvatura e Torsão de curvas; Triedro e equações de Frenet: Cálculo 2 + Álgebra Linear
Qui - 09/08 Forma canônica local das curvas.
Ter - 14/08 Teorema fundamental das curvas em $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R^3}$; Sinal da curvatura de uma curva plana.
Qui - 16/08 A desigualdade isoperimétrica.
Ter - 21/08 Evolutas de curvas planas.
Qui - 23/08 Superfícies em $\mathbb{R}^3$; Exemplos.
Ter - 28/08 Exemplos de superfícies: gráficos de funções. Teorema da função implícita para $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$.
Qui - 30/08 Exemplos de superfícies: imagem inversa de valores regulares. Corolários dos teoremas da função implícita e inversa.
Ter - 04/09 Aula extra de exercícios.
Ter - 11/09 Primeira Prova.
Qui - 13/09 Funções definidas em superfícies a valores reais, $f:S\to\mathbb R$. Expressões locais.
Ter - 18/09 Diferenciabilidade de funções entre superfícies $f:S\to\mathbb R$. Caracterização de funções diferenciáveis. Funções entre superfícies.
Qui - 20/09 $T_p S$: plano tangente a uma superfície $S$ em $p\in S$.
Ter - 25/09 $df_p:T_p S_1\to T_{f(p)}S_2$: diferencial de uma função $f:S_1\to S_2$ entre superfícies.
Qui - 27/09 $I_p:T_p S\to\mathbb R$: primeira forma fundamental.
Ter - 02/10 Comprimentos de curvas e áreas de regiões contidas em superfícies.
Qui - 04/10 Aplicação normal de Gauss: definição e exemplos.
Ter - 09/10 $dN_p:T_pS\to T_pS$: propriedades e exemplos; Curvatura normal; Segunda forma fundamental.
Qui - 11/10 $k_1$ e $k_2$: curvaturas e direções principais.
Ter - 16/10 Curvaturas gaussiana e média
Qui - 18/10 Expressões locais para a aplicação normal de Gauss; expressões para as curvaturas gaussiana e média.
Ter - 23/10 Cálculo explícitos para superfícies dadas por gráficos de funções; linhas assintóticas e linhas de curvatura.
Qui - 25/10 Comportamento em vizinhanças de pontos umbílicos e elípticos; interpretação geométrica para a curvatura gaussiana.
Ter - 30/10 Equações de Codazzi e de Gauss; Teorema Egregium de Gauss.
Qui - 01/11 Isometrias; Corolários das equações de Gauss e Codazzi. Exercícios.
Ter - 06/11 Segunda Prova.
Qui - 08/11 Aplicações das equações de Gauss e Codazzi.
Ter - 13/11 Campos de vetores, derivada covariante e transporte paralelo.
Qui - 15/11 Recesso.
Ter - 20/11 Recesso.
Qui - 22/11 Transporte paraleleo e geodésicas.
Ter - 27/11 Geodésicas e holonomia
Qui - 29/11 Holonomia, Teorema de Gauss-Bonnet e o plano hipérbólico.
Ter - 04/12 Terceira Prova
Qui - 06/11 Substitutiva da primeira prova.
Ter - 11/12 Substitutiva da segunda prova.
Qui - 13/12 Substitutiva da terceira prova.