Seminários A5

O objetivo final do seminário é dar um esboço da demonstração de uma fórmula para o índice de Fredholm de um operador de Toeplitz no círculo com símbolo contínuo. Espero conseguir explicar todas as definições e dar uma boa ideia de por que a fórmula é verdadeira assumindo apenas conceitos de Medida e Integração e de Análise Funcional estudados em disciplinas do nosso bacharelado em Matemática. Este "teorema do índice" para operadores de Toeplitz é o mais simples de uma série de resultados que exprimem o índice de Fredholm de um operador (um dado analítico) em termos de alguma informação topológica carregada pelo operador. Neste caso, o índice de Fredholm é igual a menos o número de rotação de uma função contínua que não se anula, usada para definir o operador de Toeplitz em questão.

Esta palestra será uma versão condensada de duas aulas que dei na disciplina Panorama de Matemática (MAT 554) em 2020.

Nesta palestra vamos explorar um pouquinho da teoria de formas modulares: como surgem na natureza, como podem ser usadas para solucionar problemas de Teoria dos Números e como podemos inserí-las em um contexto mais geral, com profundas conexões com outras Áreas da Matemática.

Pontos altos da palestra incluem: "Com quantos quadrados se faz um inteiro?" e "O encontro da Teoria dos Números com a Geometria Algébrica"!

Os conceitos de conexão e transporte paralelo são fundamentais em geometria Riemanniana e permitem, entre outras coisas, dar interpretações da curvatura. 

Esta palestra é voltada para um público amplo de graduação em matemática e será dividida a grosso modo em três partes. Primeiro, apresentaremos os conceitos de conexão, transporte paralelo, grupo de Holonomia, geodésica e curvatura. Depois abordaremos o  teorema de Ambrose Singer. 

Finalmente comentaremos relações entre transporte paralelo e folheações singulares, apresentando resultados sobre pesquisa recente.

No artigo “Opinion Dynamics on Discourse Sheaves”, publicado em 2021, Jakob Hansen e Robert Ghrist apresentam como usar feixes celulares e sua respectiva teoria de cohomologia para modelar a evolução das opiniões/preferências das pessoas ao longo do tempo. A ideia principal do artigo é generalizar a matriz Laplaciana através do feixe Laplaciano no contexto de grafos.

Nesta apresentação irei introduzir conceitos básicos de teoria de categorias, necessários para a compreensão do artigo, e discutirei as principais vantagens dessa abordagem como, por exemplo, a capacidade de identificar a presença de pessoas que mentem.

Na área de Representação de Álgebras, temas atuais de pesquisa, como teoria \(\tau\)-tilting e subcategoria \(n\)-cluster-tilting, se inspiram na teoria tilting. Esta teoria é baseada na presença de um módulo especial \(T\) chamado de módulo tilting.

Neste seminário, será apresentado um exemplo na categoria de módulos finitamente gerados sobre uma \(\mathbb{C}\)-álgebra \(A\) de dimensão finita. A teoria tilting mostra uma conexão íntima entre as álgebras \(A\) e \(B = \operatorname{End} T\).