A expressão de está definida para todo , tal que . Em símbolos,
A região a ser excluída no domínio de é a circunferência de raio 1 e centro na origem. Veja na figura abaixo.
Usando a Definição A.2.1, escrevemos as curvas de nível (lembrando que em cada equação devemos ter ):
que são, respectivamente, parte de uma hipérbole com focos no eixo e parte de um par de retas concorrentes na origem (esboçadas abaixo).
Observamos que na outra versão da provas as curvas de nível pedidas são parte de uma elipse e parte de um par de retas paralelas (também indicadas na figura).
Em vista das duas curvas de nível acima se aproximarem arbitrariamente do ponto , temos que ao longo de cada uma dessas curvas a função tende ao valor do nível da curva (na verdade é constante igual a esse nível em cada curv).
Isso mostra que não existe.
Aqui estão os esboços pedidos:
Figura2.1.2.Restrições do domínio e curvas de nível pedidas.
Por que não um esboço do gráfico da função enfatizando os níveis indicados:
O sentido de percurso é aquele dado pelos vetores tangentes acima. Note que não há inversão de sentido do ou "bico"em nenhum momento do percurso , pois é de classe e as suas duas componentes nunca se anulam simultaneamente.
Solução.
Queremos tal que , ou seja, devemos resolver o sistema
ou
Retas tangentes à imagem de uma curva escrevem-se na forma
Aqui temos e . Aplicando os valores de encontrados acima, temos
O sentido de percurso é o indicado pelos vetores tangentes no ponto . Indicamos o vetor tangente em para facilitar a visualização (extendemos aqui o conceito de derivada para funções definidas em intervalos fechados, acontece...). Importante notar que a trajetória não faz bicos, suas coordenadas são deriváveis e não e anula simultaneamente.