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MAT–2454: Soluções de Exercícios e de Provas

Seção 2.1 Primeira Prova

Exercícios Exercícios

1.

Considere a função f(x,y)=2x22y21x2+y21.
  1. Determine o domínio de f, e faça seu esboço com linhas tracejadas, no plano cartesiano abaixo, os pontos que não pertencem a este domínio.
  2. Determine as curvas de nível c=0 e c=1, esboçando-as também no plano cartesiano abaixo.
  3. Decida, justificando, a existência de lim(x,y)(3/2,1/2)f(x,y).
Espaço para os esboços pedidos.
Figura 2.1.1. Espaço para os esboços pedidos.
Resposta.
  1. Domf={(x,y)R2:x2+y21}.
  2. Veja na solução.
  3. O limite pedido não existe.
Solução.
  1. A expressão de f está definida para todo (x,y)R2, tal que x2+y21. Em símbolos,
    Domf={(x,y)R2:x2+y21}.
    A região a ser excluída no domínio de f é a circunferência de raio 1 e centro na origem. Veja na figura abaixo.
  2. Usando a Definição A.2.1, escrevemos as curvas de nível (lembrando que em cada equação devemos ter x2+y21):
    f1(0):f(x,y)=02x22y21=0(2x)2(2y)2=1;f1(1):f(x,y)=12x22y21=x2+y21x23y2=0,
    que são, respectivamente, parte de uma hipérbole com focos no eixo Ox e parte de um par de retas concorrentes na origem (esboçadas abaixo).
    Observamos que na outra versão da provas as curvas de nível pedidas são parte de uma elipse e parte de um par de retas paralelas (também indicadas na figura).
  3. Em vista das duas curvas de nível acima se aproximarem arbitrariamente do ponto (32,12), temos que ao longo de cada uma dessas curvas a função f tende ao valor do nível da curva (na verdade é constante igual a esse nível em cada curv).
    Isso mostra que lim(x,y)(3/2,1/2)f(x,y) não existe.
Aqui estão os esboços pedidos:
Restrições do domínio e curvas de nível pedidas.
Figura 2.1.2. Restrições do domínio e curvas de nível pedidas.
Por que não um esboço do gráfico da função enfatizando os níveis indicados:
Figura 2.1.3. Gráfico de função e cortes de nível

2.

  1. Calcule ou mostre que não existe:
    1. lim(x,y)(0,0)x2yx4+y2e1/(x4+y2);
    2. lim(x,y)(1,0)y2x1.
  2. Seja F(x,y)={sinxy, se y0;1, se y=0. Decida, justificando, se F é contínua em (0,0).
Resposta.
    1. 0;
    2. Não existe.
  1. F não é contínua em (0,0).
Solução.
    1. Temos ao menos duas soluções diferentes aqui:
      • Notamos que x2yx4+y2 é limitada (análogo ao caso de xyx2+y2) e que e1/(x4+y2)tende a zero, já que u=x4+y2 é contínua e tende a zero quando (x,y)(0,0) e então
        lim(x,y)(0,0)e1/(x4+y2)=limu0e1/u=0,
        este último seguindo de fatos conhecidos do cálculo 1.
        Com isso, o limite pedido é produto de um fator limitado com um que vai a zero e, pelo Corolário A.3.7,
        lim(x,y)(0,0)x2yx4+y2e1/(x4+y2)=0.
      • Alternativamente, temos que lim(x,y)(0,0)x2y=0 e que
        lim(x,y)(0,0)x4+y2e1/(x4+y2)=limu0ue1/u=0,
        onde a última passagem pode ser verificada usando-se a regra de L’Hospital.
    2. Escolhemos duas curvas contínuas passando por (1,0) para mostrar a não existência do limite:
      • γ1(t)=(t,0),tR:f(γ1(t))=0t1=0, donde limt1f(γ1(t))=0;
      • γ2(t)=(t2+1,t),tR:f(γ2(t))=t2t2+11=1, logo limt0f(γ2(t))=1.
  1. Para que F seja contínua em (0,0), devemos ter
    lim(x,y)(0,0)F(x,y)=1.
    Considerando a curva γ(t)=(0,t), tR, temos
    limt0F(γ(t))=limt0F(0,t)=limt0sin0t=01=F(0,0),
    mostranto que F não é contínua em (0,0).

3.

Considere a curva γ:[0,2π]R2, dada por γ(t)=(cost,sin(3t)).
  1. Determine os dois instantes t[0,2π] nos quais γ(t)=(12,0).
  2. Determine as equações das duas retas tangentes à imagem da curva γ no ponto P.
  3. Indique na figura o sentido do percurso de γ.
described in detail following the image
A imagem de γ.
Figura 2.1.4. A imagem de γ.
Resposta.
  1. t=π3 e t=5π3.
  2. r:(x,y)=(12,0)+λ(32,3), λR e s:(x,y)=(12,0)+λ(32,3), λR.
  3. O sentido de percurso é aquele dado pelos vetores tangentes acima. Note que não há inversão de sentido do ou "bico"em nenhum momento do percurso , pois γ é de classe C1 e as suas duas componentes nunca se anulam simultaneamente.
Solução.
  1. Queremos t[0,2π] tal que γ(t)=(1/2,0), ou seja, devemos resolver o sistema
    {cos(t)=1/2sin(3t)=0t=π3 ou t=5π3.
  2. Retas tangentes à imagem de uma curva γ escrevem-se na forma
    r:(x,y)=γ(t0)+λγ(t0),λR.
    Aqui temos γ(t0)=(cost0,sin(3t0)) e γ(t0)=(sint0,3cos(3t0)). Aplicando os valores de t0 encontrados acima, temos
    t0=π3: (x,y)=γ(π3)+λγ(π3)=(12,0)+λ(32,3),λRt0=5π3: (x,y)=γ(5π3)+λγ(5π3)=(12,0)+λ(32,3),λR
  3. O sentido de percurso é o indicado pelos vetores tangentes no ponto P. Indicamos o vetor tangente em t=0 para facilitar a visualização (extendemos aqui o conceito de derivada para funções definidas em intervalos fechados, acontece...). Importante notar que a trajetória não faz bicos, suas coordenadas são deriváveis e não e anula simultaneamente.