Primeira Prova

Ir ao conteúdo principal

Seção 2.1 Primeira Prova

Exercícios Exercícios

1.

Considere a função

f (x, y) = \frac{2 x^{2} - 2 y^{2} - 1}{x^{2} + y^{2} - 1} .

Determine o domínio de $f,$ e faça seu esboço com linhas tracejadas, no plano cartesiano abaixo, os pontos que não pertencem a este domínio.
Determine as curvas de nível $c = 0$ e $c = 1,$ esboçando-as também no plano cartesiano abaixo.
Decida, justificando, a existência de $lim_{(x, y) \to (\sqrt{3} / 2, 1 / 2)} f (x, y) .$

Espaço para os esboços pedidos. — Figura 2.1.1. Espaço para os esboços pedidos.

Resposta.

$Dom f = {(x, y) \in R^{2} : x^{2} + y^{2} \neq 1} .$
Veja na solução.
O limite pedido não existe.

Solução.

A expressão de $f$ está definida para todo $(x, y) \in R^{2},$ tal que $x^{2} + y^{2} \neq 1 .$ Em símbolos,

$Dom f = {(x, y) \in R^{2} : x^{2} + y^{2} \neq 1} .$

A região a ser excluída no domínio de $f$ é a circunferência de raio 1 e centro na origem. Veja na figura abaixo.
Usando a Definição A.2.1, escrevemos as curvas de nível (lembrando que em cada equação devemos ter $x^{2} + y^{2} \neq 1$ ):

$\begin{aligned} f^{- 1} (0) : f (x, y) = 0 & ⟺ 2 x^{2} - 2 y^{2} - 1 = 0 \\ ⟺ (\sqrt{2} x)^{2} - (\sqrt{2} y)^{2} = 1; \\ f^{- 1} (1) : f (x, y) = 1 & ⟺ 2 x^{2} - 2 y^{2} - 1 = x^{2} + y^{2} - 1 \\ ⟺ x^{2} - 3 y^{2} = 0, \end{aligned}$

que são, respectivamente, parte de uma hipérbole com focos no eixo $O x$ e parte de um par de retas concorrentes na origem (esboçadas abaixo).

Observamos que na outra versão da provas as curvas de nível pedidas são parte de uma elipse e parte de um par de retas paralelas (também indicadas na figura).
Em vista das duas curvas de nível acima se aproximarem arbitrariamente do ponto $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}),$ temos que ao longo de cada uma dessas curvas a função $f$ tende ao valor do nível da curva (na verdade é constante igual a esse nível em cada curv).

Isso mostra que $lim_{(x, y) \to (\sqrt{3} / 2, 1 / 2)} f (x, y)$ não existe.

Aqui estão os esboços pedidos:

Restrições do domínio e curvas de nível pedidas. — Figura 2.1.2. Restrições do domínio e curvas de nível pedidas.

Por que não um esboço do gráfico da função enfatizando os níveis indicados:

Figura 2.1.3. Gráfico de função e cortes de nível

2.

Calcule ou mostre que não existe:
1. $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{2} y}{x^{4} + y^{2}} e^{- 1 / (x^{4} + y^{2})};$
2. $lim_{(x, y) \to (1, 0)} \frac{y^{2}}{x - 1} .$
Seja $F (x, y) = {\begin{cases} \frac{\sin x}{y}, & se y \neq 0; \\ 1, & se y = 0 \end{cases} .$ Decida, justificando, se $F$ é contínua em $(0, 0) .$

Resposta.

1. $0;$
2. Não existe.
$F$ não é contínua em $(0, 0) .$

Solução.

1. Temos ao menos duas soluções diferentes aqui:
  - Notamos que $\frac{x^{2} y}{x^{4} + y^{2}}$ é limitada (análogo ao caso de $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ ) e que $e^{- 1 / (x^{4} + y^{2})}$ tende a zero, já que $u = x^{4} + y^{2}$ é contínua e tende a zero quando $(x, y) \to (0, 0)$ e então
    
    $lim_{(x, y) \to (0, 0)} e^{- 1 / (x^{4} + y^{2})} = lim_{u \to 0} e^{- 1 / u} = 0,$
    
    este último seguindo de fatos conhecidos do cálculo 1.
    
    Com isso, o limite pedido é produto de um fator limitado com um que vai a zero e, pelo Corolário A.3.7,
    
    $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{2} y}{x^{4} + y^{2}} e^{- 1 / (x^{4} + y^{2})} = 0.$
  - Alternativamente, temos que $lim_{(x, y) \to (0, 0)} x^{2} y = 0$ e que
    $lim_{(x, y) \to (0, 0)} x^{4} + y^{2} e^{- 1 / (x^{4} + y^{2})} = lim_{u \to 0} u e^{- 1 / u} = 0,$
    onde a última passagem pode ser verificada usando-se a regra de L’Hospital.
2. Escolhemos duas curvas contínuas passando por $(1, 0)$ para mostrar a não existência do limite:
  - $γ_{1} (t) = (t, 0), t \in R : f (γ_{1} (t)) = \frac{0}{t - 1} = 0,$ donde $lim_{t \to 1} f (γ_{1} (t)) = 0;$
  - $γ_{2} (t) = (t^{2} + 1, t), t \in R : f (γ_{2} (t)) = \frac{t^{2}}{t^{2} + 1 - 1} = 1,$ logo $lim_{t \to 0} f (γ_{2} (t)) = 1 .$
Para que $F$ seja contínua em $(0, 0),$ devemos ter

$lim_{(x, y) \to (0, 0)} F (x, y) = 1.$

Considerando a curva $γ (t) = (0, t),$ $t \in R,$ temos

$lim_{t \to 0} F (γ (t)) = lim_{t \to 0} F (0, t) = lim_{t \to 0} \frac{\sin 0}{t} = 0 \neq 1 = F (0, 0),$

mostranto que $F$ não é contínua em $(0, 0) .$

3.

Considere a curva

γ : [0, 2 π] \to R^{2},

dada por

γ (t) = (\cos t, \sin (3 t)) .

Determine os dois instantes $t \in [0, 2 π]$ nos quais $γ (t) = (\frac{1}{2}, 0) .$
Determine as equações das duas retas tangentes à imagem da curva $γ$ no ponto $P .$
Indique na figura o sentido do percurso de $γ .$

described in detail following the image — Figura 2.1.4. A imagem de $γ .$

Resposta.

$t = \frac{π}{3}$ e $t = \frac{5 π}{3} .$
$r : (x, y) = (\frac{1}{2}, 0) + λ (- \frac{\sqrt{3}}{2}, - 3),$ $λ \in R$ e $s : (x, y) = (\frac{1}{2}, 0) + λ (\frac{\sqrt{3}}{2}, - 3),$ $λ \in R .$
O sentido de percurso é aquele dado pelos vetores tangentes acima. Note que não há inversão de sentido do ou "bico"em nenhum momento do percurso , pois $γ$ é de classe $C^{1}$ e as suas duas componentes nunca se anulam simultaneamente.

Solução.

Queremos $t \in [0, 2 π]$ tal que $γ (t) = (1 / 2, 0),$ ou seja, devemos resolver o sistema

${\begin{cases} \cos (t) & = 1 / 2 \\ \sin (3 t) & = 0 \end{cases} ⟹ t = \frac{π}{3} ou t = \frac{5 π}{3} .$
Retas tangentes à imagem de uma curva $γ$ escrevem-se na forma

$r : (x, y) = γ (t_{0}) + λ γ^{'} (t_{0}), λ \in R .$

Aqui temos $γ (t_{0}) = (\cos t_{0}, \sin (3 t_{0}))$ e $γ^{'} (t_{0}) = (- \sin t_{0}, 3 \cos (3 t_{0})) .$ Aplicando os valores de $t_{0}$ encontrados acima, temos

$\begin{aligned} t_{0} = \frac{π}{3} : & (x, y) = γ (\frac{π}{3}) + λ γ^{'} (\frac{π}{3}) = (\frac{1}{2}, 0) + λ (- \frac{\sqrt{3}}{2}, - 3), λ \in R \\ t_{0} = \frac{5 π}{3} : & (x, y) = γ (\frac{5 π}{3}) + λ γ^{'} (\frac{5 π}{3}) = (\frac{1}{2}, 0) + λ (\frac{\sqrt{3}}{2}, - 3), λ \in R \end{aligned}$
O sentido de percurso é o indicado pelos vetores tangentes no ponto $P .$ Indicamos o vetor tangente em $t = 0$ para facilitar a visualização (extendemos aqui o conceito de derivada para funções definidas em intervalos fechados, acontece...). Importante notar que a trajetória não faz bicos, suas coordenadas são deriváveis e não e anula simultaneamente.

Anterior Top Próximo