Cálculo 1

Seção A.1 Cálculo 1

Teorema A.1.1. (Cauchy).

Sejam

f, g : [a, b] \to R

duas funções contínuas, que são deriváveis em

(a, b) .

Então existe

c \in (a, b)

tal que

(f (b) - f (a)) g^{'} (c) = (g (b) - g (a)) f^{'} (c)

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Nota A.1.2.

Este teorema é uma generalização do Teorema do Valor Médio, o qual é obtido fazendo

g (x) = x .

Demonstração.

Vamos construir uma função e aplicar a ela o Teorema de Rolle ¹. Consideremos então

h : [a, b] \to R

dada por

h (x) = (f (b) - f (a)) g (x) - (g (b) - g (a)) f (x) .

Esta função é contínua em

[a, b]

e derivável em

(a, b) .

Cálculos diretos mostram que

h (b) = g (a) f (b) - g (b) f (a) = h (a) .

Segue, do Teorema de Rolle, que existe

c \in (a, b)

tal que

h^{'} (c) = 0,

ou seja,

(f (b) - f (a)) g^{'} (c) - (g (b) - g (a)) f^{'} (c) = 0.

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Teorema A.1.3. (Fermat).

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Seja

f :] a, b [\to R

derivável em

x_{0} \in] a, b [.

x_{0}

é um ponto de máximo ou mínimo local de

f,

então

f^{'} (x_{0}) = 0 .

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Nota A.1.4.

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O teorema não vale se o domínio de

f

é um intervalo fechado:

f (x) = x,

x \in [0, 1],

não tem derivada nula em nenhum ponto e assume valores máximo e mínimo (nos extremos do intervalo).

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O teorema não admite recíproca, ou seja, se

f^{'} (x_{0}) = 0

não podemos dizer que

x_{0}

é ponto de máximo ou mínimo local de

f :

f (x) = x^{3},

x \in] - 1, 1 [,

é tal que

f^{'} (0) = 0,

mas

x_{0} = 0

não é máximo nem mínimo local de

f .

Demonstração.

Lembramos que

f

é derivável em

x_{0},

se existe

ρ :] a, b [\to R

contínua em

x_{0},

tal que

\begin{matrix} (A.1.1) & f (x) = f (x_{0}) + (x - x_{0}) ρ (x), \end{matrix}

e, nesse caso, temos

ρ (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) .

Suponha que

x_{0}

é um ponto de máximo local de

f .

O caso de mínimo local é análogo e um excelente exercício para testar sua compreensão da demonstração. Consideremos duas situações:

$f^{'} (x_{0}) > 0 :$ nesse caso, $ρ (x_{0}) > 0$ e, da continuidade de $ρ,$ temos que $ρ (x) > 0$ para todo $x \in I,$ onde $I$ é um intervalo aberto centrado em $x_{0}$ e inteiramente contido em $] a, b [.$ Se $x \in I,$ $x > x_{0},$ então a equação (A.1.1) nos diz que
$f (x) = f (x_{0}) + (x - x_{0}) ρ (x) > f (x_{0}),$
contradizendo o fato de $x_{0}$ ser máximo local.
$f^{'} (x_{0}) < 0 :$ agora, $ρ (x_{0}) < 0$ e, como antes, $ρ (x) < 0$ para todo $x \in I,$ onde $I$ é um intervalo como o do caso anterior. Se $x \in I,$ $x < x_{0},$ então a equação (A.1.1) nos diz que
$f (x) = f (x_{0}) + (x - x_{0}) ρ (x) > f (x_{0}),$
contradizendo o fato de $x_{0}$ ser máximo local.

Com isso, só é possível

f^{'} (x_{0}) = 0 .

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