Iniciamos agora o estudo dos máximos e mínimos locais de funções de várias variáveis reais. Neste primeiro momento vamos tratar a situação análoga ao que vimos no Cálculo 1 para pontos de máximo e mínimo em intervalos abertos: o Teorema A.1.3 e o teste da segunda derivada, dado no Exercício 1.1.7.
Para tanto, estabelecemos as definições de ponts de máximos e mínimos (locais e globais) de uma função (faremos com , mas tudo se generaliza funções de variáveis a valores reais).
Sejam um aberto contendo o ponto e uma função que admite derivadas parciais em . Se é um opnto de máximo ou mínimo local de , então .
Demonstração.
Se é, digamos um ponto de máximo local, então é ponto de máximo local de num intervalo aberto , contendo o ponto . Segue-se então, do Teorema A.1.3 que
De maneira análoga, é ponto de máximo local de , e então
É importante mencionar que a recíproca do teorema acima, assim como visto na nota do Teorema A.1.3 para o caso de uma veriável, é falsa: considere , definida em todo o plano (um aberto). Temos que e este não é um ponto de máximo local, nem de mínimo local, já que , para quaisquer .
Um ponto crítico, no domínio de uma função, que não é de máximo local nem de mínimo local é chamado de ponto de sela daquela função. A nomenclatura vem da semelhança do gráfico da função acima com uma sela. Veja a Figura A.2.7.
A fim de tentar generalizar o teste da segunda para classificar os pontos críticos de funções de duas variáveis, precisamos levar em conta as quatro segundas derivadas e aplicar técnica análoga à empregada no Exercício 1.1.7. Para isso apresentamos rapidamente a fórmula de Taylor para funções de classe a duas variáveis reais.