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MAT–2454: Soluções de Exercícios e de Provas

Seção A.8 Máximos e mínimos locais em abertos de R2

Iniciamos agora o estudo dos máximos e mínimos locais de funções de várias variáveis reais. Neste primeiro momento vamos tratar a situação análoga ao que vimos no Cálculo 1 para pontos de máximo e mínimo em intervalos abertos: o Teorema A.1.3 e o teste da segunda derivada, dado no Exercício 1.1.7.
Para tanto, estabelecemos as definições de ponts de máximos e mínimos (locais e globais) de uma função f:ARnR (faremos com n=2, mas tudo se generaliza funções de n variáveis a valores reais).

Definição A.8.1.

A bola aberta de centro em (x0,y0) e raio r>0 de R2 é o conjunto
Br(x0,y0)={(x,y)R2:(x,y)(x0,y0)<r}.

Definição A.8.2.

Sejam f:AR2R e (x0,y0)A. Dizemos que
  • (x0,y0) é um ponto de máximo local de f se existe r>0 tal que para todo (x,y)Br(x0,y0)A, temos f(x,y)f(x0,y0).
  • (x0,y0) é um ponto de mínimo local de f se existe r>0 tal que para todo (x,y)Br(x0,y0)A, temos f(x,y)f(x0,y0).
  • (x0,y0) é um ponto de máximo (global) de f se f(x,y)f(x0,y0) para todo (x,y)A.
  • (x0,y0) é um ponto de mínimo (global) de f se f(x,y)f(x0,y0) para todo (x,y)A.
Se f admite derivadas parciais em (x0,y0) e f(x0,y0)=(0,0), então (x0,y0) é um ponto crítico de f.
Assista ao vídeo abaixo para uma motivação dos resultados a seguir.
Figura A.8.3. Máximos e mínimos locais.

Demonstração.

Se (x0,y0) é, digamos um ponto de máximo local, então x0 é ponto de máximo local de g(x)=f(x,y0) num intervalo aberto I, contendo o ponto x0. Segue-se então, do Teorema A.1.3 que
g(x0)=0fx(x0,y0)=0.
De maneira análoga, y0 é ponto de máximo local de h(y)=f(x0,y), e então
h(y0)=0fy(x0,y0)=0.
Ou seja, f(x0,y0)=(0,0).
É importante mencionar que a recíproca do teorema acima, assim como visto na nota do Teorema A.1.3 para o caso de uma veriável, é falsa: considere f(x,y)=x2y2, definida em todo o plano R2 (um aberto). Temos que f(0,0)=(0,0) e este não é um ponto de máximo local, nem de mínimo local, já que f(0,y)<f(0,0)<f(x,0), para quaisquer (x,y)(0,0).
Um ponto crítico, no domínio de uma função, que não é de máximo local nem de mínimo local é chamado de ponto de sela daquela função. A nomenclatura vem da semelhança do gráfico da função acima com uma sela. Veja a Figura A.2.7.
A fim de tentar generalizar o teste da segunda para classificar os pontos críticos de funções de duas variáveis, precisamos levar em conta as quatro segundas derivadas e aplicar técnica análoga à empregada no Exercício 1.1.7. Para isso apresentamos rapidamente a fórmula de Taylor para funções de classe C2 a duas variáveis reais.

Demonstração.

Basta aplicar a fórmula de Taylor de uma variável real, centrada em t0=0, para a função
g(t)=f(γ(t)),
com γ(t)=(x(t),y(t))=(x0,y0)+t(xx0,yy0), para t num intervalo abeto contendo [0,1] tal que a imagem de γ esteja contida em A.
Assim, temos g(0)=f(x0,y0) e, aplicando a regra da cadeia sucessivas vezes, que
g(0)=f(x0,y0),(xx0,yy0)=fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)g(t)=(fxx(γ(t))(xx0)2+2fxy(γ(t))(xx0)(yy0)+fyy(γ(t))(yy0)2)
Logo,
g(1)=g(0)+g(0)(10)+g(t)2(10)2,t]0,1[,
ou seja, a fórmula apresentada no enunciado, onde (x,y)=γ(t).
Com isso podemos apresentar o chamado critério do Hessiano:

Demonstração.