Derivadas de Segunda Ordem

Seção A.5 Derivadas de Segunda Ordem

Apresentamos aqui uma rápida recapitulação do que são as derivadas parciais de segunda ordem e o resultado principal sobre elas, que é o teorema de Schwarz.

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f : A \subseteq R^{2} \to R

é uma função que admite derivadas parciais em cada ponto

(x_{0}, y_{0}) \in A,

podemos então considerar as funções

\begin{aligned} f_{x} : A \subseteq R^{2} & ⟶ R \\ (x, y) & ⟼ f_{x} (x, y); \\ f_{y} : A \subseteq R^{2} & ⟶ R \\ (x, y) & ⟼ f_{y} (x, y) . \end{aligned}

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Naturalmente, podemos nos perguntar sobre as derivadas parciais destas duas funções acima:

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Definição A.5.1. (Derivadas de segunda ordem).

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Sejam

f : A \subseteq R^{2} \to R

uma função e

(x_{0}, y_{0})

um ponto no interior ¹ de

A .

As derivadas parciais de segunda ordem de

f

(x_{0}, y_{0})

são dadas por

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial x}) (x_{0}, y_{0}) & = lim_{h \to 0} \frac{f_{x} (x_{0} + h, y_{0}) - f_{x} (x_{0}, y_{0})}{h}; \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) (x_{0}, y_{0}) & = lim_{k \to 0} \frac{f_{x} (x_{0}, y_{0} + k) - f_{x} (x_{0}, y_{0})}{k}; \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (x_{0}, y_{0}) & = lim_{h \to 0} \frac{f_{y} (x_{0} + h, y_{0}) - f_{y} (x_{0}, y_{0})}{h}; \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial y}) (x_{0}, y_{0}) & = lim_{k \to 0} \frac{f_{y} (x_{0}, y_{0} + k) - f_{y} (x_{0}, y_{0})}{k} . \end{aligned}

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Nota A.5.2.

Costumamos também escrever

\begin{aligned} f_{x x} (x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (x_{0}, y_{0}), & f_{x y} (x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x_{0}, y_{0}), \\ f_{y x} (x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x_{0}, y_{0}), & f_{y y} (x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (x_{0}, y_{0}) . \end{aligned}

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Nota A.5.3.

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Podemos interpretar as derivadas de segunda de

f = f (x, y)

numa mesma variável como a concavidade do gráfico da função de uma variável que é dada pela corte pelo plano vertical dado pela variável fixada. No exemplo abaixo, temos

f_{x x} (0, 0) < 0

f_{y y} (0, 0) > 0 .

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Figura A.5.4. Interpretação dos sinais de

f_{x x} (x_{0}, y_{0})

f_{y y} (x_{0}, y_{0}) .

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As derivadas mistas têm uma interpretação um pouco menos imediata: como vimos na Nota A.4.2, a derivada parcial

f_{x} (x_{0}, y_{0})

dá o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de

g (x) = f (x, y_{0})

no ponto

x = x_{0} .

A derivada de

f_{x}

em relação a

y

no ponto

(x_{0}, y_{0})

dá a taxa de variação dos coeficientes angulares da função

g (x)

no ponto

x = x_{0}

quando variamos

y,

mantendo

x_{0}

fixado.

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Interpretação análoga se dá para a derivada mista na outra ordem.

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Com a obervação acima é de se esperar que não haja nenhuma relação entre os valores das duas derivadas mistas de uma função no mesmo ponto. Eventualmente uma delas pode existir e a outra nem isso!

Exemplo A.5.5.

Seja

f (x, y) = x^{3} - 3 x y + 5 x^{2} y^{4} + 3 .

Calculemos as derivadas mistas de segunda ordem:

\begin{aligned} f_{x} (x, y) & = 3 x^{2} - 3 y + 10 x y^{4} ⟹ f_{x y} (x, y) = - 3 + 40 x y^{3}; \\ f_{y} (x, y) & = - 3 x + 20 x^{2} y^{3} ⟹ f_{y x} (x, y) = - 3 + 40 x y^{3}, \end{aligned}

ou seja, as derivadas mistas são iguais em cada ponto!

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Sorte? Provavelmente sim, já que o Exercício 1.5.14, mostra que nem sempre isso acontece. Vamos estabelecer uma nomenclatura utilizada no resultado que garante condições suficientes para que as derivadas mistas coincidam em cada ponto.

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Definição A.5.6. (Funções de classe $C^{k}$ ).

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Sejam

f : A \subseteq R^{2} \to R

uma função e

(x_{0}, y_{0})

um ponto no interior de

A .

Dizemos que

f

é de classe

C^{k}

(x_{0}, y_{0})

se todas as derivadas parciais de ordem até

k

são contínuas em

(x_{0}, y_{0}) .

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Temos então o

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Teorema A.5.7. (Schwarz).

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f : A \subseteq R^{2} \to R

é uma função de classe

C^{2}

(x_{0}, y_{0}),

então

f_{x y} (x_{0}, y_{0}) = f_{y x} (x_{0}, y_{0}) .

Demonstração.

Seguindo diretamente das definições, temos

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x_{0}, y_{0}) & = lim_{k \to 0} \frac{f_{x} (x_{0}, y_{0} + k) - f_{x} (x_{0}, y_{0})}{k} \\ = lim_{k \to 0} \frac{lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h, y_{0} + k) - f (x_{0}, y_{0} + k)}{h} - lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{h}}{k} \\ = lim_{k \to 0} lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h, y_{0} + k) - f (x_{0}, y_{0} + k) - f (x_{0} + h, y_{0}) + f (x_{0}, y_{0})}{h k} \\ = lim_{k \to 0} lim_{h \to 0} \frac{ψ (y_{0} + k) - ψ (y_{0})}{h k} \overset{(*)}{=}, \end{aligned}

onde

ψ (y) = f (x_{0} + h, y) - f (x_{0}, y)

é uma função derivável. Para cada

k

fixado, aplicando o TVM temos que

ψ (y_{0} + k) - ψ (y_{0}) = ψ^{'} (\overset{―}{y}) k = (f_{y} (x_{0} + h, \overset{―}{y}) - f_{y} (x_{0}, \overset{―}{y})) k .

Voltando no limite acima, temos

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x_{0}, y_{0}) & \overset{(*)}{=} lim_{k \to 0} lim_{h \to 0} \frac{(f_{y} (x_{0} + h, \overset{―}{y}) - f_{y} (x_{0}, \overset{―}{y})) k}{h k} \\ = lim_{k \to 0} lim_{h \to 0} \frac{f_{y} (x_{0} + h, \overset{―}{y}) - f_{y} (x_{0}, \overset{―}{y})}{h} \\ = lim_{k \to 0} \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x_{0}, \overset{―}{y}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x_{0}, y_{0}), \end{aligned}

pois, por hipótese,

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}

é contínua em

(x_{0}, y_{0}) .

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O exemplo a seguir mostra que a recíproca do Teorema de Schwarz é falsa.

Exemplo A.5.8.

A função

f (x, y) = {\begin{cases} (x^{2} + y^{2})^{2} \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}), & (x, y) \neq (0, 0); \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}

é uma função de classe

C^{1}

(0, 0),

satisfaz

f_{x y} (0, 0) = f_{y x} (0, 0),

mas não é de classe

C^{2}

(0, 0) .

Calculando pelas regras de derivação e pela definição onde for pertinente, temos

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) & = {\begin{cases} 4 x (x^{2} + y^{2}) \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) - 2 x \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}), & (x, y) \neq (0, 0); \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}; \\ \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) & = {\begin{cases} 4 y (x^{2} + y^{2}) \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) - 2 y \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}), & (x, y) \neq (0, 0); \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases} . \end{aligned}

É relativamente imediato verificar a continuidade das funções acima e portanto que é uma função de classe

C^{1}

(0, 0) .

Calculando uma das derivadas mistas na origem, temos

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (0, 0) & = lim_{k \to 0} \frac{f_{x} (0, 0 + k) - f_{x} (0, 0)}{k} = 0; \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (0, 0) & = lim_{h \to 0} \frac{f_{y} (0 + h, 0) - f_{y} (0, 0)}{h} = 0; \end{aligned}

Finalmente, escrevemos a derivada segunda

f_{y} x (x, y)

para analisar sua continuidade.

\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x, y) = {\begin{cases} 8 x y - \frac{4 x y}{(x^{2} + y^{2})^{2}} \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}), & (x, y) \neq (0, 0); \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases},

onde é relativamente fácil ver que a segunda parcela não tem limite na origem, enquanto a primeira tende a

0,

mostrando que

\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}

não tem limite em

(0, 0),

logo não pode ser contínua ali.

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Com um pouco de imaginação você consegue generalizar as definições e resultados aqui apresentados para funções com mais de duas variáveis e também para derivadas de ordem

k > 2 .

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Definição A.5.1. (Derivadas de segunda ordem).

Nota A.5.2.

Nota A.5.3.

Exemplo A.5.5.

Definição A.5.6. (Funções de classe Ck).

Teorema A.5.7. (Schwarz).

Demonstração.

Exemplo A.5.8.

Definição A.5.6. (Funções de classe $C^{k}$ ).