Provas dadas ao longo do semestre:
PROVA 1 ------- PROVA 2 ------- PROVA 3 ------- SUB
REC: 13 de fevereiro de 2008, às 14h
Critério da REC: média simples com a nota final do semestre letivo regular
Aviso: estarei no IME o tempo todo, podem vir tirar dúvidas. Sugiro refazer todas as provas. Estou à disposição para verificar se estão resolvendo as questões corretamente.
Para o conteúdo Erros de Métodos de Integração, use os mesmos exercícios de Integração, mas
introduza uma precisão pe calcule a partição necessária para implementar Trapézios ou Simpson
dentro dessa precisão, sem esquecer de olhar para o número de casas decimais e erros de
arredondamento.
Para os Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel, veja o Capítulo 3 do texto on-line. É importante
saber calcular o número de iterações para se alcançar uma precisão dada.
Exercícios 5.3 e 5.4 (pg. 69)
18.1 (pg.196) a 18.11 (o exercício 18.4 será feito em classe, como parte da teoria).
Em classe: dei dois exercícios para estimar o erro com precisão no Método de Euler de
ordem 1, para equações autônomas e não autônomas. Quem não foi à aula, ver com os colegas.
Os exercícios abaixo servirão para orientar os estudos. O aluno deve procurar no material eletrônico disponível abaixo as explanações teóricas. Os exercícios indicados por números se referem ao mesmo material eletrônico (o "quase-livro"). Os exercícios não estão ordenados por temas.
Resolver os exercícios 10.1 a 10.7 do Capítulo 10
Ler: o capítulo 13 sobre motivações para a integração numérica
EP/T 1: Obtenção dos dados de um lago a partir de suas linhas de contorno (usando spline cúbico e métodos de integração)
PRAZO DE ENTREGA: 17/10
EP/T 2: Ajuste de mínimos quadrados de uma função exponencial (usando ajuste linear, método de Newton e Runge-Kutta)
PRAZO DE ENTREGA: 21/11
Como já foi dito em aula, discutiremos vários assuntos de maneira mais superficial, para que os trabalhos possam ser feitos, e depois voltaremos a alguns assuntos para a discussão de aspectos mais aprofundados (ou discutiremos novos assuntos que não sejam necessários para os trabalhos). Para que ninguém se perca, procurarei dar uma idéia dos tópicos discutidos aula a aula.
30/07 Algarismos significativos, escalonamento
01/08 Interpolação por sistemas lineares, estimativa da complexidade algorítmica do escalonamento e interpolação de polinômio cúbico por dois pontos com derivadas especificadas (usado na função "interp" do Scilab)
06/08 Definição de spline cúbico e "métodos" (relacionados a condições dos extremos) - ver pdfs juntos com EP/T 1
08/08 Spline no Scilab; resolução de um exemplo de spline (atividade feita pelos alunos)
13/08 Comentário sobre importância do spline (apresentação do estagiário); introdução aos métodos de integração: Método dos Trapézios
15/08 Interpolação de Lagrange e dedução do Método de Simpson (aqui encerram-se os pré-requisitos para o EP/T 1)
20/08 Comentário sobre solução de spline: derivadas nos nós como incógnitas; fracasso do Scilab em interpolar usando sistemas lineares; sucesso usando interpolação de Lagrange
22/08 Zeros de funções e o Método de Newton
27/08 Motivação da fórmula de iteração do Método de Newton; discussão da convergência local no caso de derivadas primeira e segunda não nulas na raiz da função
29/08 Discussão sobre convergência em outras situações: (i) primeiro termo da expansão de Taylor de grau n maior ou igual a 2 = convergência geométrica com razão 1-1/n; (ii) derivada não nula e termo seguinte da expansão de Taylor igual a n > 1: convergência de ordem n (a discussão foi feita com modelos simples que ignoram o resto - a demonstração exata, considerando o resto, é feita sempre como no caso da aula anterior); discussão sobre a escolha da condição inicial em função de aspectos geométricos do gráfico da função; critério de parada exato usando o sinal da função, para funções que trocam de sinal na raiz; exercício em classe para calcular a taxa de juros de um financiamento a prazo e discussão sobre a escolha da condição inicial nesse exemplo
10/09 Prova 1
12/09 Método dos mínimos quadrados: introdução; problema do ajuste, diferença quadrática como critério de qualidade do ajuste, dados discretos e contínuos, diferença quadrática com pesos, dependência linear nos parâmetros
17/09Uma competição: sobre os dados de peso x altura coletados em sala, cada um ajustou aos dados uma reta, visualmente, e mediu a diferença quadrática. O vencedor foi aquele que conseguiu a menor diferença quadrática.
19/09 A teoria básica dos ajustes por mínimos quadrados, com dependência linear no parâmetro: redução a um sistema linear, produtos escalares, etc.
24/09 Dois exercícios: (1) aplicação da teoria aos dados da aula de 17/09 (feito em sala); (2) análise harmônica sobre os dados de temperatura média ao longo do ano nos arredores do Lago Mud (para fazer em casa!!)
26/09 O que é uma equação diferencial e o problema de valores iniciais
01/10 O Método de Euler - expansão em primeira ordem
03/10 Expansão em segunda ordem
08/10 Runke-Kutta de segunda ordem para x'=f(t,x), com x real
10/10 Exercício em classe: dedução do Runge-Kutta de segunda ordem para eq. autônoma em duas variáveis
15/10 Runge-Kutta de ordem 3 para x'=f(x) com x real
17/10 Estimativa precisa do erro no Método de Euler (fizemos em segunda ordem; primeira ordem é exercício)
22/10 Prova 2
24/10Estimativa de erro na interpolação
29/10Aplicação da estimativa de erro da interpolação para estimar os erros dos Métodos dos Trapézios e de Simpson
31/10 Dedução de uma estimativa de erro mais precisa para o Método de Simpson
05/11Como se estima o erro num problema prático: integral de 1/1+x²para a obtenção de pi
07/11Atividade em classe: integração da Gaussiana com precisão dada
12/11Resolução completa do problema de integração da Gaussiana com precisão dada
14/11Problemas de contorno, equação de Laplace, diferenças finitas e sistemas lineares
21/11 Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel (e nas duas aulas seguintes, critérios de convergência usando o Teorema do Ponto Fixo para contrações)
26/11
28/11
03/12 Prova 3
05/12 Aula de dúvidas e exercícios
10/12 Substitutiva
A média final será dada da seguinte forma:
P1: 10/09
P2: 22/10
P3: 03/12
Sub: 10/12
Qualquer livro de Cálculo Numérico (ver na Biblioteca do IME, que permite inscrição direta) ou o link acima