MATÉRIA DO CURSO MAT0220
Cálculo Diferencial e Integral IV
Prof. Paolo Piccione
Segundo Semestre 2019
- Números Complexos
- O corpo dos Número complexos. Representação como operadores lineares em R2.
- Forma polar. Potências e raízes. Módulo e argumento.
- Topologia do plano complexo. Discos abertos e fechados. Conjuntos abertos e fechados.
- Pontos aderentes, de acumulação, pontos interiores.
- Conjuntos limitados e conjuntos compactos. Teorema de Cantor.
- Sequências em C e limites. Teorema de Bolzano Weierstraß.
- Cálculo no plano
- Diferenciação de funções complexas
- Definição de derivada complexa. Comparação com a diferenciação no R2: as equações
de Cauchy-Riemann. Funções holomorfas.
- Função exponencial. Função logaritmo.
- Potências complexas.
- Séries
- Sequências complexas. Sequências limitadas, convergentes, de Cauchy. Critério de Cauchy.
- Séries complexas. Convêrgencia absoluta. A série geométrica.
- Séries de potências. Raio de convergência.
- Derivação termo a termo.
- Teoria de Cauchy
- Integração de uma função complexa ao longo de um caminho.
- Primitiva de uma função complexa. Condição integral para a existência de uma primitiva.
- Teorema de Cauchy-Goursat. Fórmula integral de Cauchy, fórmula integral para as derivadas de uma função holomorfa.
- Funções inteiras e o Teorema de Liouville. O Teorema Fundamental da Álgebra.
- Princípio do módulo máximo. Teorema de Morera.
- O Teorema de Cauchy geral, e fórmulas integrais de Cauchy utilizando caminhos quaisquer.
- Singularidades
- Funções holomorfas em um anel. A expansão de Laurent.
- Classificação de singularidades: singularidades removíveis, polos e singularidades essenciais.
- Teorema de Casorati-Weierstrass (sem demonstração)
- Teorema dos Resíduos.
- Teorema de Rouché.
Listas de Exercícios
- Lista de Exercícios 1 (números complexos, 07.08.2019)
- Lista de Exercícios 2 (topologia do plano complexo, 18.08.2019)
- Lista de Exercícios 3 (Fórmula de Green no plano, derivada complexa, função exponencial, 01.09.2019)
- Lista de Exercícios 4 (Argumento, logaritmo e potências complexas. Séries, 23.09.2019)
- Lista de Exercícios 5 (Séries de potências, 06.10.2019)
- Lista de Exercícios 6 (com algumas respostas!) (Integração complexa e fórmula integral de Cauchy, 06.11.2019)
- Lista de Exercícios 7 (mais sobre
Integração complexa e fórmula integral de Cauchy, 16.11.2019)
- Lista de Exercícios 8 (Singularidades,
expansão de Laurent. Teorema dos Resíduos, 17.11.2019)
Bibliografia:
- H.L.Guidorizzi, Um curso de Cálculo vol .4, Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 1989
- D. Saranson, Complex Function Theory 2nd Ed., American Mathematical Society
- M. G. Soares, Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, IMPA
- C. S. Fernandez, N. C. Bernardes Jr., Introdução às Funções de uma Variável Complexa, Textos Universitários, Sociedade Brasileira de Matemática