MAP0151- Cálculo Numérico e Aplicações
Novos Avisos | Agenda | Lista de Exercícios | Material na Rede | Avisos
Resumo da décima aula
Usamos a pivotação para resolver os problemas que surgem no arredondamento e para o caso de encontrarmos um pivô $a_{kk}$ nulo. A estratégia é fazer a pivotação antes de cada eliminação. Seguem duas funções para o SCILAB para pivotação e eliminação de Gauss. Futuramente precisaremos, quer dizer s alunos vão precisar, destas funções.

pivota1.sci

function Y=pivota1(A,n),
// Pivota a n-esima coluna da matriz A.
[l,c]=size(A);
if (l<n)|(c<n) then Y=A; end
// localizar o elemento com o maior módulo:
M=n;
for k=n+1:l,
if abs(A(k,n))>=abs(A(M,n)) then M=k; end;
end;
//troca a linha n com a linha l
if M~=n then
b=A(n,:);
A(n,:)=A(M,:);
A(M,:)=b;
end;
Y=A;
endfunction

gauss_elim.sci

function Y=gauss_elim(A,n),
// executa o n esimo passo do metodo de eliminacao de Gauss
[l,c]=size(A);
if n>=min(l,c) then error("Nao da pra fazer com esse n"); end;
if A(n,n)==0 then error("fazer o Pivotamento primeiro"); end;
for k=n+1:l ,  
A(k,n)=A(k,n)/A(n,n);
A(k,n+1:c)=A(k,n+1:c)-A(k,n)*A(n,n+1:c);
end;
Y=A;
endfunction;
Generated by GNU enscript 1.6.4.
04 de April de 2008
Resumo da nona aula
Vimos mais um exemplo do método da eliminação de Gauss na forma matricial. O método de eliminação sem pivotação também dá um método para a decomposição LU da mattriz de coeficientes $A$ \[ A= \left(\begin{array}{cccc} 1 & \cdots & 0 & 0\\ m_{21} &1 & 0 & 0 \\ \vdots& & \ddots & \vdots \\ m_{n1}&\cdots&m_{nn-1}&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cccc} u_{11} & \cdots & & u_{1n}\\ 0 &u_{22} & \cdots & u_{2n} \\ \vdots& & \ddots & \vdots \\ 0&\cdots&0&u_{nn} \end{array}\right)\] Onde os coeficientes $u_{ij}$ são da matriz triangular superior resultante do método da eliminação de Gauss sem pivotação e $m_{ij} = a_{ij}^{j-1}/a_{jj}^{j-1}$ são os multiplicadores obtidos no $j$-ésimo passo da eliminação de Gauss.
Vimos como calcular a matriz inversa e como usar a decomposição LU para resolver um sistema linear.
03 de April de 2008
Resumo da oitava aula
Iniciamos o estudo de métodos numéricos para solução de sistemas lineares de ordem $n$. O objetivo do método da eliminação de Gauss é transformar um sistema linear num sistema triangular superior que pode ser resolvido trivialmente de trás para frente.
Para executar a mudança usamos as operações básicas:
  • Troca de linhas $L_j \leftrightarrow L_k$
  • Trocar por um múltiplo da linha: $L_j \leftarrow \alpha L_j$ com $\alpha \neq 0$
  • Substituição de linhas $L_j \leftarrow \beta L_k$
Para um sistema $n\times n$ o método da eliminação de Gauss é executado em $n-1$ passos onde no $k$- ésimo passo fazemos o seguinte: A equação $L^{(k-1)}_k$ fica como está (Até vermos pivotação).
As linhas $L^{(k-1)}_j$ para $j>k$ são modificadas como segue: \[ L^{(k)}_j=L^{(k-1)}_j- \frac{a_{jk}^{(k-1)}}{a_{kk}^{(k-1)}}L^{(k-1)}_K \] Ao final do passo $n-1$ teremos um sistema triangular superior.
28 de March de 2008
Resumo da sétima aula
Estudamos o método de Newton, que é um método de ponto fixo: \[ x_{n+1} = \varphi(x_n) = x_n - \frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)} \] é o método das secantes, que é uma espécie de discretização do método de Newton onde a sequência de aproximações é dada por: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}f(x_n) \] Note que neste caso são necessários os dois últimos passos da sequência para se obter o próximo.
27 de March de 2008
Sequências de Cauchy
Augustin Cauchy Coloquei um resumo sobre as sequências de Cauchy no material de apoio para complementar o que a gente viu na aula. De fato acho que pouca gente já tinha visto este assunto e coloquei no resumo os fatos essenciais. Não cai na prova.
17 de March de 2008
Resumo da aulas (quinta e sexta)
Zero de funções: Se $f(x)$ é uma função contínua num intervalo $[a,b]$. Encontrar um valor $\bar{x}\in [a,b]$ tal que $f(\bar{x})=0$. Para resolver este problema vimos os métodos da bissecção, e da falsa posição. Na segunda aula vimos um pouco do método das aproximações sucessivas:
  • Como passar de um problema original $f(x)=0$ para um problema equivalente $x=\varphi(x)$.
  • A técnica para resolver $x=\varphi(x)$ com a sequência $x_{n+1}=\varphi(x_n)$.
  • Casos em que esta sequência não convergiu (infelizmente)
  • Condições sobre $\varphi$ para que a sequência convirja num intervalo $[a,b]$
O método é também conhecido como método do ponto fixo.
Nas duas figuras abaixo $\varphi(x)=\alpha x(1-x)$ com $\alpha = 2$ no primeiro gráfico e $\alpha=3.5$ no segundo. A linha verde é o gráfico de $|\varphi^\prime(x)|$. Quando ele desaparece do gráfico é porque é maior que um.

Nas duas figuras abaixo vemos a representação gráfica da convergência no primeiro caso e não convergência no segundo.

Os scripts exemplo1.fraid e exemplo2.fraid geraram estas figuras.
14 de March de 2008
|1||2||3||4||5|