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Resumo da vigésima-sexta aula
Fórmula de Simpson com n repetições:
Se $f:[a,b] \to \mathbf{R}$ é uma função $\mathcal{C}^4$. Seja
$h=(b-a)/2n$ então:
\[ S_n(f,a,b)=\frac{h}{3}(f(a)+f(b) + 4\sum_k=1^n f(a+(2k-1)h)
+2\sum_{k=1}^{n-1}f(a+2kh)\]
Fórmula do Erro
\[ E_{S_n}=\frac{-nh^5}{90}f^{(iv)}(\varepsilon)\]
Integração de Gauss: Se $\{p_0, \dots p_{n+1}\}$ são
polinômios ortogonais com o produto $(f,g)=\int_a^bf(s)g(s)ds$.
Seja $\{x_0,\dots,x_n\}$ as raízes de $p_{n+1}$, definimos a
integração de Gauss como:
\[ G(f,a,b,(p_i))= \sum_{k=0}^n f(x_k).A_k \]
onde $A_k = \int_a^b L_k(x)dx$ e $L_k(x)$ são os polinômios de Lagrange
dos pontos $\{x_0,\dots,x_n\}$.
15 de June de 2008 |
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Resumo da vigésima-quinta aula
Integração numérica. Método de Simpson Seja $f: [a,b] \to \mathbf{R}$
uma função. A integral de Simpson com uma repetição é dada por:
\[ S(f, a, b)= \frac{h}{3}(f(a) + 4f(c) + f(b)) \]
onde $c=(a+b)/2$ e $h=(b-a)/2$. Esta fórmula coincide com a integral do polinômio interpolador pelos pontos $(a,f(a)),(c,f(c)),(b,f(b))$. A fórmula do erro $E_{S}=\int_a^bf(x)dx - S(f,a,b)$ é \[ E_S=-\frac{h^5}{90}f^{(iv)}(\xi) \] com $\xi \in [a,b]$ 11 de June de 2008 |
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Resumo da vigésima-quarta aula
Integração numérica: No método dos trapézios, se $f:[a,b] \to \mathbf{R}$ é uma função de classe $\mathcal{C}^2$ então:
\[ \int_a^b f(x)dx = T(f,a,b)= (f(a)+f(b))\frac{(b-a)}{2}\]
e o erro cometido é
\[ E_T= -\frac{(b-a)^3}{12}f^{\prime\prime}(\varepsilon)\]
Para aplicar o métodos dos trapézios com repetição repartimos o intervalo $[a,b]$ em $n$ partes. Definindo $h=(b-a)/n$ e $x_i=a+ih$ temos:
\[ T_n(f,a,b)= \frac{h}{2}(f(a)+f(b)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_i)) \]
e neste caso o erro total é:
\[ E_{T_n}= -\frac{h^2(b-a)}{12}f^{\prime\prime}(\varepsilon)\]
06 de June de 2008 |
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Resumo da vigésima-terceira aula
Revisão da última aula. Como usar interpolação para aproximar funções
e fórmula do erro. Se $P_k(x)$ é o polinômio interpolador da função
$f(x)$ nos pontos $(x_0,f(x_0)),\dots,(x_k,f(x_k))$ e $f$ é $k+1$
vezes diferenciável no intervalo $[x_0,x_k]$ então:
\[ f(x) =
P_k(x)+(x-x_0)\cdots(x-x_k)\frac{f^{(k+1)}(\xi_x)}{(k+1)!}\]
para todo $ x\in [x_0,x_k]$ e
para algum $\xi_x \in [x_0,x_k]$
05 de June de 2008 |
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Resumo da vigésima-segunda aula
O polinômio interpolador pelos pontos $(x_0,y_0),\dots, (x_k,y_k)$ na
forma de Newton é dado pela fórmula:
\[ P_k(x)= a_0 + a_1(x-x_0)+\cdots +a_k(x-x_0)\cdots(x-x_{k-1}) \]
os coeficientes $a_j$ são dados pelas diferenças divididas:
\[ a_i=[y_0,\dots,y_i] (=f[x_0,\dots,x_i])\]
Por sua vez as diferenças divididas podem ser calculadas por uma
fórmula de recorrência
\[ [y_0,\dots,y_i]=
\frac{[y_1,\dots,y_i]-[y_0,\dots,y_{i-1}]}{(x_i-x_0)}\]
No caso em que $x_i=x_0+i\varepsilon$ temos
\[ [y_0,\dots,y_i]= \frac{\Delta^iy_0}{i!\varepsilon^i}\]
onde $\Delta y_k = y_{k+1}-y_k$ e $\Delta^iy_k = \Delta^{i-1}y_{k+1}
-\Delta^{i-1}y_{k}$
22 de May de 2008 |
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Resumo da vigésima-primeira aula
Dado um conjunto de pontos;$(x_0,y_0),\dots ,(x_k,y_k)$ o polinômio
interpolador, $P_k(x)$ deste conjunto é o único polinômio de grau
menor ou igual a $k$ tal que $P_k(x_i)=y_i$ para todo $i\in \{0,\dots
,k\}$.Os polinômios de Lagrange são os polinômios de grau $k$ \[ L_i(x) = \frac{(x-x_0)\cdots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots (x-x_k)}{(x_i-x_0)\cdots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots (x_i-x_k)}\] com os polinômios de Lagrange o polinômio interpolador se escreve: \[ P_k(x) = \sum_{i=0}^k y_iL_i(x) \] Podemos também escrever o polinômio interpolador na forma de Newton \[ P_k(x) =y_0 + (x-x_0)f[x_0,x_1]+\cdots + (x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{k-1})f[x_0,\dots,x_k]\] 18 de May de 2008 |