O que vamos estudar?
Neste curso vamos formalizar e generalizar a integração em várias variáveis. Começamos recordando os resultados principais do cálculo diferencial (teoremas das funções implícitas e inversas, formas locais e teorema do posto). Depois estudamos integração de funções $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ e suas propriedades (critérios de integrabilidade, mudança de variáveis, etc.). Voltamos então nossa atenção ao estudo das formas diferenciais e campos de vetores em $\mathbb{R}^n$ e das subvariedades do $\mathbb{R}^n$. Finalmente chegamos ao Teorema de Stokes para subvariedades do $\mathbb{R}^n$ e revisitamos os teoremas clássicos de integração sob essa nova linguagem.
Um tópico adicional que pretendemos abordar é entender como as relações entre as formas diferenciais fechadas e as exatas conta um pouco da topologia do espaço (Lema de Poincaré, grupos de homologia etc.). Em particular é possível provar o Teorema do ponto fixo de Brower com o teorema de Stokes!
A teoria em si é muito bonita e tem diversas aplicações em várias áreas da Matemática e Física. Um introdução interessante à história das formas diferenciais está aqui.
A bibliografia recomendada é:
- Spivak, M. Calculus on Manifolds: A modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus Benjamin, 1965
- Munkres, J. R.Analysis On Manifolds CRC Press, 1997.
- Lima, E. L. Curso de Análise, vol. 2, IMPA, 2015.
Como vamos estudar?
Teremos duas aulas semanais de 100 minutos cada, às terças e quintas (horário das aulas aqui). Elas serão expositivas, mas é incentivada e recomendada a participação dos alunos, o que enriquece o ambiente de aprendizado. Teremos também uma página no e-Disciplinas da USP para uma comunicação coletiva mais eficiente (mantenha seu e-mail institucional em ordem para receber os avisos).
A playlist com as sessões online pode ser acessada aqui. As anotações dessas sessões e os textos preliminares estão aqui.
Agindo como um termômetro para seu aprendizado teremos listas de exercícios, divulgadas conforme o andamento do conteúdo. Aqui estão:
A observação final da lista 6, pode ser explicada através dos slides disponíveis aqui, que utilizei para o curso de Álgebra Linear da Poli. Aparecem ali outras aplicações práticas de autovalores de matrizes que podem ser do interesse de vocês.
Interação virtual
Existe um grupo de WhatsApp, do qual o professor não participa, onde os alunos podem trocar informações. Clique aqui para acessá-lo.
Na plataforma e-Disciplinas existe um abiente para a nossa disciplina, onde estarão disponíveis fórums para discussão dos temas abordados no curso, com participação e mediação do professor. Aproveitem!
Avaliação
Faremos duas provas ao longo do curso:
P1: 23/04, às 10:00P2: 25/06, às 10:00
Devido à suspensão das aulas presenciais a avaliação será feita através da entrega periódica de exercícios individuais.
Atendimento
Podemos nos encontrar:
- Segundas e quintas-feiras, das 14:00 às 15:00 (por ordem de chegada) ou
- Agendamento em casos especiais: disponibilidade aqui.