Problemas, instâncias, algoritmos, tempo

Esta página introduz o conceito de instância de um problema computacional e o conceito de tamanho de uma instância. Também discute, brevemente, a noção de consumo de tempo (ou desempenho, ou eficiência) de um algoritmo e as ideias de pior caso e melhor caso.

Uma das principais missões da análise de algoritmos é prever o consumo de tempo de algoritmos. Dado um algoritmo, procuramos estimar, a relação entre o consumo de tempo do algoritmo e o tamanho de sua entrada.

Problemas e suas instâncias

Todo problema computacional é uma coleção de casos particulares que chamaremos instâncias (= instances). Uma instância é especificada quando atribuímos valores aos parâmetros do problema. Em outras palavras, uma instância é especificada por um particular conjunto de dados do problema. [A palavra instância é um neologismo, importado do inglês. Ela está sendo empregada aqui no sentido de exemplo, exemplar, espécime, amostra, ilustração.]  Veja alguns exemplos:

Em geral, nem toda instância de um problema tem solução. Assim, por exemplo, a instância  (1, 2, 3)  do problema da equação inteira de segundo grau não tem solução, pois não existe um número inteiro x tal que 1x² + 2x + 3 = 0.

Em discussões informais é razoável confundir problema com instância e chamar tudo de problema. Mas em discussões mais técnicas é importante distinguir os dois conceitos.

Exercícios 1

  1. Dê uma solução da instância (1, 2, 1) do problema da equação inteira do segundo grau. Dê uma solução da instância (1, ¾, 0) do problema da equação inteira do segundo grau.
  2. Dê uma solução da instância (4, −2, 8, 6) do problema da ordenação de vetor inteiro.

Tamanho de uma instância

O tamanho (= size) de uma instância de um problema é a quantidade de dados necessária para descrever a instância (ou seja, o espaço de memória necessário para especificar os valores dos parâmetros que definem a instância). Em geral, o tamanho de uma instância é descrito por um único número natural, mas às vezes é mais conveniente usar dois ou mais números.

O conceito de tamanho está sendo apresentado de maneira propositalmente vaga para que possamos escolher, em cada caso, a definição mais apropriada.

Exercícios 2

  1. Considere o grafo que tem vértices  a, b, c, d  e arcos  ab, bc, cd, da, bd.  Esse grafo define uma instância do problema do ciclo máximo. Qual o tamanho dessa instância?

Algoritmos para problemas

A solução de uma instância de um dado problema pode ser um número, um vetor, um valor booleano, etc., dependendo da natureza do problema. Já a solução de um problema é sempre um algoritmo.

Dizemos que um algoritmo resolve um dado problema se, ao receber a descrição de qualquer instância do problema, devolve uma solução da instância (ou informa que a instância não tem solução).

Exercícios 3

  1. Dê uma solução do problema da equação inteira do segundo grau.
  2. Descreva informalmente uma solução do problema da ordenação de vetor inteiro.

Desempenho de um algoritmo

Não confunda consumo de tempo com
tempo de consumo!

— um aluno

Suponha que A é um algoritmo para um certo problema. Seja  t(I)  a quantidade de tempo que A consome para processar uma instância I do problema. Queremos estudar o comportamento de t em função do tamanho das instâncias. É preciso lembrar que, via de regra, um problema tem muitas instâncias diferentes de um mesmo tamanho e A consome um tempo diferente para cada uma. Para cada n, sejam

T(n)  e  T(n)

o mínimo e o máximo, respectivamente, de t(I) para todas as instâncias I que têm tamanho n. Assim, T(n) ≤ t(I) ≤ T(n) para toda instância I de tamanho n. Diremos que as funções  T  e  T  medem o consumo de tempo do algoritmo A no melhor caso (= best case) e no pior caso (= worst case), respectivamente. O melhor caso corresponde às instâncias mais fáceis e o pior caso corresponde às instâncias mais difíceis.

Por exemplo, o consumo de tempo do algoritmo pode ser  200n  no melhor caso e  3n²  no pior caso. (Como se faz usualmente, estamos ignorando os valores pequenos de n, para os quais 200n é maior que 3n².)

Em geral, o consumo de tempo é proporcional ao número operações elementares que o algoritmo executa ao processar a instância. Tipicamente, uma operação elementar é uma operação aritmética entre variáveis do algoritmo, ou uma comparação entre duas variáveis, ou uma atribuição de valor a uma variável. Não é necessário contar todas as operações elementares: basta escolher uma operação específica de modo o consumo de tempo do algoritmo seja proporcional ao número de execuções dessa operação. No problema da ordenação, por exemplo, parece óbvio que a operação relevante é a comparação entre elementos do vetor. Já no problema da equação inteira do segundo grau, parece claro que todas as operações aritméticas que envolvem a, b e c são relevantes.

Exercícios 4

  1. Suponha que n mede o tamanho das instâncias de um certo problema. A documentação de um algoritmo para o problema diz que o algoritmo consome 103n + 106 unidades de tempo no melhor caso e 2n2/10 unidades de tempo no pior caso. Isso faz sentido?
  2. Determine o maior n para o qual um problema pode ser resolvido em uma unidade de tempo (segundo, minuto, etc.), supondo que o algoritmo gasta f(n) microssegundos.
    f(nseg  min  hora  dia  mês  ano  século
    lg n
    n
    n
    n lg n
    n²
    n³
    2n
    n!

Consumo de tempo assintótico

Algorithm analysis usually means
give a big-O figure
for the running time of an algorithm
.
(Of course, a big-Theta bound is even better.)

Ian Parberry, Problems on Algorithms

We want a statement about software,
not hardware.

Suponha que A é um algoritmo para um problema P. Em termos de minutos e segundos, a quantidade de tempo que A consome para processar uma dada instância de P depende da máquina usada para executar A. Mas essa dependência se resume a uma constante multiplicativa: se A consome tempo t numa determinada máquina, consumirá tempo 2t numa máquina duas vezes mais lenta e t/2 numa máquina duas vezes mais rápida. Para eliminar a dependência da máquina, basta discutir o consumo de tempo de A a menos de constantes multiplicativas. A notação assintótica (Ο, Ω, Θ) é ideal para fazer isso.

Suponha que T e T são as funções que medem, em termos do tamanho das instâncias, o consumo de tempo de A no pior e no melhor caso, respectivamente.

Se T(n) está em Ο(n²) e em Ω(n²), e portanto em Θ(n²), podemos dizer que A consome tempo proporcional a n² no pior caso, embora isso constitua um abuso do significado usual de proporcional.

Exercícios 5

  1. Suponha que um algoritmo para um certo problema consome Ο(n²) unidades de tempo, sendo n o tamanho de uma instância. Meu amigo diz ter um outro algoritmo para o mesmo problema que consome apenas Ω(n) unidades de tempo. Devo ficar impressionado?
  2. Meu algoritmo para um certo problema consome Ο(n²) unidades de tempo, sendo n o tamanho de uma instância. Meu amigo diz ter um algoritmo para o mesmo problema que consome Ο(n lg n) unidades de tempo. Devo ficar impressionado?
  3. Suponha que dois algoritmos, AB, resolvem um mesmo problema. O tamanho das instâncias do problema é medido por um parâmetro n. Em quais dos seguintes cenários podemos afirmar que A é mais rápido que B? Cenário 1: No pior caso, A consome Ο(lg n) unidades de tempo e B consome Ο(n³) unidades de tempo. Cenário 2: No pior caso, A consome Ο(n² lg n) unidades de tempo e B consome Ω(n²) unidades de tempo. Cenário 3: No pior caso, A consome Ο(n²) unidades de tempo e B consome Ω(n² lg n) unidades de tempo.
  4. ★ Explique por que a seguinte afirmação não faz sentido: o algoritmo A consome pelo menos Ο(n²) unidades de tempo.
  5. O algoritmo abaixo recebe um vetor P[1 .. n] com n ≥ 0 e devolve um vetor X[0 .. n]. Ao receber argumentos Pi, a função Teste devolve 1 ou 0 e consome Ο(i) unidades de tempo para dar a resposta. Calcule detalhadamente o consumo de tempo do Algoritmo no pior e no melhor casos.
    Algoritmo (P, n)
    1 . para k crescendo de 0 até n
    2 .ooo i := k
    3 .ooo enquanto i ≥ 1 e Teste (P, i) = 0
    4 .oooooo i := i − 1
    5 .ooo X[k] := i
    6 . devolva X
  6. Como o consumo de tempo do seguinte fragmento de código varia com n?
    1 . c := 0
    2 . i := 1
    3 . enquanto in
    4 .ooo para j crescendo de 1 até n
    5 .oooooo c := c + 1
    6 .ooo i := 2 ⋅ i
  7. Considere o fragmento de código abaixo. Suponha que as linhas 3 e 4 consomem Ο(1) unidades de tempo (ou seja, consomem tempo constante, independente de n). Suponha que cada chamada Aux (n) consome Ο(n³) unidades de tempo. Quanto tempo consome o algoritmo todo?
    1 . a := 0
    2 . para k := 1 até n²
    3 .ooo a := a + 1
    4 .ooo se kn
    5 .oooooo b := Aux (k)