Professor Marcos M. Alexandrino
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 MAT 5711 Cálculo Avançado

Terças-feiras 14h00 às 16h00  e quintas-feiras  14h00 às 16h00 (sala A-242)
 

Avisos Importantes:
 
   

  Notas de Aulas  Cálculo Avançado e  Geometria

Notas de aula, serão atualizadas a cada fim de bloco. 

 

Listas  E disciplina 
Notas Finais  E disciplina      

 

Conteúdo:
Recordação do enunciado dos teoremas da função inversa e implícita para funções em R^n. Formas locais das imersões e submersões. Teorema do posto. Superfícies k-dimensionais (subvariedades) do R^n (definição via parametrizações).
Teorema da imagem inversa do valor regular. Espaço tangente. Integração no Rn. Teorema de Fubini. Teorema de mudança de variáveis para integrais. Aplicações multilineares alternadas. Produto exterior. Pull-back. Formas diferenciais no Rn e em superfícies. Diferencial exterior. Pull-back. Orientação em superfícies. Integração de formas diferenciais em superfícies.
Superfícies com bordo. Orientação induzida no bordo.Partições da unidade. Teorema de Stokes em variedades com bordo.

 

Bibliografia Principal:

  1. Notas de Aula (M Alexandrino-Y.Alvarez) Calculo Avancado-2024
  2. M. Spivak, Calculus on Manifolds. Perseus Books Publishing, 1965
  3. M. Craizer, G  Tavares, Cálculo Integral a várias variáveis,Editora Loyola, Puc-Rio
  4. S. Lang, Undegraduate Analysis. Springer-Verlag, 1989  
  5. S Mortia Geometry of Differential Forms : American Mathematical Society (2001)
Bibliografia Secundária:
  1.  R. Bott and L.W. Tu.  Differential Forms in Algebraic Topology. Springer Verlag GTM Vol 82, 1982
  2. W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill International Editions. 3a. Edição, 1976
  3. J. M. Lee Introduction to Smooth Manifolds, Second Edition, springer.


Cronograma (sujeito a alterações):


 Bloco  Matéria  Referências bibliográficas  
 Bloco 1
 Recordação do enunciado dos teoremas da função inversa.
 Subvariedades  mergulhadas no R^n. Formas locais das imersões
 e submersões e teorema da função implícita.  Espaço tangente.
 


 Capítulo 1 (notas de aula)
 Lang (cap 17, 18) Rudin (cap 9)
 Spivak (Cap 2)
 Craizer, Tavares(Cap 1,2,4,6,7,9)
 Morita (Cap 1)
 Bloco 2  
 Variedade (comentários gerais) Teorema do posto.  Campos, fluxos,
 fibrado tangente, e teorema de Frobenius.

 Capitulo 2 (notas de aula)
 Lang (cap 17, 18) Rudin (cap 9)
 Spivak (Cap 2)
 Morita (Cap 1)
 Bloco 3
  Integração no Rn. Teorema de Fubini.
 Teorema de mudança de variáveis para integrais.


  Capítulo 3 (notas de aula)
 Spikav (Cap 3)
 Craizer, Tavares (Cap  3,5)
 Bloco 4 
 Aplicações multilineares alternadas. Produto exterior.
 Pull-back. Formas diferenciais no Rn e em superfícies.
 Diferencial exterior. Pull-back. Orientação em superfícies.
 ntegração de formas diferenciais em superfícies.
 Superfícies com bordo. Orientação induzida no bordo.
 Partições da unidade. Teorema de Stokes em variedades com bordo.
 
 Capítulo 4 (notas de aula)
 Spivak (4, 5)
 Bott Tu (cap 1 seções 3 e 4).
 Morita (Cap 2)
 Spivak (4, 5)
 Bott Tu (cap 1 seções 3 e 4).
 Craizer, Tavares (Cap 8, 10,11)
 Morita (Cap 2).
 

 Critério  de Avaliação:

 Média= (P1+P2+P3)/3,  onde P1 é baseado em B1, P2 baseado B2 e P3 baseado em B3 e B4. 

 Monitoria: