A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI,
A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS,
SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA E APLICAÇÕES

Valdemar W. Setzer
Departamento de Ciência da Computação
Instituto de Matemática e Estatística da USP
www.ime.usp.br/~vwsetzer – esta versão: 4/10/18

Objetivo

Esta aula/oficina tem a intenção de mostrar vários aspectos interessantes da matemática para alunos do ensino médio, alunos de licenciatura e professores de matemática e ciências, normalmente não cobertos pelo currículo normal. Esta aula, quando dada para alunos e professores, é parte do projeto Embaixadores da Matemática do IME.

Resumo

Espirais. A espiral e a sequência de Fibonacci. Biografia de Fibonacci. Generalização da sequência de Fibonacci. Noções de convergência e de limite. A razão áurea, sua dedução, construção geométrica e propriedades. Frações e raízes contínuas. Fórmulas de recorrência. Espirais logarítmicas. Biografia de Jacob Bernoulli. Espirais áureas. Ocorrências na natureza: plantas, caramujos, furacões, galáxias espirais. Proporções áureas no corpo humano e na pintura. O retângulo e o triângulo áureos na geração de espirais. Uso da proporção áurea em objetos. Instrumentos para geração de proporções áureas. Aplicação na odontologia.

Pré-requisitos

O único pré-requisito é o conhecimento da equação do 2o grau.

Material necessário

  • Para cada aluno, lápis, borracha, meia folha de papel sulfite (para a avaliação final), uma folha de papel almaço grande (do tipo que vem dobrada, sem cortar ao meio!) quadriculada com quadradrinhos com 0,5 ou 0,6 cm de lado; a folha deve ser de papel almaço pois alguns desenhos, feitos a mão livre, serão grandes.
  • Computador com Power Point, data show e tela (ou parede branca) para as ilustrações.
  • Quadro negro ou branco, ou flip chart, (atenção!) ao lado da tela do data show.
  • Carteiras para os alunos poderem desenhar, ou tabuínha para cada aluno. Em último caso, os alunos podem usar um caderno grande de capa dura como apoio.
  • Atenção: se a aula for para escolas, é absolutamente essencial que professores estejam permanentemente presentes, para ajudar os alunos nos exercícios e a manter a disciplina. É interessante que entre eles estejam professores de matemática e de ciências, para uma discussão posterior sobre os aspectos didáticos da aula.

Duração

Duas horas, preferivelmente mais pelo menos meia hora. Ideal: 3 horas com intervalo (pausa hidráulica).

Avaliação

No fim da aula, os participantes fazem uma breve avaliação por escrito (one-minute paper) respondendo as seguintes perguntas: 1. Qual foi a coisa mais importante que aprendi? 2. Qual foi a maior dúvida que ficou? 3. Comentários.

Ver avaliações feitas por participantes desta aula.

Material na Internet

Durante a aula, um projetor (datashow) é usado apenas para as ilustrações em forma de imagens; o resto é feito no quadro negro ou pelos alunos. No entanto, o roteiro detalhado da aula com essas ilustrações e texto cobrindo boa parte dos detalhes da aula está disponível em

http://www.ime.usp.br/~vwsetzer/apresentacoes/Fibonacci-roteiro-aula.pps

Desse roteiro, apenas as ilustrações que são projetadas na aula estão em

http://www.ime.usp.br/~vwsetzer/apresentacoes/Fibonacci-espiral-imagens.pps

Para professores

Após uma aula para alunos, é interessante realizar uma breve reunião com os seus professores para se discutir o formato e o método pedagógico da aula, que visaram interessar e entusiasmar os alunos pela matéria.

Bibliografia

Chandra, Pravin and Weisstein, Eric W. "Fibonacci Number." From MathWorld – A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html (consultado em 17/10/15).

Devlin, Keith. Finding Fibonacci. The Quest to Rediscover the Forgotten Mathematical Genius Who Chnaged The World. Princeton: Princeton Univ. Press, 2017.

Doczi, György. O Poder dos Limites: harmonias e proporções na natureza, arte e arquitetura. Trad. M.H.O. Tricca e J.B.Bartolomei. São Paulo: Publicações Mercuryo Novo Tempo, 6ª ed 2012.

Posamtier, Alfred. S and Ingmar Lehmann. The (Fabulous) Fibonacci Numbers. Amherst: Prometheus Books, 2007.

Hemenway, Pryia . O Código Secreto: A Fórmula Misteriosa que Governa a Arte, a Natureza e a Ciência. Ed. Evergreen, 2010.

Spira, M. "Sobre o cartaz da OBMEP 2018", folheto sobre espirais logarítmicas: www.obmep.org.br/docs/curiosidade_cartaz_obmep2018.pdf

Weisstein, Eric W. "Golden Ratio." From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html (consultado em 17/10/15).


Palestras realizadas (Em ordem cronológica reversa; total: 39)

  1. 29/9/18, oficina para professores e alunos de licenciatura em matemática, e interessados, no Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (CAEM), do Instituto de Matemática e Estatística (IME) da USP, Cidade Universitária, São Paulo (10 professores e alunos de licenciatura)
  2. 10/5/18, para alunos do 2º e 3º do ensino médio do Colégio Stella Maris, Santos, SP, info: profa. Angelica Rodrigues marodriguesdesousa.at.arrobagmail.com
  3. 20/4/18, para alunos das 1as 2as e 3as séries do ensino médio e professores do Colégio Visconde de Porto Seguro, Rod. Visconde de Porto Seguro 5.701, Vale do Itamaracá, Valinhos, SP; info: Prof. Osmar Mantovani omantovani atar.rob.portoseguro.org.br
  4. 13/4/18 palestra para alunos de arquitetura do Campus Chácara Santo Antônio da UNIP, Santo Amaro, São Paulo, SP; info: profa. Carolina Silva Oukawa musarq.arro.b.a gmail.com
  5. 23/3/18, para alunos de 1o e 2o do ensino médio do Centro Educativo Vida Nova, Camanducaia, MGTel. 3433-1008; info: prof. Flário Correa prof.flaviocorrea arrob.at gmail.com
  6. 20/4/18, para alunos das 1as, 2as e 3as séries do ensino médio e professores do Colégio Visconde de Porto Seguro, Rod. Visconde de Porto Seguro 5.701, Vale do Itamaracá, Valinhos, SP; info: Prof. Osmar Mantovani omantovani.atar.rob portoseguro.org.br
  7. 10/5/18 8-11h00, para alunos do 2º e 3º do ensino médio do Colégio Stella Maris, Av. Conselheiro Nébias 771, Santos, SP, dentro do projeto Embaixadores da Matemática do IME; info: profa. Angelica Rodrigues marodriguesdesousa at.arrobagmail.com
  8. 23/10/17, oficina na Semana USP de Ciência e Tecnologia 2017, no Auditório Jacy Monteiro (bloco B) do Instituto de Matemática e Estatística, Cidade Universitária, São Paulo; info: prof. Eduardo Colli colli.eduardo sinal_at gmail.com
  9. 7/10/17
  10. 4/9/17, palestra para alunos do 9º ano do ensino fundamental, e 1º e 2º ano do ensino médio do Colégio Carbonell, Guarulhos, SP, (11) 4962-5555. info: Prof. Renato Gondim Rios renato.rios@colegiocarbonell.com.br
  11. 25/5/17, para alunos do 3o. ano do ensino médio da Escola Estadual Ana Rosa, Vila Inah, São Paulo, (11) 3742-7359, 3773-8666, info: profa. Paula, Coordenadora Pedagógica, pmassissp at-arrob hotmail.com
  12. 19/5/17, parte II para alunos do 3o ano A da Escola Estadual Prof. Expedito Camargo Freire (EEECF), Campos do Jordão, info: prof. Benedito Mariano msditom at-arrob hotmail.com
  13. 11/5/17, para alunos de licenciatura em Matemática, Física e Quimica, no IBILCE da UNESP, São José do Rio Preto, SP, , info: Profa. Socorro Rangel socorro@ibilce.unesp.br
  14. 11/5/17, para alunos da Escola Estadual Dr. Oscar de Barros Serra Dória, Solo Sagrado, São José do Rio Preto; info: Profa. Vera Castilho vera-castilho@uol.com.br
  15. 8/5/17, parte I para alunos do 3o ano A da Escola Estadual Prof. Expedito Camargo Freire (EEECF), Campos do Jordão, info: prof. Benedito Mariano msditom at-arrob hotmail.com
  16. 4/5/17, para alunos de licenciatura em matemática, na II Semana da Matemática e Educação Matemática do Instituto Federal de São Paulo, R. Monsenhor José Vita 280, Vila Abernessia, Campos do Jordão, SP, (12) 3668-9620
  17. 10/4/17, duas palesras, para alunos da 1ª série do ensino médio e para os das 2ª e 3ª séries no Colégio Avicena, R. Dona Cesária Fagundes 60, Saúde. São Paulo, SP, (11) 2276-2534, 5581-4665, info: Erica Panachuk ericapanachuk@hotmail.com
  18. 19/3/17, com o título "Matemática, natureza e espiritualidade", para membros do grupo de estudos de Antroposofia dirigido por S.A.L. Setzer e para participantes do Ramo Rudolf Steiner da Sociedade Antroposófica no Brasil, São Paulo, SP
  19. 6/3/17, para alunos do 3o ano B da Escola Estadual Prof. Expedito Camargo Freire (EEECF), R. Genko Sakane 10, Brancas Nuvens, Campos do Jordão, (12) 3662-3311, info: prof. Benedito Mariano msditom@hotmail.com
  20. 1/2/17, oficina na Escola Prof. Expedito Camargo Freire, R. Genko Sakane 10, Brancas Núvens, Campos do Jordão, SP, para professores de matemática e física dela e de outras escolas, e coordenadores pedagógicos.
  21. 9/9/16, aula para as 3 3as. séries da Escola Estadual Cardoso de Almeida (EECA), Praça Professor Pedro Torres, s/n, Centro, Botucatu, SP, (95 participantes)
  22. 22/10/16, oficina para professores e alunos de licenciatura em matemática, no Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (CAEM) do Instituto de Matemática e Estatística (IME) da USP, dentro do projeto (14 participantes)
  23. 13/9/16, para alunos das 3 3as séries da ETEC de Francisco Morato, Rua Tupinambás 572, Jardim Nova Belem, Francisco Morato, SP, (11) 4488-2992 (info: Prof. Rodrigo Assis da Silva rodrigocoordenacaoetec2012@gmail.com) (120 alunos e um professor)
  24. 9/9/16, para alunos e docentes do Instituto de Ciências Exatas, ala central do ICC (Instituto Central de Ciências) da Universidade de Brasília, DF, (61) 3107-7347, -7348, -7357; info: Profa. Claudia Melo claudia.melo.prof@gmail.com (3 professores, 7 alunos e 1 visitante)
  25. 29/6/16, para alunos e professores da Escola Técnica do Arsenal de Marinha do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ (info: dayanne martins dayanne.martins@amrj.mar.mil.br). (5 professores, inclusive de fora, e 10 alunos)
  26. 14/6/16, para aulnos dos 1º e 2º anos do ensino médio da Escola E.E. Carlindo Reis, R. Juvenal Guerra 137, Ferraz de Vasconcelos, SP, (11) 4678-2755 (info: Prof. Robson Fernando dos Santos, obu82@hotmail.com) (40 alunos e 2 professores).
  27. 11/6/16, para professores e alunos de licenciatura em matemática no Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (CAEM) do Instituto de Matemática e Estatística da USP. Cidade Universitária, São Paulo, SP (info: caem.ime@gmail.com), (11 professores de matemática, 3 alunos de licenciatura em matemática e 2 curiosos)
  28. 9/6/16, para alunos das duas classes de 3ª série do ensino médio do Colégio Renascer Sorocaba, R. Comendador Vicente do Amaral 802, Central Parque, Sorocaba, (15) 3229-4444, 9-9147-3149, (info: Profa. Cristiane R. S. dos Santos cristiane.sanches@hotmail.com), (40 alunos e 3 professores)
  29. 11/3/16, no Centro de Integração Empresa-Escola (CIEE), para educadores do programa de ensino do CIEE, no Auditório Ernesto Igel, R. Tabapuã 540, Itaim, São Paulo, info: Wilma Ribas <wilma_ribas@cieesp.org.br>). (36 participantes, mais 6 membros do CIEE)
  30. 1/12/15, para alunos dos dois 12os anos da Escola Waldorf Rudolf Steiner de São Paulo, R. Job Lane 900, Sto. Amaro, São Paulo, SP, dentro do projeto Embaixadores da Matemática do IME (info: prof. Alexandre Rodriguez Anzilotti <ale.anzilotti@gmail.com>) (12 alunos, 4 professores e um visitante)
  31. 14/11/15, para colegas da turma de 1963 do ITA e esposas, no Guararema Parque Hotel, Guararema, SP
  32. 6/11/15, para alunos do 9º ano na EMEB Luiz Antoniazzi, R. Ulisses P. de Oliveira Filho 850, Vila Santo Antonio, Valinhos, SP (15 alunos.)
  33. 15/10/15, na Mostra do Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (CAEM) do Instituto de Matemática e Estatística da USP, Cidade Universitária, São Paulo, SP, (50 participantes, professores e alunos de licenciatura em matemática.)
  34. 28/8/15, no salão nobre do Colégio Estadual Dr Gastão Vidigal, R. Líbero Badaró, 252 - Zona 07, Maringá, PR, dentro do projeto Embaixadores da Matemática do IME. (107 alunos.)
  35. 18/8/15, para alunos do ensino médio da Escola Waldorf Francisco de Assis, Av. Basiléia 149, Lausane Paulista, São Paulo, SP, www.escolafranciscodeassis.com.br, (35 alunos.)
  36. 27/5/15, na disciplina CCM0128 - Computação II para o Curso de Ciências Moleculares da USP, Cidade Universitária, São Paulo (info: prof. Ronaldo Fumio Hashimoto<ronaldo@ime.usp.br >). 13/5/15, aula para alunos do 2º e 3º anos do ensino médio do Colégio Adventistra do Boqueirão, Curitiba, PR (info: Profa. Adriana Tavares <cab.diretoria@adventistas.org.br>). (250 alunos.)
  37. 22/10/14, para os alunos do 9º ano e professores da Pólen Jardim e Escola Waldorf, Nova Lima, MG, info: Rosa Fantini <rosafantini@hotmail.com>. 17/10/14 na Semana da Licenciatura, auditório Jacy Monteiro do IME-USP, Cidade Universitária, São Paulo, info: SELIC 2014 <selicmat2014@gmail.com>.
  38. 15/10/14, para professores de matemática e ciências, no Auditório Profa. Hermínia Caldas na Secretaria de Educação do Estado (SEED), Rua Gutemberg Chagas 169, Aracaju, SE (info: Prof. Henrique Schneider <hns@terra.com.br>).
  39. 22/3/14, para professores de matemática no Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (CAEM) do Instituto de Matemática e Estatística da USP, Cidade Universitária, São Paulo.

Palestras programadas

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Esta aula faz parte do projeto Embaixadores da Matemática, do Instituto de Matemática e Estatística da USP