Valdemar Setzer – avaliações da aula sobre espirais e a razão áurea

A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI,
A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS,
SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA E APLICAÇÕES

Uma palestra do projeto Embaixadores da Matemática do Instituto de Matemática e Estatística (IME) da USP

AVALIAÇÕES DE PARTICIPANTES

Valdemar W. Setzer
Departamento de Ciência da Computação, IME-USP
www.ime.usp.br/~vwsetzer – esta versão: 10/11/19

Nesta página encontram-se, em ordem cronológica reversa a partir de 5/2015, todas transcrições literais (isto é, sic, inclusive com erros ortográficos e de redação no caso de alunos; as partes ilegíveis são anotadas com [?]) de avaliações de participantes desta palestra, conforme escreveram no One-minute paper: [1] Coisa mais importante aprendida; [2] Maior dúvida que ficou; [3] Comentários. Se foi possível distinguir a avaliação de um professor, ela é precedida de [Prof.]. Os originais estão à disposição para exame. Note-se que nem todos os participantes entregam as avaliações. As aulas dadas dentro do projeto Embaixadores da Matemática estão assinaladas com {EM}. Nas últimas avaliações, estão sendo dadas respostas a algumas dúvidas e comentários, marcadas com RESP.

Ver a descrição da palestra, a apresentação com as ilustrações usada na palestra e a apresentação com o roteiro detalhado.

37. 9/11/19, para professores e alunos de licenciatura em matemática, e interessados, no Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (CAEM), do Instituto de Matemática e Estatística (IME) da USP, Cidade Universitária, São Paulo; info: caem.arrob ime.usp.br {EM}

[1] Aprendi a admirar a natureza e a matemática. Incrível como o professor irradia energia e alegria ao expor o assunto. Aprendi que a natureza foi construída de acordo com um modelo externo e visualizamos na aula. Adorei as dicas de sala de aula, como estimular o aluno a gostar do belo, caderno de notas e matemática. [2] Preciso estudar mais as deduções das fórmulas. [3] Adorei a aula! Incrível como o professor passa amor e desperta o interesse e curiosidade de estimular os alunos ao pensamento e visualização do belo. Como ensinar a matemática estimulando a beleza e arte! RESP.: A dedução do ф e extremamente simples, usa apenas as raízes da equação do 2º grau.
[1] A importância da relação áurea na natureza, os modelos das curvas logarítmicas, curva de Fibonacci etc. O que mais me agradou, além das importâncias citadas acima é a curiosidade de tal estudo, a vontade de descobrir os padrões e a preocupação com a perfeição dos cálculos. [2] Dúvida não; mas, sim, precisarei treinar mais sobre as deduções. [3] Adorei a oficina, foi cativante e intrigante, além disso, o professor foi motivador e principalmente paciente com os alunos.
[1] O pensar matemático mas usando também o sentimento e arte pois fixa mais profundamente em mim. [2] Dúvidas não. [3] Achei fascinante a capacidade do professor em "trabalhar" o inesperado e as participações dos participantes. Isso aumenta a autoconfiança da pessoa. RESP.: Acho que não é só uma questão de memorizar, mas de entrar profundamente na pessoa, que não é só pensamento abstrato, intelectual.
[1] Pedir aos alunos (meus) que "ERREM!" Ligar a matemática às artes no ensino. Apresentação em ppt para ilustrações, não para demonstrações. Razão áurea (No. ф) e ligá-lo ao número Pi. [3] Parabéns pela clareza das informações. RESP.: Não ter medo de errar é fundamental para a pessoa criar, pois se fica presa apenas a perguntas e respostas corretas, ela prejudica seu pensamento intuitivo e portanto sua fantasia e, como consequência, sua criatividade. Mas depois de ter um pensamento intuitivo, não analítico, é necessário usar o último para verificar que a intuição foi correta. Para desenvolver a intuição, é preciso praticá-la! Uma cosita más: Ao verificar conscientemente a intuição, deve-se usar os sentimentos para verificar se a ideia está de acordo com a própria consciência do que é bom (moral) e belo. O pensar analítico é essencial para a verificação interior de a ideia ser verdadeira.
[1] Além do conteúdo em si (pois foi a palestra mais completa e interessante que já vi), a forma que foi passado o conteúdo torna isso algo praticável na sala de aula. [2] Gostaria de mais informações históricas. [3] O professor, além de dar aula sobre o conteúdo, ele dá aula sobre dar aula, é impressionante o talento. RESP.: Estude a biografia das pessoas envolvidas. Ao usá-las nas aulas, você introduzirá algo de real, que de fato aconteceu. Além disso, na idade do ensino médio os jovens interessam-se particularmente por biografias, pois estão cientes de que logo irão enfrentar o mundo por conta própria, e é interessante saber como outros o fizeram.
[1] Aprendi, reforcei, que o olhar matemático deve ser incentivado em nossos alunos, pois o prazer pela ciência e pelos números pode começar pelo olhar. [2] Não fiquei com dúvidas durante a aula. [3] Foi um prazer compartilhar de sua paixão pelo assunto. RESP.: O "olhar" está ligado com a percepção, feita com nossos sentidos sensoriais. Ela deve ser completada com os sentimentos e os pensamentos.
[1] Aprendemos hoje que a sequência de Fibonacci é muito mais complexa e completa do que vimos em uma aula durante o curso. [2] Preciso refazer a demonstração do ф, mas acredito que foi a parte mais complexa. [3] Adorei o curso e acredito que, assim como eu, muitos outros alunos e professores sejam beneficiados com tanta informação e conhecimento.
[1] Aprofundei meus conhecimentos sobre a sequência de Fibonacci, a história de Leonardo de Pisa, o problema dos coelhos, proporção áurea aplicada sobre a natureza, ampliou o meu horizonte sobre a aplicação da matemática na natureza. [2] Não. [3] Foi uma palestra essencial para pesquisa do meu TCC. Obrigada! RESP.: Desenhei uma nova figura da multiplicação dos coelhos. Olhe a apresentação em ppt, agora acho que ela está bem mais clara ... e bonitinha!
[1] As diversas formas de achar a razão áurea na natureza, e a própria razão de ser chamada áurea. [2] Não sinto que estou com alguma dúvida. [3] Participei da oficina por estar fazendo um trabalho sobre esse mesmo assunto, e sinto que não vou precisar pesquisar muito mais sobre o assunto, já que o professor explicou profundamente tudo o que eu preciso.

36. 23/8/19, 2ª parte (a partir de aplicações da razão áurea) para alunos da disciplina MAC0317- Introdução ao Processamento de Sinais Digitais, do Bacharelado em Ciência da Computação do IME; info: prof. Marcel Parolin Jackowski mj_sem_nada_ack arrob ime.usp.br {EM}

[1] A constância da espiral logarítmica, a experiência com a folha para entender como o avião pode voar. [2] Por que eu só estou ouvindo essas explicações na faculdade? [3] Ótima aula Obrigado. RESP.: Sim, você deveria ter ouvido tudo o que expus no ensino médio.
[1] Aprendi a prestar atenção nas ocorrências da proporção áurea em coisas tão naturais e cotidianas. [2] Talvez o porque de isso ser tão presente. [3] Eu pessoalmente gosto de assistir este modelo de aula/palestra, então gostaria de parabenizar pelo conteúdo e pela apresentação. RESP.: Mil desculpas. Quando chamei o Ravi (acho que foi ele) para mostrar a razão áurea no rosto dele, fiz um erro (eta velhice!). Com meu aparelhinho, devia ter colocado a distância da parte inferior do queixo até a parte superior das sobrancelhas e não até a parte superior da cabeça, e depois do queixo até a ponta do nariz. Experimentem em vocês medindo com uma régua ou trena.
[1] Simetria e matemática na natureza, dicas para dar aulas. [2] Será que tem mais dicas para ensinar? Cheguei a observar o final de seu livro, mas tem mais ainda? [3] Interessante, sempre quis me expressar, mas aprendi a ser muito "de exatas" as pessoas não me entendem direito quando tento ensinar elas. Obrigado! RESP.: Sim, tenho mais várias dicas; por exemplo, jamais se deve dar um assunto da mesma maneira em duas classes diferentes. Cada classe tem um espírito distinto; isso é especialmente válido para os ensinos fundamental e médio. Outra dica é levar em conta a maturidade e o conhecimento dos alunos, o que fiz com vocês.
[1] Devo ser mais curioso. [2] Curvas/espirais áureas e a razão áurea tem implicações na engenharia ou ocorrem por razões "estéticas" e naturais? [3] A aula vai até 15h40, professor. O senhor passou do tempo nas duas semanas, complica para os alunos que tem outras aulas/compromissos depois da aula. RESP.: A razão áurea é usada na arquitetura, desde a grande pirâmide de Queops (aguarde meu livro, está lá), no prédio da ONU (idem) etc. Mas isso não ocorre por razões estruturais. No caso da pirâmide, não era uma questão simplesmente estética. Os antigos egípcios (e todos os povos da época e anteriores) tinham percepções bem diferentes das nossas. Por exemplo, tenho um quadro com uma foto de uma estátua dourada da Selquet em pé, achada no túmulo do Tutenkhámon. O rosto, com o escorpião em cima, é perfeito. Mas os braços e mãos são excessivamente longos, certamente um símbolo para algo muito profundo. Ela olha para o lado, como quase todas as figuras egípcias antigas - o coração e o tórax, o sistema rítmico, eram muito mais importantes do que a cabeça, o sistema neuro-sensorial! Veja uma foto da estátua em
www.museumofmythology.com/Egypt/Selket/selket/selket-1.jpg
Quanto ao horário da aula, mil desculpas! Não fui avisado de que devia terminar às 15h40, e não sei por que achei que era às 16h00. Eu teria corrido mais se soubesse do problema.
[1] Posso observar os padrões estudados na natureza. Isto é, fora de livros/teoria. [2] Acredito que não ficou nada pendente. RESP.: Sim, treine observar
[1] Aprendi que as proporções estão presentes na natureza. [2] Será que há algum motivo para a existência dessas proporções na natureza? [3] Gostei da apresentação. RESP.: Há muito mais presentes na natureza, mas não tive tempo de mostrar. Eu acho que a razão áurea tem algo de muito profundo a ver com a constituição humana, e daí foi irradiado para a natureza. Veja "filotaxia" (phyllotaxis) na internet, e no meu livro quando for publicado.
[1] A importância de apresentar a relação da matemática com a natureza e da contextualização da teoria a ser desenvolvida em aula. [2] Uma explicação lógica para a aparição constante da razão áurea na natureza. [3] Acho muito interessante essa abordagem, para nós do ensino superior, parece muito exaustivo sua contextualização tão extensa para coisas relativamente simples. Para crianças e adolescentes parece ideal. RESP.: Quando se relaciona alguma matéria de estudo com a realidade, ela torna-se interessante. Se você se refere à contextualização nas imagens que projetei, note que isso tomou muito pouco tempo. Quanto a crianças, deve-se desde cedo chamar a atenção para a beleza presente na natureza, nas pedras, plantas e animais, para despertar admiração, respeito e veneração para com ela. Para algo bem atual, se houvesse veneração e respeito, não haveria queimadas, que são até anticientíficas, pois produzem acidez do solo, fora deixarem-no a descoberto, e em região com muitas chuvas como a Amazônia, a parte rica do solo é lavada e no futuro teremos um deserto. Quanto a adolescentes, veja nesta página os one-minute papers de palestras que dei para alunos de ensino médio. No colégio Porto Seguro de Valinhos, aconteceu algo inusitado, que eu jamais esperaria em adolescentes: eles me aplaudiram de pé. Aliás, fiquei sensibilizado com o aplauso de vocês, obrigado!
[1] Razão Áurea tem algo muito especial tal que aparece frequentemente na natureza. [2] Será que Fibonacci e razão Áurea instigam interesse entre os jovens do ensino médio? [3] Palestra muito interessante. O único problema são as conversas aleatórias dos alunos que estão presentes somente pela lista de presença. RESP.: Sim, em geral os alunos de ensino médio gostam muito desses conceitos, veja a resposta da avaliação anterior.
[1] Aprendi sobre a espiral logarítmica. [2] Nenhuma, eu acho. [3] Foi bem interessante.
[1] Que a espiral está em vários lugares da natureza, principalmente em humanos. [2] Por que esse fenômeno acontece? [3] Muito boa a aula, gostei principalmente dos objetos trazidos. RESP.: Vou dar uma resposta que exigiria muita explicação prévia para ser entendida: no princípio era o modelo do ser humano... Note como você pode derivar a forma de um animal exagerando certas formas humanas. Mas se um marciano baixasse por aqui e visse só animais, ele jamais poderia inferir a forma humana. Por exemplo, nenhum animal tem a coluna em duplo S, o que permite a posição ereta. Nenhum animal tem um aparelho fonador como o nosso. Nenhum animal, pelo menos os superiores, têm pele desnuda: têm couro, pelo, penas ou escamas. Aliás, não há explicação evolucionista neodarwinista para o aparecimento dessas duas últimas características (aparelho fonador e pele desnuda)..
[1] As propriedades da razão áurea e sua aplicação na natureza. [2] Por que esse conceito está tão presente na natureza. [3] A interatividade com a turma e a apresentação de objetos físicos ajuda na exposição do conceito. RESP.: Por que as constantes físicas são como são? Um pequeno desvio nelas e os átomos não estariam aqui, muito menos nós. Acho que a razão de ser do universo é o ser humano... (Mas para se compreender isso é necessário pensar de maneira bem diferente do usual.)
[1] Como a razão áurea aparece na natureza a no corpo humano. [2] Nenhuma. [3] Obrigado!

35. 15/8/19, 1ª parte (até a razão áurea) para alunos da disciplina MAC0317- Introdução ao Processamento de Sinais Digitais, do Bacharelado em Ciência da Computação do IME; info: prof. Marcel Parolin Jackowski mj_sem_nada_ack arrob ime.usp.br {EM}

[1] Que devemos procurar saber mais dos tópicos que temos em aula, procurando complementar o conteúdo aprendido. Aprendi diversos conceitos de Fibonacci que não conhecia. [2] Quanto mais podemos extrair da sequência de Fibonacci. [3] A palestra foi ao mesmo tempo instrutiva e me permitiu ampliar a minha visão sobre o curso. RESP.: Aparentemente, o número de propriedades advindas da sequência e da regra de Fibonacci é ilimitado – por isso existe a revista científica Fibonacci Quarterly.
[1] A prova da convergência para ф. [2] Por que há tantas propriedades envolvendo a sequência de Fibonacci? [3] A palestra me fez admirar ainda mais a Matemática. Adorei a prova da convergência do ф. RESP.: Existem tantas propriedades dela por que ela é maravilhosa!
[1] Conheci aspectos diferentes da série de Fibonacci. [2] Talvez o porque de acontecer a convergência. Achei bastante interessante. [3] Abordagem fascinante. RESP.: Não tive tempo de provar a convergência. Provamos que o limite dela é o ф, e que nunca é atingido pois é um número irracional. Para a prova da convergência, veja meu futuro livro A matemática pode ser interessante ... e linda! já entregue à Ed. da USP, aguardando aprovação.
[1] Com certeza, das todas as coisas apresentadas, foi a apreciar a beleza no que estou escrevendo. As provas matemáticas sempre poderei encontrar com mais pesquisas, mas à pensar diferente á algo mais raro. [2] A história sobre perspectiva mencionada. [3] Gostaria de ver mais conteúdos assim nas aulas. Muito obrigado. RESP.: Se der tempo, vou contar a história da demonstração pública da perspectiva, feita no começo do séc. XV por Brunelleschi.
[1] De mais importante aprendi que para quaisquer dois números iniciais, usando fibonacci, conseguimos a razão áurea. [2] A dúvida que ficou foi qual a relação da sequência com a estética? [3] Muito boa as demonstrações e a interação com a sala. RESP.: Vamos ver a relação da sequência e da razão áurea com a estética na próxima aula, em exemplos da natureza.
[1] Fibonacci e a razão áurea. [2] No final converge? Não entendi direito a demo. Como ensinaria a equação do 2º grau? [3] Bacana a aula, diferenciada com ralação a outros professores. RESP.: A razão de cada dois termos consecutivos da sequência de Fibonacci converge para a razão áurea, mas nunca a atinge pois ela é um número irracional, como demonstrei na aula. Não demonstrei formalmente a convergência. Eu ensinaria a equação do 2o grau fazendo inicialmente os alunos desenharem parábolas como o lugar geométrico dos pontos equidistantede uma reta e de um ponto (o foco). Depois, desenharem a partir da função y=ax²-b etc.
[1] A relevância da sequência de Fibonacci no mundo. [2] Como a razão áurea está presente na natureza. [3] A interatividade com os alunos na aprendizagem. RESP.: Na próxima aula vamos ver como a razão áurea está presente no ser humano e na natureza em muitos exemplos,
[1] Aprendi que existe mais de um tipo de espiral; a vida de Fibonacci; a razão áurea. [2] Não ficou nenhuma dúvida. [3] Achei a palestra muito boa a didática, adorei. RESP.: É uma pena que os alunos da licenciatura não tenham chance de assistir essa aula.
[1] Acho que aprendi porque a imagem do Fibonacci não é dele de verdade. [2] Saber mais sobre a pessoa Fibonacci (pois foi mencionado muitas vezes). RESP.: Não se sabe muita coisa sobre a vida do Fibonacci.
[1] Existe uma série convergente alternante na razão entre números consecutivos da série de Fibonacci. [2] Por que, realmente, o filho de Bonacci criou a sequência? RESP.: Boa pergunta. Nunca encontrei uma explicação para isso. Acho que ele simplesmente quis dar um exemplo do uso dos números indo-arábicos, e talvez usou um dos exemplos do livro em árabe Al-jabr, (de onde vem a palavra álgebra) escrito mais ou menos em 820 pelo matemático e astrônomo al-Khvarismi (kh como o j em espanhol, o c em alemão ou o x em russo; desse nome vêm as palavras algarismo e algoritmo). A sequência era conhecida por matemáticos hindus desde o séc. VI.
[1] Devemos sair dos moldes tradicionais sobre como aprender. [2] Onde vemos na natureza aplicações de ф. [3] Muito interessante a ideia de desenhar durante a aula. RESP.: Aplicações na próxima aula, várias delas.
[1] Aprendi quem era Fibonacci. [2] Nenhuma dúvida (acho?). [3] Gostei bastante de como a Matemática foi abordada de forma mais intuitiva e menos formal.
[1] Deixar de lado o preconceito e observar o que o fenômeno conta para nós. [2] Qual é a aplicação prática? [3] Os convites podem aumentar se compartilhados em redes sociais. RESP.: Veremos várias aplicações práticas na próxima aula. Quanto às redes sociais, não estou registrado em nenhuma. Você não quer ajudar o projeto Embaixadores da Matemática divulgando-o nas redes nas quais você faz parte? Chame a atenção para as avaliações que tenho recebido em minhas palestras.
[1] Acredito que o que mais aprendi de importante foi questionar alguns princípios que esquecemos quando nos especializamos em um curso de graduação: o mundo não é só matemática! [2] Qual a relação entre a regra de Fibonacci e a razão áurea? [3] Gostei da dinâmica da aula e da interdisciplinaridade. RESP.: Eu mostrei que em qualquer sequência que usa a regra de Fibonacci (cada elemento é a soma dos dois anteriores) a razão de dois elementos consecutivos tem como limite a razão áurea.
[1] Curiosidade, errar. [3] Mostrar fenômenos naturais onde a seq. de Fibonacci aparece. RESP.: Virão na próxima aula.
[1] Que a razão de convergência não depende dos dois números iniciais, somente da regra. [2] Porquê isso acontece. [3] A introdução é um pouco longa. RESP.: A dedução do limite dependeu exclusivamente da regra de Fibonacchi, a, b, a+b e não dos número iniciais.
[1] A pensar de modo menos engessado. [2] Como perder o medo de errar? RESP.: Sim, o ensino tradicional tende a petrificar o pensamento. Uma das maneiras de flexibilizar o pensamento é fazer atividades artísticas, especialmente pintura a modelagem. Outra é estudar línguas estrangeiras não latinas, que têm estruturas bem diferentes. Para perder o medo de errar, erre! Não tenha medo de chutar usando um pensamento intuitivo. Depois, verifique se está correto ou não. Lembre-me de falar como se desenvolve um pensamento intuitivo.
[1] O que aprendi de mais importante, e mais interessante também, foi que posso escolher quaisquer dois números e aplicar a "regra de formação" da sequência que usei a razão entre dois termos consecutivos convergir para a razão áurea. [3] Achei inspiradoras as falas sobre a intuição e a importância de tentar ir além do que é ensinado... RESP.: Sim, se vocês ficarem apenas no que é ensinado terão, como e disse, sido deformados, e não formados. Por exemplo, como profissional, não adianta nada ser um excelente técnico se a pessoa não conseguir relacionar-se socialmente, isto é, tiver uma inteligência interpessoal, o que Daniel Goleman denominou de Inteligência Emocional, título de seu famoso livro, que deveria ser lido por todos.

34. 22/5/19, para alunos da licenciatura em matemática doo IFSP (Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia) de Guarulhos, SP; info: prof. Vitor Souza, semat.ifspgru_atarr.ob gmail {EM}

[1] Que a matemática é mais bonita do que foi ensinada na escola. [2] Quais as utilidades, não comentadas, a razão áurea tem além da estética? [3] A aula foi muito boa! O bom humor do professor é inspirador. Gostaria de ficar o resto do dia te ouvindo! O senhor me lembra muito o Luiz Piazzi (kkkk). Muito inteligente com uma Didatica fascinante. RESP.: A matemática é, provavelmente, o maior problema dos alunos do ensino básico, talvez maior do que o português. Isso é devido à maneira como ela é ensinada, muito abstrata e sem entusiasmar os alunos, como vocês revelaram nas suas avaliações. Quanto ao saudosíssimo Pierluigi Piazzi, ele foi um fantástico professor; as recomendações de seu livro são ótimas (por exemplo, dormir bastante e não estudar antes da prova, e sim durante todo o período de ensino). Mas não estou de acordo com as justificativas que ele dá, pois usa o cérebro, no entanto não se sabe como o cérebro funciona. O cérebro certamente participa dos processos mentais, mas não se pode cientificamente afirmar que os gera. Sobre o Pier, ver, por exemplo,
https://youtu.be/cth42JOwdpo
Notem como eu também ponho uma parte da culpa nos métodos de ensino; em minha opinião, um dos erros principais é que ele é excessivamente abstrato, dirigido principalmente para o intelecto formal. Principalmente por isso o ensino é tão destestado pelos alunos, especialmente no ensino básico.
[1] A razão áurea em grande parte da natureza por meio de espirais e suas relações com a matemática. [2] Como Fibonacci descobriu essa sequência? (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) [3] A palestra foi muito boa, gostei bastante da parte cultural artística, das informações adicionais, o que fez com que a palestra não fosse cansativa por mais que o tempo seja grande (comparado às outras palestras). Eu ficaria ainda mais tempo nessa palestra. Parabéns. RESP.: Como eu citei na aula, a sequência já era conhecida muito antes, no Oriente. Mas talvez ele tenha inventado o exemplo dos coelhos. Foi um grande matemático!
[1] Adquiri uma curiosidade a mais para estudar sobre a construção da natureza, que talvez utilizarei em projetos futuros. [2] Como ele chegou a esse entendimento e compreensão do mundo, será que sera possível chegar a este nível de reflexão e descobrir coisas novas sobre o mundo, será que há algo quântico ou em outra dimensão que influência tal comportamento? [3] Palestra muito importante e interessante. RESP.: Se com o 'ele' você se refere a mim, acho que a base é muita leitura (não paro de ler, em qualquer lugar, em filas de banco, no metrô etc.) e o uso de uma visão especial de mundo que descobri aos 21 anos e que tem norteado minha maneira de encarar as pessoas, a vida e as coisas. A física quântica é, como toda a física teórica, um modelo que exprime aproximadamente resultados de experimentos, medidos por aparehos; é importante saber que ela é incompreensível. Quanto à dimensão, se imaginarmos um mundo de 2 dimensões, somente com imagens, ele não terá nada de físico, pois não haverá volume; note que os sonhos são sempre imagéticos.
[1] Além das relações apresentadas pela própria proposta da palestra, com suas ocorrências na natureza, todos os comentários relacionados com a forma de trabalhar em sala de aula e as informações sobre história, em especial história da arte. [2] Me pergunto se, além da música, outras expressões artísticas, como teatro e cinema, se baseiam nessas proporções (tempo de duração de cada ato ou cena, disposição do cenário, da tela e posição em relação à câmera). [3] A palestra é muito empolgante, me interesso muito sobre o assunto. Parabéns e obrigado! RESP.: Sim, pelo menos na música houve compositores que usaram a sequência de Fibonacci ou a razão áurea, por exemplo no número de compassos dos temas ou movimentos. Mas o ouvinte não percebe isso. A razão áurea foi bastante usada na arquitetura.
[1] Entender e aprender como que ocorre a sequência de Fibonacci e a razão áurea. Além disso, levarei os aprendizados e dicas de como agir em sala de aula, e também sobre a importância da cultura e do conhecimento. [2] Não ficou nenhuma dúvida, somente a dificuldade de fazer o desenho a mão livre. [3] Queria poder demonstrar minha eterna gratidão por ter separado um tempo para poder vir no IF e trazer seu conhecimento para nós. Com toda a certeza, levarei muitas coisas que aprendi para dentro e fora da sala de aula. Obrigada por ter somado tanto em minha vida. RESP.: Treine desenhar a mão livre; por exemplo, pegue uma foto de um jornal e experimente copiá-la com um lápis mole (2B, por exemplo). Repetindo isso, você vai adquirir a capacidade de desenhar.
[1] A regra de Fibonacci, aplicada a qualquer sequência iniciada por dois números quaisquer, faz com que encontremos algo próximo à razão áurea. [2] Quanto da razão áurea foi perdido com as construções utilitaristas mais modernas, com o passar dos anos? [3] A Palestra é muito rica em cultura e informação ao mesmo tempo que é descontraída e intrigante. RESP.: A razão áurea foi largamente usada pelo famoso arquiteto Le Corbuisier, por exemplo no prédio da One em New York. Isso está em meu futuro livro. RESP.: Infelizmente, a humanidade perdeu a noção da importância do transcendente e da arte como sua manifestação, e se preocupa quase que só com o utilitarismo. Empobreceu!
[1] Que a estética nas aulas de Matemática pode facilitar o aprendizado dos alunos. [2] Além de Geometria, sequências e números irracionais, quais outros conteúdos de Matemática podem ser explorados ao abordarmos razão áurea e a Sequência de Fibonacci? [3] A oficina de hoje foi muito rica. O senso de humor do professor tornou o conteúdo mais agradável. Obrigada pelos ensinamentos sobre a postura do docente. RESP.: A estética não só facilita, mas principalmente atrai e envolve os sentimentos; fazendo desenhos, o aluno também ativa sua vontade. Da tríade pensar-sentir-querer, é um absurdo o ensino concentrar-se apenas no pensar abstrato e formal. Em todas as matérias - como se aprende aqui no Brasil o que é uma ilha? Por meio de uma definição que trata de uma ilha morta: "Ilha é um pedaço de terra cercado de água por todos os lados" não envolve o mar, as ondas, as praias, as plantas, os bichos etc. E o pior é que a definição está errada: não há água nem do lado de baixo nem do de cima. No ensino básico, TUDO deveria ser caracterizado, e não definido. Caracterizações podem ser enriquecidas; definições matam o que está sendo definido, e são, como o nome diz, definitivas.
[1] O mais importante que aprendi, foi observar melhor, tudo ao meu redor, e ver como a natureza é maravilhosa e como a matemática é parte fundamental da criação humana. [2] Será que ainda existem estudos matemáticos tão importantes quanto a sequência de Fibonacci? [3] Boa dinâmica de palestra, além de interativa, usando a natureza e com contextutalização histórica. RESP.: Claro, dou palestras sobre outros assuntos importantes, e a matemática está sendo permanentemente estendida pelos pesquisadores - por exemplo, sempre aparecem novas propriedades da sequência de Fibonacci, por isso existe a revista científica "Fibonacci Quarterly": https://fq.math.ca/
[1] Sobre a convergência alternada da sequência das razões dos termos da série de Fibonacci. No momento estou estudando sequências e séries. [2] Se os irracionais contém "todos os números de telefone" o "Pi" contém o "Pi"? Um irracional em base 10 se mantém irracional em outras bases? RESP: Excelente primeira pergunta! Não estudei o problema; parece-me que não. Qualquer número irracional contém qualquer número natural finito. Sem pensar muito, creio que o Pi poderia conter o Pi, pois um infinito pode estar dentro de outro infinito. Quanto à segunda, acho que sim.
[1] A respeito de Fibonacci, as espirais "de Fibonacci e áurea", sequência de Fibonacci, entre outras coisas. [2] A respeito de expressões matemáticas com relação a ф. A relação da espiral de fibonacci e o crescimento das árvores. RESP.: A espiral de Fibonacci e as quase áureas (formadas partindo-se de um retângulo ou triângulo áureos) são aproximações da espiral áurea, que é um caso particular das espirais logarítmicas. Por outro lado, tomando-se uma espiral logarítmica qualquer, tomando-se um período adequado tem-se uma espiral áurea.
[1] Sobre a razão logarítmica de razão 2, que pode ser observada em diversos objetos e seres. [2] Como explicar para crianças e adolescentes os assuntos aqui aprendidos. [3] Faltou mais tempo pois o assunto é interessante. RESP.: São aproximações das espirais logarítmicas que ocorrem na natureza. A razão 2 com período de 180° foi usada na aula somente como um exemplo de espiral logarítmica simples de ser desenhada. Infelizmente o tempo era pré-determinado.
[1] O aprendizado mais importante foi conhecer a história e a matemática por trás do nome "Fibonacci". A sua origem, quem foi fibonacci, a sequência, espiral e suas aplicações na natureza. [2] A razão áurea pode ser encontrada em todos os campos da matemática? [3] Palestra sensacional! Não tenho comentários negativos, somente elogios. Pois a didática foi ótima. A prática, as construções foram excelentes, e o tema muito interessante. RESP.: Não. Uma progressão aritmética, por exemplo, não tem nada a ver com a razão áurea – a não ser que a diferença entre dois termos consecutivos seja igual àquela razão.
[1] Ver a matemática na natureza, relacionar sua beleza e cor com números e sequencia. Um redirecionamento da visão. [2] Gostaria de receber mais materiais sobre este assunto. [3] Foi muito produtivo para mim, porque nunc havia visto tais relações, palestra dinâmica, fala simples, objetiva e de facil assimilação. RESP.: Procure na Internet, há muito material. OU espere o meu livro sair...
[1] Aprendi a importância da cultura, Latim, da leitura, para o professor de Matemática. E a procura da estetica e beleza, até artística para a produção da ciência. [2] A demonstração da razão áurea e a ponte entre Fibonacci. [3] Existe a possibilidade, através do retorno as questões espirituais e fazer do Materialismo Moderno, uma relação entre a Razão Aurea vista na Natureza e um ser divino e/ou um Criador Universal? (Além do que é proposto pelo Cristianismo?) Obrigado professor V.W.Setzer. RESP.: Esqueci de dizer que ao aprender latim, a pessoa exercita um pensamento lógico sobre uma linguagem natural. Sobre a relação da sequência de Fibonacci e a razão áurea, carregue a apresentação da palestra em seu computador e leia as telas com cuidado.
[1] A sequência de Fibonacci e a Razão Áurea são temas conhecidos, mas sem profundidade sendo assim a palestra assistida hoje foi fundamental trazendo notas históricas deduções matemáticas e a visualizações de padrões naturais onde essas dupla matematico está presente. [2] O natural é determinístico ou caótico. Será que encontraremos um modelo filosofico universal para a matemática? [3] Obrigado!!! RESP.:A natureza não atua sozinha; se assim o fosse ela seria muito caótica; no entanto, reconhece-se nela muita ordem, por exemplo os seres vivos que seguem aproximadamente relações matemáticas e simetrias, como mostrei na palestra. Em minha concepção, essa ordem não provém da natureza física; algo transcendental controla, por exemplo, o crescimento e regeneração dos tecidos dos seres vivos; daí as simetrias, por exemplo das nossas orelhas (que não param de crescer) e das mãos. No entanto, esse controle é feito sobre algo intrinsecamente caótico, pois se ele fosse determinado não haveria possibilidade de haver alguma influência trazendo ordem.
[1] que a matemática está presente em todas as esferas da nossa vida, apenas não a enxergamos nos detalhes que passam despercebidos e não são questionados. [2] Não é bem uma dúvida, mas um questionamento de como o mundo pode ser tão "matematicamente perfeito", ter tudo tão interligado e como isso pode ser possível. [3] Excelente palestra com uma cativante contextualização do assunto com a vida prática. RESP.: Em minha concepção de mundo, essa perfeição só pode advir da influência de algo que transcende a natureza física. Mas, atenção: eu não chamo isso de "Deus", pois essa entidade tornou-se mera abstração. Acho que cada espécie de planta e de animal segue um "modelo" próprio da espécie; cada ser humano tem seu próprio modelo, daí a individualidade. Esses modelos são da natureza de nosso pensamento, por isso podemos captá-lo com o pensamento.
[1] De fato, Fibonacci descobriu uma sequência que rege a natureza em grande parte, é maravilhoso ver a forma com que os padrões se repetem e, principalmente como foram reconhecíveis esses padrões matematicamente. [2] As duvidas que ficam são, em sua maioria, questões filosóficas principalmente acerca das forças que regem o universo, o questionamento se existe uma força maior, se a matemática, perfeita, no mundo das ideias é trazida para a realidade ou é o caminho contrário. [3] Sou ateu mas procuro sempre pensar sobre essas questões, não vejo muito sentido na vida, vivo para ver no que vai dar. Obrigado pela reflexão, Professor! RESP.: Em minha concepção de mundo, a origem do mundo físico está no mundo platônico das ideias. Podemos fazer acesso a ele com nosso pensamento; por isso podemos reconhecer ordem na natureza. Em minha opinião "ateu" não é uma boa denominação, pois essa palavra significa "Quem não acredita em Deus ou deuses." Só que um ateu não consegue dizer afinal no que ele não acredita, pois não pode caracterizar o que ele entende por Deus ou deuses. Acho que a denominação correta é "materialista" ou "fisicalista", a pessoa que admite, idealmente por hipótese de trabalho, que só existem matéria, energia e processos físicos no universo. De fato, para um materialista a vida não pode ter um sentido, pois da matéria não pode advir sentido, ela simplesmente existe.
[1] Nessa palestra, aprendi como a sequência de fibonacci pode apresentar a razão áurea e suas relações cotidianas e históricas. [2] Acredito que a palestra foi muito bem apresentada, mas alguns tópicos foram deixados de lado e não foram apresentados, mas a culpa não deve-se ao senhor, mas sim ao tempo da palestra. Tópicos que eu lembro: avião - na verdade eu nem sei se você ia explicar, dado pelo seu livro que seu funcionamento era complexo e se faria relação com a palestra. Árvore - relação de fibonacci com o desenvolvimento da árvore, dado por uma questão levantada por um dos espectadores. [3] Achei a palestra muito interessante, a relação áurea me chamou muito a atenção, visto que é um fenômeno realmente sinistro. Desenhar a espiral foi bem frustrante mas no final acabou dando tudo certo (mais ou menos). RESP.: É muito fácil compreender de onde vem a sustentação de um avião em voo. É uma pena que ninguém teve a curiosidade de perguntar no fim da palestra, eu teria explicado. Aguarde meu livro, tenho um capítulo só sobre isso. A relação com a palestra é que eu falei do Jakob Bernoulli, e o princípio físico que faz o avião se sustentar no voo é devido ao sobrinho dele, Daniel Bernoulli.
[1] Vamos ter uma nova visão de certos objetos no dia a dia. Aprendemos matemática na prática. métodos para raciocínio lógico, a matemática no dia a dia, com observações fantásticas. [3] Achei muito interessante palestras dinâmicas, ensino com significancia, com essencia e na forma como o senhor nos transmite conhecimento é muito cativante. Parabéns pelo nobre trabalho e pela enorme dedicação em dividir conhecimento. RESP.: Agradeço o incentivo.
[1] Durante toda a palestra, fiquei pensando e tentando esboçar, como trabalhar este assunto na educação básica. Acredito que é possível e válido elaborar um trabalho com os alunos. Então, para mim, o mais importante foi perceber, que não é difícil trabalhar isso na educação básica. [2] Dúvidas não ficaram, pois a palestra foi esclarecedora. O que ficou, foi a curiosidade em estudar mais sobre o assunto, para levar à escola. [3] Fazia um tempo que estava adormecida a vontade de pintar um quadro com uma espiral, para colocar na sala da minha casa, pois acredito que qualquer arte para decorar nosso lar, deve representar alguma coisa para o dono da casa. E hoje, essa vontade voltou.
[1] O mais importante foi a percepção da presença da proporção no dia-a-dia. Entender que o conceito da Sequência de Fibonacci e a proporção áurea não são apenas ideias abstratas e sem aplicação da matemática. [2] Tive dúvida no cálculo para provar o ф, a razão áurea. Como nunca percebi tantas relações entre a matemática e a natureza. [3] A palestra foi de grande importância para a percepção de que a matemática não está por ela mesma, mas associada a diversas áreas como as artes e a biologia. Me fez perceber que a beleza natural se dá pela proporcionalidade. RESP.: E pela simetria. RESP.: Para o cálculo do ф, veja a apresentação em ppt.
[1] Uma melhor maneira de explicar matemática aos alunos através do conhecimento adquiridos pelas "leis" da espiral de Fibonacci e a áurea. [2] Nenhuma dúvida, apenas curiosidade para pesquisar com mais profundidade o assunto abordado na palestra. [3] Conhecer a espiral de Fibonacci foi de grande utilidade para fazer relações da matemática com a natureza.
[1] A relação entre a sequência de Fibonacci com a razão Áurea e a espiral de Fibonacci, como elas trazem a relação do belo e o agradável. Como a matemática sempre existiu. Talvez o ser mais velho da humanidade, relação entre o quadrado de polinômios (Triângulo de Paschoal). [2] Como os filósofos explicam a necessidade da razão Áurea? [3] A citação da necessidade da Filosofia como estudo da matemática é essencial, admirável sua atenção a esse assunto. Palestra que te prende do começo ao fim, despertando curiosidade e futuras pesquisas. RESP.: Não há explicação física satisfatória para a ocorrência da razão áurea na natureza. Procure na Internet por "filotaxia" ou, em inglês (sempre muito mais informação), "phyllotaxis", por exemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Phyllotaxis
[1] Observar os diversos lugares onde as espirais (áurea e de fibonacci) aparecem. Também os lugares que aparece a razão áurea, inclusive o corpo humano. [2] Não sei especificar uma dúvida. [3] A palestra foi bem cativante, tanto do tema quanto do palestrante. O jeito do palestrante se aproxima tanto da gente, torna a palestra quase uma conversa, a tornando mais interessante. RESP.: Veja, no fim da apresentação em ppt, os ingredientes que usei para tornar a palestra interessante; ótimo que você a achou "cativante"...
[1] O que achei mais importante na explicação foi a intrínseca relação da razão áurea com fenômenos biológicos. Isso favorece a curiosidade e um novo olhar para a natureza. [2] Por que existem essas conexões entre a razão áurea e o cotidiano? [3] Gostei muito da palestra, principalmente, por estimular a curiosidade e por envolver um pouco de história. RESP.: em relação às criações humanas seguindo a razão áurea, eu dei minha teoria: um retângulo áureo parece mais agradável pois inconscientemente reconhecemos aproximadamente as mesmas proporções que ocorrem no rosto e no corpo.
[1] Aprendi sobre as sequências do fibonacci, os logaritmos com razão 2, e que natureza à muitas espirais onde se relacionam com a sequencia de fibonacci. Aprendi que tenho que estudar mais... [2] Tive um pouco de dificuldade no inicio, pois cheguei atrasada. [3] Gostei da palestra, me fez perceber que a matemática é muito maior do que eu achava, onde ouve várias interações diferentes apresentadas, o que fez eu querer assistir até o final sem eu me sentir cansada.
[1] O mais importe são as aplicações para a vida e o ensino da matematica. [2] As maiores dúvidas foram com respeito aos calculos. [3] Nada a comentar.
[1] A natureza da matemática é simples, bela e tocável. [2] Porque existe. [3] Excelente palestra. RESP.: A matemática existe pois, em minha concepção, a origem de todas as coisas são pensamentos, e podemos captá-los com nossos próprios pensamentos,
[1] Aprendi que a estética também deve ser utilizada, o que ajuda a desmistificar a matemática. O aluno não é apenas cabeça para calcular. [2] A maior dúvida é se essa palestra incrível pode ser transformada ou dividida para caber em sala de aula. [3] Professor, o comentário que tenho a fazer é: quanta informação valiosa para a formação, desde arte na Renascença até matemática moderna. Acredito que me ajudou a olhar para a aula de outra forma, pensando agora em adicionar história e permitindo que os alunos se desprendam de régua e compasso. RESP.: Sim, o que eu dei para vocês e muito mais poderia ser dado em várias aulas. Eu acho até que DEVE ser dado. Para isso, estendi muitos assuntos no meu novo livro.
[1] O entusiasmo do professor em transmitir suas ideias. [2] Gostaria que fosse abordado correntes matemáticas que questionam essas aproximações das espirais e seq. de Fibonacci na natureza. RESP.: Existem autores que colocam em dúvida a ocorrência da razão áurea no corpo humano e nos animais. No entanto, como falei, as proporções que foram citadas são bastante próximas dessa razão.
[1] Que o número de ouro é obtido pela sequência de Fibonacci. Que existe a sequencia de Fibonacci no triangulo de Paschoal. A importância da história da arte etc. [2] ф é uma letra grega? [3] Palestra maravilhosa. RESP.: Sim, o ф é a letra grega fi. Foi um lapso meu não ter chamado a atenção para isso, desculpem.
[1] As dimensões espirais que estão em todos os lugares. Além da relação entre a matemática e a estética. [2] Algumas expressões matemática com razões áureas. [3] Nada.
[1] A aspiral logarítmica de razão 2. Nunca tinha ouvido falar sobre. Tbm achei interessante a soma das diagonais do triângulo Pascau. [2] Os animais foram mortos para conseguir as "conchas" (não sei o nome ao certo)? RESP.: O que mostrei foram conchas de caramujos; encontrei apenas as conchas, não havia mais os animais dentro.
[1] Reconhecer a sequência de Fibonacci. [2] Nenhuma. [3] Parabéns, tema muito bom, muito bem abordado.
[1] Aprendi sobre a espiral de Fibonacci, espiral logaritmica, formas diferentes de ensinar matemática usando um contexto que abrange objetos que fazem parte da vida do aluno. [2] Nenhuma. [3] Ótima palestra.
[1] Que baseado na lei aurea e sequencia de fibonati é possível calcular e prever eventos naturais. [2] Duvidas relacionadas a demonstração que prova matematicamente a sequencia de fibonacci. [3] Me fez pensar bastante tambem sobre historia e biologia. RESP.: Talvez você queira se referir à razão entre dois elementos consecutivos, que tende à razão áurea. Como mostrei, isso ocorre em qualquer sequência que segue a regra de Fibonacci, isto é, cada elemento é a soma dos dois anteriores. Nesse caso, a sequência tende a ter o que chamei de crescimento proporcional, com razão tendendo à razão áurea.
[1] Matemática, como mais uma vez, foi proposta novamente como parte importante das nossas vidas, inferidas [?] até diretamente em nossa naturez. [2] Algumas dessas espirais é aplicável às digitais encontradas em nossos dedos? [3] Incrível palestra, o assunto utilizou exemplos palpáveis para todos os palestrantes e aplicou-se na apresentação. RESP.: as impressões digitais são espiraladas, mas não acho que seguem uma regra fixa de formação. No banco Itaú pode-se usar a impressão digital como identificação; observe a impressão digital que aparece na tela quando se coloca o dedo no sensor
[1] Uma possibilidade motivacional para o ensino da Matemática. Além disso, partir da construção foi bem dinâmico. [2] Há sugestão de oficinas como a apresentada na palestra em seu livro ou em algum site? [3] Seria legal disponibilizar o material da palestra. RESP.: Você pode ver as imagens que foram projetadas, no endereço ao lado do nome da palestra em minha página de palestras dadas e programadas, www.ime.usp.br/~vwsetzer/pals/pals-cursos.html e também o roteiro detalhado (preciso atualizá-lo, acompanhe a data que aparece nos slides).
[1] A partir da palestra, foi possível aprender que existem diversas coincidências matemáticas entre as coisas do dia a dia, e a sequencia de Fibonacci e a Razão áurea. [2] Qual é a real aplicação dessa sequência? Ou é apenas uma coincidência? [3] O professor é bem comunicativo, faz a palestra parecer leve. Excelente palestrante. RESP.: Não acredito em coincidências; há uma razão para tudo. No entanto, como mostram nossas ações que foram pensadas antes, a razão pode não ser física.
[1] O modo que a espiral logaritmica e a espiral de Fibonacci aparece no cotidiano. [2] Como o avião voa? [3] Os conselhos de como ministrar aulas ao final foram ótimos. RESP.: Pena que você não fez essa pergunta durante a palestra, eu teria explicado. Leia o capítulo com esse nome no meu livro "A matemática pode ser interessante ... e linda!", quando for publicado.
[1] A relação de fibonacci com as proporções em diversas caracteristicas na natureza. A importância de relacionar o ensino da matemática com a estética e uma das relações que nos chama a atenção com as proporcionalidades entre eles. A introdução dos numeros hindu arábicos na historia da Europa, por facilitar as contas no papel. [2] Como introduzir logaritmo na escola. Dá onde saiu ф=(1+-Raiz(5))/2 --> Raiz(5). Como trabalhar o triângulo de Pascal na escola. Quais suas influências para tentar deixar a matemática mais bonita. Demonstração por absurdo sobre os limites áureos que nunca se encontram [desenho das curvas convergindo para 1,618]. RESP.: Para introduzir logaritmos na escola, faça os alunos desenharem espirais logarítmicas, mostre o crescimento proporcional, mostre que elas seguem sequências exponenciais (progressões geométricas), e introduza a equação b^c=a --> logbc=a e mostrar que com isso a operação de multiplicação vira soma de logaritmos, e a exponenciação vira multiplicação por um logaritmo, contando a história de como isso foi importante na astronomia. Apesar de não serem mais usadas, acho importante mostrar tabelas de logaritmos e como funcionam. Quanto ao triângulo de Pascal, coloque as 3 primeiras linhas e faça os alunos deduzirem as próximas. Depois, comece a deduzir as potências de (a+b), sempre multiplicando a anterior por (a+b), mostrando que os coeficientes aparecem no triângulo de Pascal. Talvez fosse o caso de somar as diagonais e mostrar que dá uma sequência com uma regra bem definida de formação (a regra de Fibonacci). Mais tarde, no ensino médio, ao dar combinatória mostrar que os elementos do triângulo de Pascal são combinações.
[1] Sobre a existência de outras espirais, e a sua presença em varias partes, exemplo na natureza, no corpo humano em tudo. [2] O livro se encontra disponível? [3] A palestra é bastante envolvente, em nenhum momento ela deixa de ser interessante. Obrigado Professor Valdemar W. Setzer. RESP.: Já encaminhei o livro à Editora da USP. Leva mais uns 3 meses para dizerem se aprovaram a publicação ou não. Se não aprovarem, já tenho outra interessada.
[1] Eu aprendi a importância da relação matemática com a natureza, além da importância da sequência de fibonacci e a razão áurea. [2] Não consigo pensar em alguma dúvida, porém se surgir alguma pesquisarei a mais. [3] Eu realmente gostei do estilo e metodologia usadas na palestra.
[1] O mais interessante foi relacionar a natureza c/ a razão áurea, mas ainda não se sabe o motivo porque isso ocorre. [2] Em relação à história de Fibonacci, não foi claro como o autor chegou na razão áurea. Também não ficou claro como chegou na equação do 2º grau ф²-ф-1=0. [3] Gostei muito da palestra explicativo só que não consegui captar algumas mensagens por conta do tempo. Citou histórias, fora a empolgação ao apresentar. RESP.: Se por "autor" você se refere ao Fibonacci, ele não fez a relação de sua sequência com a razão áurea. Se "autor" fui eu, veja a apresentação da palestra em meu site, inclusive o roteiro detalhado (preciso atualizá-lo).
[1] Aprendi como a matemática se relaciona com a natureza. [2] Esse conhecimento está sendo aplicado para estudar doenças e outras coisas? As pessoas que não tiverem essas proporções nos rostos podem sofrer preconceito e exclusão? (Ouvi que o exército utiliza esse conhecimento para seleção) RESP.: Conheço um artigo sobre o formação de células da pele que mostra a razão áurea no processo. Sobre doenças, não conheço, se você encontrar, escreva-me (meu endereço de e-mail está no topo de minha home page. Quanto à exclusão, isso depende de o observador dar erradamente importância ao aspecto físico das pessoas, e não à sua essência, que é da mesma natureza em todos, apesar de ser individual. O aspecto físico não importa mais (importava no passado); hoje em dia o que deveria importar é a produção social, artística e intelectual de cada pessoa, nessa ordem. Veja como a humanidade progrediu no sentido de se perceber a essência das pessoas: está se dando muitas possibilidades a deficientes físicos poderem ter uma vida digna e produzir algo, o que não ocorria antes (por exemplo, desde quando existem calçadas rebaixadas ou exigência de elevadores em prédios com mais do que o andar térreo?).
[1] A matematica além dos numeros, de forma visual. Ver a beleza sob numeros, e numeros sob a beleza. Diferentes abstrações (mat e arte) se unindo no numero da beleza, ф. [2] Só as partes de demonstrações, mas são mais especificos. [3] Acredito que a metodologia foi boa, mas na parte sobre o ser humano, acredito que o "homem vitruviano", do da Vinci seja interessante. RESP.: Baixe a apresentação, inclusive a do roteiro, e estude o conteúdo; espero que assim as demonstrações fiquem claras. Ou aguarde meu livro...
[1] Aprendi sobre a proporção áurea e sua "relacao" com a espiral de Fibonacci, como estão presentes na natuza por alguma força ou motivo desconhecido. [2] Como Leonardo Fibonacci "descobriu" a sequência de Fibonacci e sua espiral? A partir de qual observação? E, se nem tudo na natuza segue Fibonacci, qual sua razão ou sequência? [3] Sua palestra foi incrível, no sentido que me abriu a curiosidade para entender sobre Fibonacci!! RESP.: No seu livro de 1202, Fibonacci não revela como "descobriu" a sequência, ou se a aprendeu no Oriente Médio (ela já era conhecida no Oriente); ele a introduziu por meio do problema da multiplicação dos coelhos. Ele não falou de espirais.
[1] A proporção áurea pode ser encontrada no ser-humano e na natureza e como encontrá-la. [2] Qual a diferença e a relação entre Fibonacci, a proporção áurea e a espiral logarítmica. [3] Achei interessante a forma como foi passado o conteúdo, e a motivação para adquirir conhecimento, ler, e aprender sobre algo que eu não sei como funciona. RESP.: Eu abordei suas questões na aula, veja também as apresentações em ppt. A razão áurea á o limite das razões de cada dois termos consecutivos da sequência de Fibonacci (ou de qualquer sequência que usa a regra de Fibonacci na sua formação); a espiral de Fibonacci tende para uma espiral logarítmica de razão ф (~1,6180), pois a razão dos raios dos arcos tendem à razão áurea.
[1] Aprendi como é importante observar o que acontece ao nosso redor, visto que é possível identificar padrões matemáticos na natureza e também em objetos criados. [2] No momento da palestra em que vimos o exemplo dos coelhos e depois o uso do 1 e 0, não ficou muito claro. [3] Muito bom! A palestra foi envolvente do início ao fim. Quando houve a participação dos estudantes nos sentimos a vontade. RESP.: Sobre o uso dos símbolos 0 e 1 em lugar dos coelhos, veja a apresentação em ppt. O importante é que com essa simbolização a fica claro que está se aplicando a regra de Fibonacci. No livro, eu ainda fiz uma prova matemática disso.
[1] A importância da sequência de Fibonacci os livros de sugestões para leitura, numeros romanos e indo-arabicos, sua história a importância de ensinar os romanos primeiros, a história, as atividades de desenho e a introdução de conceitos, observação da natureza e a matemática. [2] As dúvidas são as demonstrações, que irei estuda-las e conhecimentos gerais que é fundamental para todo o professor (eu chego lá). [3] O senhor é maravilhoso, já tive a oportunidade de assistir sua palestra na Jornada do IFFP-cubatão em 2017, e sem dúvida isso vai me transformar em o professor que eu quero ser. RESP.: Em 8/11/17 eu dei no IF-Cubatão a palestra sobre algoritmos. Fale com seus professores para me convidarem para dar a palestra sobre o Fibonacci, as espirais e a razão áurea. Não é preciso esperar um evento como foi a Jornada, acho que vale a pena sacrificar umas aulas e eu dar a palestra durante um dia letivo comum. É só fazerem uma solicitação no projeto Embaixadores da Matemática.

33. 30/10/18, para alunos do ensino médio da Escola Técnica Tancredo Neves, Ubatuba, SP; info: profa. Lúcia Muniz de Souza coordena.tancredo.arro_at gmail.com {EM}

[1] Que muitas coisas do cotidiano seguem leis e proporções matemáticas, além de ter "reaprendido" varias coisas que esqueci ao longo do tempo, mas que são importantes para perceber a beleza e a perfeição que existe ao nosso redor. [2] Não tive nenhuma (que eu saiba) [3] Foi incrível! Sempre fui apaixonada por matemática, agora estou ainda mais.
[1] Que as experiências da natureza se torna fascinante quando vista atraves de conceitos matemáticos. Entender a proporção, a exatidão, a eficiência e a função de cada número que compõe as mais belíssimas construções da humanidade, me ensinou a contemplar a matemática como uma aliada e não como uma inimiga. [2] [Este item todo em maiúsculas] "Por quê não assisti essa palestra antes?" [3] Essa palestra é a responsável por mudar o rumo da minha vida. Transformará o meu olhar amador para analítico. A natureza se torna magnífica quando é entendida. RESP.: Cuidado, reconhecer relações matemáticas na natureza é compreender uma parte muito pequena dela: que a sua forma segue certas regras matemáticas. Isso não explica por que e como essas regras são seguidas. Mas, como salientei na palestra, isso ajuda a aumentar nossa admiração pela sabedoria presente na natureza.
[1] Aprendi que, conforme vamos observando certas coisas percebemos que existem espirais em várias coisas, como animais e plantas. E percebemos que essas espirais possuem um concordância com a razão aurea e a sequência de Fibonacci. [2] Como que a natureza segue um padrão estético excelente e maravilhoso. [3] Existe uma método filosófico que usa algumas lógicas matemáticas para explicar alguns conceitos, eu não me recordo se esse método chega a usar Fibonacci ou razão aurea, mas lembro de usar calculos do matemático Arquimedes. Essa é a "filosofia concreta", de Mario Ferreia. RESP.: Existe uma infinita inteligência incorporada na natureza, o que deveria nos levar a admirá-la, respeitá-la e mesmo venerá-la. Encontrei na Internet um Mário Ferreira dos Santos, que eu não conseguia. Vou tentar conseguir algum livro dele. Parece que ele formulou uma filosofia baseada na matemática. Se assim for, teve um precursos: Benedito (Barukh) Spinoza (1632-77) que em seu livro Ética formula uma filosofia nos moldes do livro Elementos (da Geometria) do Euclides, com axiomas, lemas, proposições, demonstrações etc. Foi uma tentativa de formalizar a filosofia.
[1] A importância da sequência de Fibonacci na natureza. [2] Como faço para ser seu aluno. [3] Muito bom a palestra, aumentou mais minha vontade de aprender mais sobre essa área. RESP.: Como estou aposentado, não dou mais aulas regularmente em meu departamento na USP, depende de os alunos me convidarem.
[1] A representação gráfica da sequência de Fibonacci. [2] Se essa sequência é o princípio dos fractais. Não é uma dúvida, mas sim uma curiosidade. [3] Palestra adorável. RESP.: Não, a sequência de Fibonacci não foi a inspiração para os fractais, mas há algo em comum: a razão de dois elementos consecutivos repete-se aproximadamente, tendendo à razão áurea. Mas o segredo dessa propriedade é a regra de Fibonacci (cada elemento é a soma dos dois anteriores), e é válida para qualquer sequência que segue essa regra, como mostrei na palestra.
[1] Que a matemática está em tudo e que eu pretendo seguir nesta área. [2] Acho que nenhuma. [3] Adorei sua palestra e partir de hoje passo a te admirar como pessoa e como professor! Sua palestra me ajudou muito a entender a matéria. RESP.: A matemática não está em tudo. Por exemplo, nossas sensações e sentimentos não são matemáticos. Não se sabe como eles são vivenciados por qualquer pessoa. Mas é interessante descobrir relações matemáticas nas formas dos seres vivos, pois isso ajuda a reconhecer algo de sua essência.
[1] Como as espirais de Fibonacci compõem grande parte das coisas existentes. [2] Como que alguém resolveu pensar nisto. [3] Palestra muito informativa e fácil de entender. RESP.: Em geral, a intuição que leva alguém a ter uma nova ideia é inexplicável ("cai do céu"...). Homero começa a Ilíada e a Odisseia agradecendo a inspiração que teve das musas, divindades femininas, pois o elemento feminino introduz algo novo no mundo. Ele e as pessoas de sua época não reconheciam que geravam seus próprios pensamentos, mas que eles lhes eram instilados por seres divinos, isto é, que não têm corpo físico. A humanidade mudou muito: hoje em dia qualquer pessoa tem a vivência de gerar seus próprios pensamentos, isto é, tornamo-nos autônomos, com possibilidade de termos livre arbítrio (liberdade interior).
[1] Cálculo utilizando ф e para que serve. [2] Para que serve as espirais? [3] A explicação é boa, porém enrolada. RESP.: Um caso particular de espiral em três dimensões é o helicoide, que pode ser um modelo a ser seguido em escadas em caracol. Leonardo da Vinci inventou uma helicoide que era capaz de elevar água. As espirais ajudam a reconhecer certas formas assumidas por alguns seres vivos.
[1] Ao meu ver o mais importante e interessante foram as espirais que fizemos é de fato algo que eu nunca esperava ter uma explicação mais funda sobre um assunto matematico. [2] A minha maior duvida era se tinha mais tipos de espiral, porém ela acabou de ser respondida. [3] A palestra foi mais duradora que o esperado, isso fez com que algum alunos achassem muito tediante, preferindo não prestar mais atenção no assunto, e eu mesmo acabei me desviando um pouco do tema. tirando isso, foi uma apresentação muito boa, de fato uma das mais completas deste ano. Agradeço aos responsáveis pela palestra. RESP.: O problema da falta de interesse pode ser devida a uma incapacidade de apreciar aquilo que provoca o tédio. Às vezes esse interesse aparece mais tarde na vida.
[1] Sobre a espiral de Fibonacci. [2] O método que foi usado para se descobrir essas formulas matemáticas. [3] Não foi interessante quanto achei e particularmente achei muito complicado. RESP.: Eu não tive tempo demonstrar tudo o que podia ser demonstrado. Além disso, se o tivesse feito a palestra seria muito monótona.
[1] Aprendi sobre fibonacci, razão aurea, e como ela se encontra em todas as espirais. [2] Como crece o crecimento proporcional e simétrico dos seres vivos. [3] Ótimo professor, aula super interessante e bom explica e claro. RESP.: Eu tenho uma conjetura de que os seres vivos - todos - seguem, em seu crescimento e regeneração de tecidos, modelos que são da natureza de nosso pensamento. Por isso podemos associar certas formas geométricas, como as espirais, às formas de certas plantas. Isto é, esses modelos impõem quais células vão se subdividir, por exemplo nas duas mãos de uma pessoa, ou nas asas de uma borboleta. Uma de minhas hipóteses fundamentais é que não existe o acaso; colocá-lo como causa de algo é simplesmente uma falta de conhecimento suficiente dos processos envolvidos. Se a divisão celular fosse um acaso, e não controlada pelo modelo do organismo, as nossas mãos e orelhas não seriam tão simétricas quanto elas são.
[1] que o equíbrio da natureza tem relação com o numero de ouro. [2] porque temos essa relacão come esse numero, e porque a natureza as vezes molda as coisas com 1,6. [3] eu realmente adorei essa palestra, e realmente me incentivou a matematica, estou pensando em fazer matematica primeiro do que aeroespacial. RESP.: Eu expus na palestra minha teoria: achamos as proporções áureas especialmente bonitas pois eles ocorrem aproximadamente em várias partes de nosso roso, como foi mostrado, nos dedos da mão, na proporção do braço e antebraço, na altura de uma pessoa em relação à distância da sola dos pés até o umbigo etc.
[1] Eu entendi que a matemática está em absolutamente tudo. [3] Incrível, adorável. RESP.: Não me parece que a matemática esteja em tudo, por exemplo, como já citei acima, ela não ocorre nas sensações e nos sentimentos. Nem na vontade, e nem ao "sonharmos acordados" ("day dreamimg").
[1] Aprendi que muitas coisas que influenciam em estruturas e diversas outras coisas que incluem o fibonacci. [2] Não tive muitas duvidas. [3] Ótima apresentação.
[1] Como a razão aurea está em todos os "lugares". [2] Como a natureza consegue manter esta proporcionalidade em quase tudo. [3] Início bem divertido e interessante, mas depois ficou um pouco repetitivo. O professor domina o assunto e demonstra isso na forma como conduz a aula. RESP.: Cuidado, a razão áurea está muitos lugares, mas há muitos mais sem ela. Veja a apresentação em ppt e note que não houve repetição nas partes importantes da palestra.
[1] Que esses espirais mostram essa propriedade matemática em grande parte da biologia, arquitetura e em diversas coisas. [2] Por quê isso está presente na natureza e no corpo humano? [3] É fascinante como, matematicamente, muitas coisas, desde minúsculas como insetos, ou gigantes como o universo, estão de certa formas "ligados". RESP.: Tenho a impressão de que o crescimento proporcional, isto é, seguindo um fator multiplicativo em todas as formas, é um princípio universal. Note que o crescimento poderia ser linear, isto é, sempre adicionando uma mesma quantidade de matéria a um tecido, em um certo período de tempo, e não uma quantidade que é multiplicada sempre pelo mesmo fator. Parece-me que jamais haverá uma explicação física para o rosto humano ter tantas proporções aproximadamente áureas. A razão áurea é uma abstração, um pensamento; algo da natureza do pensamento impõe a divisão das células para as formas preservarem a razão áurea. Uma de minhas hipóteses de trabalho, baseada em muitas evidências, é que o pensamento não é físico. Sim, aparentemente existe algo que liga tudo no mundo, do átomo às galáxias. O cientista Rupert Shelldrake chamou isso de "campo morfogenético", mas não explicou direito o que ele é e como atua fisicamente.
[1] Espiral logaritimica de razão 2 e Razão Aurea e a espiral e sequencia de Fibonacci. [2] Não entendi direito as espirais em geral. [3] Aula muito produtiva e interessante, gostaria que tivesse mais aulas desse modelo. RESP.: Tente desenhar novamente as espirais, a de Fobinacci, a quase áurea partindo de um retângulo áureo e uma logarítmica. Se não conseguir, baixe a apresentação e veja os desenhos.
[1] Que é possivel ter boas aulas vendo (aplicação de fibonaci nas coisas). [2] Porque a natureza segue essas regras mesmo que de forma indireta. [3] O início da apresentação foi descontraido e divertido por apresentar varios fatos de assuntos diferentes, porem posteriormente acabou ficando de certa forma repetitivo. foi muito bom ter uma aula com um professor que realmente ama o que estuda/ensina e domina o assunto como um todo. RESP.: Dois ingredientes fundamentais para uma boa aula é que ela seja dada com entusiasmo pela matéria e amor pelos alunos. No fim da apresentação com as ilutrações que usei há os ingredientes que usei para quea aula fosse interessante.
[1] Aprendi que a matemática está em tudo e se pararmos para observar; vamos admirar, respeitar e preservaremos isso, esse conhecimento. [2] Pq é tão complicado entender essa matéria e tantas outras? [3] A natureza é um presente divino. RESP.: Cuidado, a matemática não está em tudo, mas quando reconhecemos alguma regra matemática numa forma de um cristal ou de um ser vivo, isso nos faz relacionar mais profundamente com o objeto da observação. Por outro lado, a procura por elementos matemáticos na natureza faz-nos interessar mais por ela. Quanto à natureza ser um presente divino, penso que, de fato, é possível chegar a essa conclusão, pois ela é de uma perfeição, harmonia e sabedoria que não pode vir simplesmente da matéria. Mas cuidado para não pôr a culpa disso em Deus, pois essa perdeu-se totalmente a vivência dessa entidade e a compreensão do que ela pode ser. Além disso, ela não pode ser onipotente pois senão não poderíamos ter livre arbítrio.
[1] As diversas perspectivas/em torno da matemática (pela história, natureza) [3] O professor e muito carismático. RESP.: Relacionar algum tópico da matemática com a natureza e com a história, especialmente biografias, dá um cunho de realidade ao que se aprende.
[1] Espiral logaritmica razão 2, ф=1/ф + 1, sequencia de Fibonacci e razao aurea. [2] Em algumas formulas. [3] Eu gostei da palestra, da comunicação com os alunos e as brincadeiras que teve. Foi uma honra ver uma palestra sua. RESP.: Eu é que adorei dar a palestra para vocês, pois foram muito atentos e participativos.
[1] Tudo na natureza tem proporções, segue regras matematicas. Proporção áurea, logaritimica, etc. [2] Na composição musical, é possível criar uma canção com proporção aúrea? Qual seria a nota inicial? F₁, n1? Como tocar essa nota? A onda sonora seria audível pelo ser humano? [3] Obrigada pela oportunidade! Rendeu-me grandes e otimas reflexões sobre diversos assuntos. RESP.: Nem tudo na natureza segue regras matemáticas! Note que, depois do advento da escala temperada, tanto faz em que nota se começa uma melodia ou música. Em geral os compositores de música clássica escolhem uma tonalidade mais adaptada a qualquer instrumento, em termos da amplitude das notas que podem ser tocadas nele.
[1] Matemática não me interessa muito, porém, a lógica exata na matemática é sempre interessante. [2] Me falta conhecimento no assunto para criar dúvidas relevantes. [3] Admiro muito o professor que dedicou a vida toda para o estudo da matemática. Nem imagino quanto conteúdo ele tem para compartilhar com seus alunos. RESP.: Justamente a lógica e a exatidão da matemática (atenção: na física experimental não existe exatidão, só existe precisão, sempre com uma aproximação) são fundamentais para se desenvolver um pensar lógico e claro. Não sou matemático, minha área é a Ciência da Caomputação. Ocorre que esta última é uma ciência matemática.
[1] Eu sabia pouco de Fibonacci, e nessa palestra tive a oportunidade de compreender melhor o assunto, então considero todas as partes importantes, em especial (pois me chamou a atencão) a parte da espiral logaritimica. [2] Acredito não me restou duvidas pois o palestrante explicou muito bem e é bem atencioso. [3] Eu não curto muito matemática, mas achei a palestra muito interessante. RESP.: Quem sabe se você mergulhar um pouco na matemática vai acabar gostando dela! Pegue algum livro texto de matemática e estude-o, fazendo todos os exercícios. Só conseguir resolver um problema matemático já dá muito prazer.
[1] Matematica é legal e descreve detalhadamente a natureza e nosso mundo. [2] Nenhuma, porém várias. [3] Como alguém pode passar a vida inteira estudando exatas e dando aulas sem ficar louco? RESP.: Cuidado, podem-se fazer modelos matemáticos que exprimem aproximadamente vários aspectos da natureza, mas sempre é uma aproximação. Há outros aspectos que não podem ser modelados. Penso que as nossas sensações e sentimentos não podem ser modelados matematicamente, apesar de os psicometristas tentarem fazer isso, por exemplo associando "não gosto" a 0, "gosto um pouco" a 1, "gosto bastante" a 2 e "adoro" a [3] Mas isso é muito subjetivo e grosseiro.
[1] Aprendi a observar e compreender a natureza por uma visão matemática. [2] Qual/Quem/O que controla essa simetria? [3] Gostaria de participar mais vezes das suas palestras! RESP.: Em minha hipótese de trabalho o que controla as fantásticas simetrias que ocorrem na natureza (lembre-se de suas mãos e daquela borboleta preta com pintas e riscos azuis que mostrei) não é um processo físico, pois isso exigiria uma comunicação entre as células das duas partes simétricas.
[1] Aprendi o quão presente as espirais demonstradas em aula estão em nossas vidas. Além de que a matematica é de extrema precisão em suas teorias, podendo criar inumeras (quem saiba infinitas) propriedades através duma única equação. A perfeição feita por estas espirais são de imensa beleza e criam belas imagens na arte. [2] Mesmo que ainda não exista resposta, qual o motivo pela relação natural escolher tal espiral como meio de adaptação? [3] A palestra foi de imenso conhecimento e entreterimento aos alunos da ETEC, isso se deve ao conteudo apresentado e sua maneira de como foi. RESP.: Minha impressão é a de que existem dois fatores principais: crescimento circular, isto é, ao longo de um círculo, e proporcional, com as distâncias sendo sempre multiplicadas pelo mesmo fator. Fiquei muito contente em dar essa palestra para os alunos da Tancredo, em geral foram muito atentos, respeitosos e trabalhadores, e com conhecimento suficiente de matemática para acompanhar os poucos formalismos que apresentei. Vocês devem ser muito agradecidos à escola!

32. 29/9/18, para professores e alunos de licenciatura em matemática, e interessados, no Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (CAEM), do Instituto de Matemática e Estatística (IME) da USP, Cidade Universitária, São Paulo; info: caem.arrob ime.usp.br {EM}

[1] Aprendi de mais importante muito sobre a natureza. [2] Dúvidas foram bem esclarecidas. [3] Foi tudo de bom na aula. Professor ótimo na explicação do tema.
[1] Resgatar a análise e importância da natureza com os alunos, não somente o cálculo engessado. [2] Se os humanos são moldes pré-fixados. Como explicar os moldes encontrados em nosso corpo e na natureza? Seremos apenas submundos modelos para outros "universos"? [3] Adorei tudo. Principalmente a parte histórica matemática, e a relação entre várias áreas da matemática. RESP.: O motivo de relacionar a matemática com a natureza deve-se ao fato de que até o ensino médio tudo tem que ter realidade, não pode ser mera abstração. Só com abstração não se pode interessar os alunos, pois eles não abstrações mentais ambulantes, têm sentimentos e vontade (ações). Os modelos que os seres vivos seguem não provêm das moléculas, como é o caso dos cristais. Aparentemente, seguem um modelo que é da natureza de nosso pensamento, pois se não fosse assim não poderíamos reconhecê-los, como é o caso da curva traçada pelas folhas da Costela de Adão, como mostrei. Mas isso também se aplica aos modelos seguidos por nossas mãos durante seu crescimento ou regeneração, pois se assim não fosse a simetria entre ela não existiria ou seria muito imperfeita. Esse é um caso interessante, pois claramente o modelo não é estático, vai mudando com o tempo. Estamos muito acostumados com modelos estáticos, como o de uma casa; é preciso abandonar o pensar apenas dirigido pelas percepções sensoriais para se captar um modelo dinâmico.
[1] A beleza e presença na natureza das espirais e também da sequência de Fibonacci.
[1] A relação da natureza com a matemática. [3] Gostei muito da generalização da sequência de Fibonacci, mostrar aos alunos que independente da escolha dos números eles convergem para o ф. O quanto é importante para o aprendizado, errar. RESP.: A referência é dos dois primeiros elementos de qualquer sequência que segue a regra de formação de Fibonacci. Deve-se incentivar os alunos a responderem qualquer coisa às perguntas do professor; se a resposta não é correta, há uma grande chance de mostrar que daquela maneira não pode ser.
[1] A existência áurea em muitas vidas humanas, marinhas, natureza, e tantas outras. [2] As aplicações (exemplos) em que poderíamos simular em aula. [3] Parabéns, gostei muito desta palestra, foi muito proveitoso. RESP.: Proporções áureas ocorrem aproximadamente em cada ser humano. Experimente medir e calcular!
[1] Gostei das práticas realizadas a partir do papel quadriculado e das histórias e apontamentos com exemplos da natureza. [2] Tentei relacionar o conceito de espiritualista com a sequência de Fibonacci e com os povos cátaros, no sul da França. [3] Eu gostaria de agradecer ao professor pelo seu interesse em compartilhar todo seu conhecimento e observações da natureza. RESP.: Os cátaros eram uma seita cristã esotérica, altamente espiritualista, uma dissidência da Igreja, e por isso eram considerados hereges e foram trucidados.
[1] O poder da intuição, como, através da investigação, podemos trabalhar com a matemática. [2] Não ficaram dúvidas e sim curiosidades para aprofundar estes conhecimentos.
[1] Aprendi de mais importante que muita riqueza matemática pode estar armazenada num problema aparentemente simples. [2] Como desenvolver a nossa intuição matemática? [3] Achei uma atividade interessante por conseguir mostrar o quanto a matemática está relacionada com o mundo concreto. RERSP.: Para desenvolver a intuição matemática, experimente enfrentar um problema do qual você não conhece a solução. Aprofunde-se no problema, concentre-se várias vezes nele, mas sem procurar a solução, pois ao procurá-la vai ficar usando seu pensamento abstrato. Espere ter a intuição da solução. É interessante que esse método vale para qualquer problema, inclusive social.
[1] A relação algébrica com figuras geométricas. [2] No começo não entendi se os quadradinhos deveriam ser juntos ou não, mas com calma eu entendo. [3] A relação matemática com a história. O encantar com as imagens para despertar os interesses. RESP.: Repito o que eu disse na palestra: a álgebra é morta, feita com símbolos abstratos. A geometria introduz elementos estéticos, se os desenhos são bonitos e coloridos, o que toca os sentimentos. O formalismo da geometria é bem diferente do formalismo algébrico, que se limita a combinar símbolos.
[1] Os conceitos de espirais que ajudam a ver os elementos da natureza de uma outra forma. [2] ф = (1 +- sqrt(5))/2. Por que o número 5? [3] Agradeço todo o ensinamento, que facilita entender as formas da natureza concretamente conceituando elementos teóricos. RESP.: Como vimos, a equação do ф é ф² – ф – 1 = 0. Resolvendo as raízes, o discriminante é sqrt(1-(-4)). Cuidado, a matemática não nos ajuda a compreender como a natureza segue relações matemáticas; apenas ajuda a presar atenção na natureza e admirá-la por ser tão perfeita. Em minha concepção, não se pode explicar fisicamente como as plantas, animais e seres humanos seguem aquelas relações; minha teoria é a da existência de modelos que impõem quais células vão se subdividir (meiose ou mitose) ou morrer (apoptose), ou permanecer como estão, para que o modelo seja seguido. Essas transições não são fisicamente deterministas, e a decisão de qual transição tomar em cada instante não requer energia física.

31. 10/5/18, para alunos do 2º e 3º do ensino médio do Colégio Stella Maris, Santos, SP; info: profa. Angelica Rodrigues marodriguesdesousa at.arrobagmail.com. Infelizmente houve pouco tempo para os alunos escreverem as avaliações. Não foram incluídas as que tinham muito poucas palavras. {EM}

[1] Sequência, espiral de Fibonacci e sobre áurea. [2] ф. [3] Achei bastante interessante e a explicação foi muito boa. Gostei muito.
[1] É algo interessante; aprendi muita coisa.
[1] Que a matemática está em quase todo e sobre as espirais. [2] Nenhuma. [3] Teve grande interação com os alunos, bem legal ter essas coisas.
[1] A natureza age em sincronia, juntamente da matemática. [2] Por que isso acontece. RESP.: Não se sabe por que vários entes da natureza seguem certas relações da matemática, como a razão áurea ou os números da sequência de Fibonacci. Tentou-se demonstrar que isso teria algo a ver com a otimização da utilização do espaço (por exemplo, para caber mais pinhões numa pinha), mas não houve sucesso nessa empreitada. Tenho a impressão de que por detrás dessas relações encontra-se o crescimento proporcional, como descrevi. Todas as plantas e animais seguem certos padrões de forma, característicos da espécie, por isso podemos reconhecer a espécie. Parece que a forma, que é um modelo, não depende do estágio de crescimento, daí o crescimento proporcional.
[1] As maravilhas da natureza, que seguem incrivelmente a matemática. [2] Não restaram dúvidas. RESP.: Espero ter despertado em vocês uma admiração pela natureza, e a curiosidade em procurar nela relações matemáticas.
[1] Espiral. [2] Se o 1º numero da sequencia fosse quebrado. [3] Interessante. RESP.: Se em uma sequência de números for seguida a regra de Fibonacci (cada elemento é a soma dos dois anteriores), os números podem ser reais, isto é, inteiros, racionais ou irracionais, e a razão de cada um pelo anterior sempre tenderá à razão áurea.
[1] Sobre a sequência e espiral de Fibonatti como um todo. [2] Sobre algumas coisas relacionadas à geometria. [3] Achei uma boa palestra, tirando algumas coisas em relação à postura do professor. RESP.: Infelizmente, várias vezes tive que chamar a atenção dos alunos para fazerem silêncio, pois senão eu tinha que gritar, já que eram muitos.
[1] A historia da matematica. [2] Como tudo comecou. [3] Adorei conhecer além de numeros.
[1] Espiral de fibonate [2] Nenhuma [3] Poderia ser algo um pouco mais dinâmico. RESP.: Eu poderia ter passado muito mais exercícios práticos; isso teria sido possível se fosse um curso com várias aulas.
[1] A arte é dependente da matemática. RESP.: Eu mostrei que o corpo humano segue aproximadamente a razão áurea nas proporções de várias de suas partes. Os pintores usavam e usam essa relação para desenharem seres humanos harmônicos, empregando aparelhos que mostram aquela razão. Nesse sentido, a arte pode utilizar-se da matemática.
[1] Espirais, suas perfeições e suas relações com a vida.
[1] Aprendi sobre as espirais, como calcular o ф e sobre a "áurea". [2] Não consegui entender muito bem o ф. [3] Gostei muito do jeito que você explicou, mas ainda não gosto de matemática. Espero ter outras oportunidade para ir em suas palestras. RESP.: Veja a apresentação da palestra em meu site, lá está a dedução do ф, quem sabe assim você entenderá o processo de sua dedução.
[1] Que a matemática está em tudo. [2] Qual o seu maior sonho? [3] Parabéns pela aula. RESP.: Meu maior sonho é ajudar os outros.
[1] Proporções aurea, espirais = Fibonacci e aurea; historia da matematica (uma parte). [2] Razão irracional. [3] Achei legal mas em alguma parte meio complexo.
[1] Aprendi sobre a sequência Fibonachi, espirais e o Fí (ф). [2] Não fiquei com dúvidas. [3] Palestra muito produtiva.
[1] Os varios usos da matematica. [2] Não entendi o ф. [3] Demorou muito.
[1] Entendi quase nada. [2] Não entendi o ф. [3] Muita explicação desnecessária.
[1] Aprendi a apreciar como a natureza segue a exatidão. [2] Pirâmide de Pascual. [3] Uma boa aula.
[1] Fibonacci, congruência das retas. [2] Nada. [3] Gostei.
[1] Aprendi tudo sobre as inspirais. [2] O ф. [3] Muito interessante e cheio de conteúdos extraordinarios.
[1] Natureza é um mistério. Matemática é uma base exata. [2] Qual o motivo da natureza replicar esses números? [3] Independente da idade, evite ser grosso e ignorante... Isso causa desinteresse, e pode até ofender alguém. Esses defeitos supera até o maior nível de inteligência. RESP.: Infelizmente tive que chamar a atenção para não haver conversas pois isso causava barulho e me obrigava a gritar.

30.

[1] Aplicação de Fibonacci no cotidiano. [2] Alguns dos cálculos e relações. [3] Muito bom! Ajudou muito com algumas das minhas dúvidas sobre o tema, além de ver a natureza de outro jeito. RESP.: a matemática pode ajudar a desenvolver admiração pela natureza!
[1] Aprendi segredos que desconhecia, descobri mistérios que só a matemática pode explicar. [2] Quais os limites da matemática? [3] Uma das melhores palestras até esse ponto de minha vida. Gostaria de ter mais palestras iguais a sua...!
[1] Como calcular o ф, como descobrir proporções áureas e uma breve história sobre o criador da sequência. [2] O porquê do senhor se interessar e estudar a sequência. [3] Apresentação extremamente interessante, com uma fala e explicação de fácil entendimento! Meus parabéns!
[1] Aprendi as diferenças entre as espirais. Aprendi a importância de falar sem microfone. Reconhecer os mistérios e a beleza da natureza.
[1] A espiral áurea e a de Fibonacci são tanto matematicamente quanto naturalmente (na natureza) incríveis: ф = (1 + RaizQ(5))/2. [3] Muito incrível. Os exemplos foram interessantes. Curti muito.
[1] As sequências matemáticas estão em todos os lugares. [2] Por que a razão áurea nos parece tão perfeita? [3] Nunca imaginei que houvesse tanta matemática coincidente no mundo e na natureza. RESP.: Acho que a razão áurea parece tão bonita pois ela ocorre aproximadamente em muitas partes de nosso corpo e também em animais, como vimos na palestra.
[1] Padrões na natureza: proporção áurea, espiral logarítmica, sequência de Fibonacci. [2] Como a natureza consegue estabelecer sempre os mesmos padrões? [3] Absolutamente incrível esse novo olhar sobre a natureza! RESP.: Minha conjetura é que há um modelo dinâmico (isto é, ele varia com o próprio crescimento) que tenta impor a razão áurea nos crescimentos e nas formas finais. Como eu disse na palestra, a sequência de Fibonacci aproxima-se muito rapidamente da razão áurea, por exemplo, usando o 5º e o 6º elementos, 8/5=1,6.
[1] Fibonacci apresentou os números indo-arábicos. 5 mi = 8 km. Princípio de Bernoulli. [2] Além de Fibonacci ser apresentado na natureza, e representar a melhor estética, porque estudamos a sequência de Fibonacci? Na prática, como que esse princípio é usado, sem ser para fins estéticos? [3] Muito obrigada pela palestra, foi super interessante e valeu a pena ter assistido.
[1] Fibonacci, Fíbias, triângulo de Pascal, proporcionalidade na natureza. [3] Obrigada pela palestra, foi muito agradável. Penso em fazer matemática na faculdade.
[1] De inúmeras coisas que aprendi durante a palestra, a mais importante foi as espirais, pois já conhecia u pouco sobre o número de ouro. [2] Diferença entre as espirais e detalhamentos. [3] A palestra foi de grande importância, de grande aprendizagem. Meu comentário é mais um eleogiar, pois a palestra foi muito boa.
[1] A proporção áurea, a espiral áurea e os números de Fibonacci estão presentes em vários objetos e na natureza, em plantas, animais a até galáxias. Além disso, como fazer a espiral. [2] A diferença entre a espiral de Fibonacci e a espiral áurea. [3] Incrível. RESP.: Uma sequência áurea seria uma sequência com razão ф, 1,6180..., isto é, 1, 1,61803..., 2,61803..., 4,23606..., 6,854101... etc. correspondente a 1, ф, ф^2, ф^3, ф^4 etc. (Fora as aproximações, cada um é a soma dos dois anteriores, a regra de Fibonacci!) Os números da sequência de Fibonacci são bem diferentes, 1, 1, 2, 3, 5, 8 etc. O importante é a razão entre dois consecutivos, que no caso da de Fibonacci vai se aproximando da razão áurea. Assim, o crescimento da espiral de Fibonacci tende a ser o mesmo que uma espiral áurea, isto é, logarítmica, de razão 1,6180... e de passo 90°. Isto é, elas tendem para a mesma forma de crescimento proporcional, apesar de serem defasadas, deslocadas. Na palestra, foi mostrada a espiral áurea construída a partir de uma retângulo áureo.
[1] As proporções e a matemática envolvida na sequência de Fibonacci. [2] Características da espiral e suas aplicações na vida (saber mais sobre). [3] Entendimento simples e interessante e que deixa curiosidade sobre esta sequência.
[1] A sequência da Fibonacci pode ser aplicada em vários padrões, muito naturais. [2] Como a aplicação da sequência na natureza é possível, como é tão perfeito? [3] Procurarei mais de suas palestras.
[1] Razões áureas de Fibonacci estão presentes nas mais diversos locais, desde galáxia ao nosso corpo. [2] Diferenças específicas entre as 2 espirais. [3]Muito interessante ver essa relações presentes em coisas aparentemente irelacionadas.
[1] Algumas funções algébricas que eu desconhecia. [2] Por que é tão frequente a aparição da proporção áurea na natureza. [3] Muito boa a didática do professor. RESP.: Eu acho que nos seres vivos o crescimento, devido à subdivisão celular, segue um modelo que determina quais células vão se subdividir; esse modelo deve conter a proporção áurea.
[1] Espirais logarítmicas e como são encontradas na natureza. [2] Nenhuma, tudo foi bem explicado. [3] Uma nova perspectiva da observar a natureza. [3] Aprendi a ideia da função que forma a sequência de fibonacci e como fazer a espiral. Além disso, achei realmente interessante as proporções a partir do número áureo e suas aplicações na natureza. [2] Não creio ter grandes dúvidads quanto o que foi estudado. [3] Gostei muito da apresentação, tanto pela parte matemática e sua comprovação como nas aplicações na natureza.
[1] O significado da sequência de Fibonacci e suas aplicações e origem. [2] Por que se chama áureo? [3] Palestra divertida, interativa e fácil de entender. RESP.: Eu disse na palestra que achava que o nome "razão áurea" ou "número de ouro" é devido ao fato de ela ou ele ocorrerem aproximadamente em várias partes de nosso corpo.
[1] (Continuação) Aprendi que o número de Fibonacci é muito mais complexo do que eu imaginava. O que é e que a razão áurea pode ser aplicada em várias situações da natureza. [2] Por que a razão áurea é tão comum no universo. [3] Parabéns pela palestra!
[1] A maioria das coisas, senão todas, mantêm uma proporção matemática. [2] Não tive nenhum duvida imediata. Desculpe.
[3] Uma ótima aula, bem explicada.
[1] Convergência/Razão Áurea/Seq. de Fibonacci. [3] Comunicação ilustrativa/oral muito boa.
[1] Que as coisas mais bonitas seguem a razão de Fibonacci. Ficou tudo bem esclarecido. [3] Muito legal.
[1] Razão áurea/convergência. [3] Amei a palestra, não tinha a ideia no que fazia parte da seq. de Fibonacci. Sendo a maioria objetos, animais, construções do dia a dia. Impressionante!
[1] A sequência de Fibonacci está presente em muito mais do que em problemas matemáticos, por exemplo, se aplica na natureza, no corpo humano, nas galáxias, etc. [2] Como que essa sequência surgiu? Por que vários itens seguem essa sequência/espiral? RESP.: A sequência de Fibonacci já era conhecida na Índia desde o séc. VI. Mas foi em seu livro "Liber Abaci" que Fibonacci a popularizou, por isso recebeu seu nome.
[1] As espirais log. estão em toda parte. [2] Por que é tão presente? [3] Ótima palestra. RESP.: como expliquei, acho que existem forças na natureza viva que produzem um crescimento proporcional, o que ocorre com as espirais logarítmicas. A espiral de Fibonacci aproxima-se bastante de uma espiral logarítmica de razão 1,6180..., isto é, a razão áurea a cada 90°.
[1] Fibonacci está presente em tudo. [2] Onde não há a espiral de Fibonacci? Por que ela é tão presente na natureza? [3] Sem comentários. Extraordinário. RESP.: Atenção, não está presente em tudo! Mostrei fotos de borboletas onde ela não ocorre, mas podemos admirá-las profundamente por conservarem uma extraordinária simetria nos desenhos nas asas.
[1] A proporção áurea existe em vários lugares, como rosto e corpo humano, cartão de crédito, caramujo e construção de Partenon em Atenas, entre outros. Assim, sem dúvida há uma admiração e respeito.
[1] A sequência de Fibonacci e sua aplicação na natureza. Por que o numero 1,6180... é o "numero de ouro"? RESP.: Eu justifiquei essa denominação como provindo do fato de que ela ocorre aproximadamente no corpo humano em muitos lugares.
[1] Como a proporção áurea, entre outras coisas está tão relacionado tanto com nós (ser humano) quanto a nossa vida (o cotidiano).
[1] A razão áurea está presente em inúmeras situações na natureza, o que mudou meu pensamento sobre "a matemática está em tudo". [2] Minha dúvida é por que a razão áurea está presente em muitos casos da natureza. RESP.: Eu acho que essa e outras harmonias são impostas em muitas formas que a natureza segue durante o crescimento dos seres vivos.
[1] Aprendi o funcionamento na prática da sequência de Fibonacci. [2] Como contar as espirais? [3] Slide ilustrativo muito bom! RESP.: Tire uma foto de espirais que aparecem por exemplo nas flores (como a margarida, o girassol etc., reconheça as espirais e faça a contagem de quantas elas são, para um lado a para outro. Pegue um abacaxi, marque um dos gomos da casca e conte quantas espirais ocorrem nela.
[1] A presença de espirais na natureza.

29. 13/4/18, para alunos de arquitetura do Campus Chácara Santo Antônio da UNIP (Universidade Paulista), Santo Amaro, São Paulo, SP; info: profa. Carolina Silva Oukawa musarq.arro.b.a gmail.com. Não foram inseridas 14 avaliações por não terem contribuição significativa. {EM}

[1] A relação entre a matemática e a natureza e a ligação entre o belo e o simétrico. [2] A apresentação foi clara e as dúvidas foram esclarecidas. [3] Palestra bem esclarecida, dinâmica e objetiva. Adorei!
[1] O que aprendi foi a aplicabilidade prática da matemática, das proporções no dia a dia, em vários elementos da natureza. [2] A maior dúvida é como, de que forma estas proporcionalidades se mantém na natureza. O que definiu esta proporcionalidade? [3] Amei a aula, dinâmica, interativa, rica em exemplos práticos e comprobatórios. RESP.: Em minha concepção de mundo, faço a hipótese (não é uma crença) de que as formas que aparecem na natureza não são acasos. Em particular, nos seres vivos, o crescimento, que se dá de dentro para fora, por divisão celular (ao contrário dos minerais, que crescem de fora para dentro, por deposição) o crescimento segue um modelo dinâmico (isto é, ele vai mudando conforme o estágio do crescimento). Esse modelo "decide" quais células vão se subdividir em seguida (mitose ou meiose), ou vão permanecer como estão, ou vão começar a morrer (apoptose); essa escolha não requer energia. Por isso nossas mãos e orelhas crescem mantendo uma extraordinária simetria, ou as asas dos insetos voadores, que têm desenhos fantasticamente simétricos. Cada espécie animal segue o mesmo modelo; cada ser humano tem os seus modelos. Não posso explicar por que a razão áurea é seguida, por exemplo em várias proporções nos animais e nos seres humanos, deve haver algo de profundo nessa relação para que os modelos a sigam. Já as espirais logarítmicas são um caso de crescimento proporcional, onde cada trecho segue as mesmas proporções de trechos anteriores correspondentes. Mas reconhecendo a razão áurea e essas proporções, pode-se criar em si uma profunda admiração, até mesmo um carinho e uma veneração pela natureza, que foi um dos objetivos dessa palestra. Uma palavra sobre os genes, o DNA: as células dos seres vivos são muito imprecisas; parece-me impossível que o modelo global, por exemplo de uma mão inteira, cresça somente por influência do DNA, pois o crescimento de cada mão seria independente da outra, e a simetria não seria conservada no grau em que ela ocorre. Mas o DNA participa do processo, de modo que se ele é mudado, as formas também mudam; no entanto, ele sozinho não seria a origem das formas.
[1] A aplicação da proporção em tudo o que produso. [2] Como a natureza é tão perfeita? [3] Adorei a palestra, muito esclarecedora. Palestrante fantástico. RESP.: Ver resposta da avaliação anterior.
[1] A relação que a matematica tem com a vida, e como ela aparece sem nós percebemos. [2] Como a natureza consegue ser tão matemática e perfeita. [3] Seria importante que mais pessoas conseguisse ver e entender a beleza que a matemática tem, e que diferente do que pensam ela está em todos os lugares. RESP.: Veja a segunda avaliação. Estou à disposição para ministrar essa palestra em quaisquer ambientes, é só organizá-la.
[1] Aprendi coisas sobre a proporção Aurea que eu não imaginava. Fiquei fascinada pos sua forma simples mas que se encaixa em tudo (Fibonachi também). [2] Nenhuma. [3] Amei sua forma simples e compreensível de ensinar.
[1] Que praticamente em quase qualquer objeto ou a grande maioria das coisas, existe proporção aurea. [2] A matematica de fibonacci. [3] A Porporção áurea está presente em qualquer desenho ou construção feita sobre o homem, e está palestra me deu um modo diferente de ver as coisa.
[1] Proporções aureas, como elas tem uma lógica e são fieis a natureza. Muito bacana ter esse conhecimento, essa explicação. [2] Foram as formulas, fiquei um pouco confusa, por fazer tempo que não vejo isso, mas os cálculos foram incríveis, percebe-los. [3] Muito obrigada pela aula! De grande valia! Vários assuntos que não sabia e que agora vou observar! Adoro aprender.
[1] Aprendi mais sobre a espiral de Fibonacci, proporção aurea, se encontra natureza, arquitetura e até em nois. Aprendi também como achar o número de Phi. [2] Tive um pouco de dúvida nas contas, mas consegui entender o processo. [3] Gostei bastante da palestra, me esclareceu bastante sobre a espiral de Fibonacci. RESP.: Baixe e estude a apresentação das ilustrações; para mais detalhes, baixe a apresentação com o roteiro completo da aula.
[1] Aprendi as leis aureas partindo de Fibonacci, fazendo a espiral de arquimedes. ф = Razão Áurea, entendendo isso Euclides pensa sobre as proporcoes do rosto, natureza, flora, fauna quase tudo refere-se a proporcão áurea e ao espiral, retangulo, triangulo de Arquimedes. [2] As equacoes de ф. Do meio para o final me perdi. [3] Aula informativa e complementativa dos meus estudos. RESP.: Idem.
[1] Aprendi que a sequência de Fibonacci preseva o que vem antes. Aprendi também que os números de cima decresce e os números de baixo cresce. [Desenhou as curvas convergindo] Vale ressaltar também sobre a propoção Aurea, é usado em planta, corpo humano, corpo animal e etc. Razão Áurea. Crescimento propocional. [2] Sem duvidas! [3] Eu preciso aprender mais sobre matematica! RESP.: O estudo da matemática desenvolve um pensamento claro e consequente, fundamental hoje em dia. Pegue um livro de matemática e estude-o, vai ver como ela é interessante!
[1] Tomei um maior conhecimento quanto a proporção Aurea relacionada as espirais e suas medidas em relação a várias coisas como: plantas, rostos, corpo e objeto. [2] Achei o Fi (ф) um pouco diferente, mas nada que implique no aprendizado. [3] Gostei da palestra e espero que tenham mais pois foi muito interessante ver como a matemática se relaciona com a natureza.
[1] A natureza contém códigos matematicos, formas geometricas perfeitas, as quais o homem observou e transformou em conclusão matematica. [2] Na hora dos cálculos me perdi um pouco. [3] Incrível como temos o errado idéia de que a natureza esta distante da matematica, e essa pertence ao homem, enquanto o homem pouco ter aprendido tudo com ela. RESP.: Baixe as apresentações e tente compreender cada passo.
[1] O processo de descoberta da sequencia Fibonacci e suas propriedades (inúmeras) e possibilidade de projeto e percepção a partir das proporções aureas. [2] Bom, duvida conceitual: porque essa proporção é tão agradável e tão desejável? [3] Palestra sensacional. Matemática é divino. Explica tudo, possibilita tudo. Obrigada! Adoraria assistir uma futura palestra. RESP.: Acho que ela é agradável pois ocorre em tantos lugares no corpo humano e nos animais.
[1] Aspirais aureas, aspirais Fibonacci e aspirais de aquimedes; como fazer aspirais; observar a natureza; proporção aurea tem o conceito de belo, harmonioso. [3] Nunca tinha parado para observar as proporções e simetrias da natureza e também que a proporção aurea esta em todos lugares.
[1] Aprendi que as razões aureas estão em vários lugares que por um momento já olhamos mas não fizemos esta relação (~ 1,6...). [2] Podemos dizer que a matematica esta em tudo? Tudo pode ter uma razão? [3] Gostei da aula pois ela nos ensinou a ver o mundo nos mínimos detalhes, e que tudo pode ter uma proporção. RESP.: A matemática não está em tudo, mas quando ela ocorre na natureza podemos desenvolver uma profunda admiração e veneração por ela, pois esse ocorrência é a representação física de uma enorme (infinita?) sabedoria.
[1] Porporção aurea tem haver com o crescimento proporcional, aurea vem da proporção humana. De Fibonacci consiste na soma dos dois ultimos números. Esta proporção nos trás satisfação, por ser bonita aos nossos olhos, já que está presente na natureza que nossa refência instintiva. [2] Não é bem dúvida, mas sim questão de não esquecer o passo a passo de como se calcular. [3] A dinâmica da aula foi essêncial para a compreenção. Os slides ilustrando também. RESP.: Baixe e estude as apresentações da palestra.
[1] Que o Fibonacci foi uma das figuras mais importantes da matematica. [2] Algumas fórmulas de ф e outras com o Fibonacci. [3] Muito didático a aula muito boa. RESP.: Idem.
[1] Que a espiral de aquimedes e de passo constante ou seja tem larguras [?] iguais. Que o fibonacci foi conhecido por levar a europa os algarismos arabes no ano 1.200. Que a perspectiva começou com Bruneleschi. [2] Na parte das explicações dos cálculos eu não compreendi nada. [3] Sugestões. Apresentação com mais calma, um pouco mais devagar e clareza na comunicação pois ouve alguns termos técnicos ou físicos de difícil compreensão uma vez que esta palestra é apresentada para leigos. RESP.: Idem.
[1] Aprendi sobre a espiral arquimidis (passo constante) e sobre Fibonacci que trouxe os algarismos arabicos p/ Europa. Aprendi sobre Bruneleschi que foi um dos primeiros a desenhar em perspectiva. Achei muito legal a relação da sequencia de Fibonacci com a multiplicação dos coelhos. E o mais importante sobre a sequencia de Fibonacci que cada um elemento é a soma dos dois anteriores, que se convergem mas nunca se encontram, provado atravez da prova por absurdo. [2] Todos esses elementos que andam conosco, por exemplo cartão de crédito, que tem proporção áurea são intencionamente assim ou não? [3] Achei muito curioso o fato de ф não vir de Fibonacci e sim de Fídias pois o Partenon segue razões áureas. Grata pelo conhecimento. RESP.: Acho que os cartões bancários são projetados seguindo aproximadamente a razão áurea porque ela nos parece bela e agradável, já que ocorre em tantos lugares em nosso corpo.
[1] Sobre a sequência Fibonacci (?); diferentes possibilidades de fazer espirais; até em coisas da natureza a sequência está presente. Razão Áurea. [2] Ficou tudo muito claro.
[1] Aprendi a sequência de Fibonacci, que ela se aplica em diversas coisas principalmente em proporção áurea, espirais, etc. [2] Utilizar o "fi" = ф. [3] Gostei de aprender a fazer uma espiral "perfeita" utilizando a sequência numérica.
[1] Aprendi sobre muitos assuntos importantes hoje, mas o que aprendi de mais importante foi o crescimento proporcional, que nós o encontramos no nosso dia a dia, tanto na natureza, quanto em objetos criados pelo homem (espiral logarítimica). [2] Tudo foi bem explicado, porém sobre o Fídias os cálculos produzidos.
[1] Aprendi que a razão áurea está relacionada a porporção de todas as sequencias de crescimento, como pentagrama, parte do corpo, plantas e flores. Tudo esta relacionado a porpoção. [2] Nenhuma, foi muito bem explicado.
[1] Aprendi sobre os números de Fibonaci, e sua importancia para a matematica, e como suas teorias, sua sequencia se apresenta no mundo cotidiano, em nossas aparencias, nas plantas, etc. [2] Porque e por qual motivo podemos encontrar as espirais de Fibonaci ou a Áurea em boa parte dos objetos de nossos dias, porque os girassois apresentam, o rosto humano, qual o significado disso tudo? O mudo é tão matemático? Ou foi tudo planejado, construir para seguir esses padrões? [3] Palestra maravilhosas, e sua função terá muitos fins. Um belissimo de educação e que mostra além do que sabe ou espero. RESP.: Veja a resposta à segunda avaliação.
[1] Aprendi a sequencia de Fibonacci, e a partir dela a construção de espirais e a razão áurea, no qual para introduzir o assunto vimos o triângulo de pascal, o campo de milagres e informações sobre Bruneleschi. [2] Alguns conceitos da razão aurea. [3] O fato de o professor buscar fazer a explicação se baseando em exemplos sobre a natureza, permitindo uma melhor assimilação.
[1] O que achei mais importante foi como as proporções áureas estão presentes no nosso redor (corpo/natureza). Achei interessante esse crescimento proporcional. [2] Não tive uma dúvida que não foi esclarecida na palestra.
[1] Aprendi variadas teorias, onde a razão áurea serve para os mais distintos exemplos. [2] A diferença entre as espirais. [3] Uma ótima palestra, entretanto por se tratar de um assunto que precisa de uma maior atenção, é melhor mais dinâmico que posso prender a atenção do aluno. RESP.: Existem inúmeras espirais. As que mostrei são apenas de dois tipos, a de Arquimedes (passo constante) e logarítmica (passo exponencial, cada trecho é uma multiplicação do trecho anterior de mesmo setor angular da espiral, o que leva a um crescimento proporcional). A espiral de Fibonacci é uma aproximação da espiral áurea, isto é, de crescimento com razão ф = 1,6180...
[1] [Fez um interessante e original esquema gráfico mostrando vários aspectos da palestra, como história, artigo, Fibonacci, triângulo de Pascal, Roma, Itália, Grécia, Fídias etc., ligando-os com flechas e assim mostrando o relacionamento entre eles]. [2] Se tem outros tipos de espriais ou se são apenas dois tipos. [3] Adorei a palestra, gostaria que tivesse mais. RESP.: Ver a avaliação anterior.
[1] A matemática prova, de várias formas, relações que muitas vezes podem ser observadas na natureza, em cada parte há um tipo de relação e só não há como provar a razão para que aquilo aconteça. [2] Além da razão de tudo isso, porque (a+b)/b = 1/(b/a). [3] As proporções áureas são, ou parecem ser, o "perfeito", são um tipo de relação que temos contato sem que percebemos. RESP.: Estude as apresentações da palestra.
[1] Proporções aureas, Espiral de Fibonacci. Equação de ф (1+RaizQ(5))/2 = 1,6180... Sequência. [2] As proporções aureas se encaixam em tudo? Até mesmo em objetos de diferentes ângulos? Exemplo: triângulo [com desenho]. [3] Como pude ver na palestra, as proporções áureas está presente em nosso cotidiano, e, cartões, no nosso rosto, altura etc... RESP.: Nem tudo na natureza segue a razão áurea!
[1] O que eu aprendi de mais importante foi a formúla da sequência de Fibonacci, e a própria sequência, que é: 1, 1, 2, 3, 5, ... também sobre a proporção aurea, sobre que ela está em todos os lugares e em grande parte dos seres vivos, me faz ter uma carinho e cuidado maior com a natureza. [2] As duvidas ficaram concentradas nos calcúlos e formúlas matematicas, como são muitas nuances em pouco tempo a compreensão total fica comprometida.
[1] Aprendi que devemos observar mais, perceber que praticamente tudo tem proporção. [2] Oa cálculos parecem fáceis, mas algumas dúvidas surgiram durante a apresentação em relação à proporção.
[1] Aprendi que fibonatti foi uma grande figura no mundo da matemática, e que tudo praticamente do nosso dia a dia "utilizasse" a razão áurea". [2] Não. [3] A parte de descobrir a ordem ficou um pouco confuso.
[1] [Fez um interessante e original esquema gráfico mostrando vários aspectos da palestra, como história, artigo, Fibonacci, triângulo de Pascal, Roma, Itália, Grécia, Fídias etc., ligando-os com flechas e assim mostrando o relacionamento entre eles]. [2] Se tem outros tipos de espriais ou se são apenas dois tipos. [3] Adorei a palestra, gostaria que tivesse mais.

28. 23/3/18, para alunos dos 1º e 2º anos do ensino médio do Centro Educativo Vida Nova, Camanducaia, MG, info: prof. Flávio Correa flaviocorrea at.arroba gmail.com {EM}

[1] O que eu aprendi foi que a matemática faz parte de nossa vida, em nossos corpos, na natureza, em tudo. [2] Nenhuma, tudo foi bem explicado em detalhes. [3] A palestra foi muito boa, tudo bem explicado, sem nenhuma dúvida, além de que o palestrante é muito carismático.
[1] Fibronacci descobriu a lei Aurea, que na minha opinião é uma das mais bonitas. [2] A minha maior dúvida era se esta lei estava presente em tudo, mas já foi esclarecido. RESP.: Fibonacci não descobriu a Lei Áurea. Quem a descreveu em primeiro lugar, como eu relatei, foi Euclides (325-265 a.C.), em seu Elementos (ca. 300 a.C.), em que ele estabeleceu as bases da geometria: "Uma linha reta é dita ter sido seccionada na razão extrema e média quando a linha toda está para o segmento maior assim como o maior para o menor." O primeiro a usar a expressão "seção áurea" (goldener Schnitt) parece ter sido Martin Ohm em 1835, e aparece na Enciclopaedia Britannica na 9ª edição de 1875.
[1] Eu aprendi bastante coisa. gostei mais sobre a sequência de fibonacci. acredito que depois desta palestra vou observar mais a natureza. [2] Acredito que nenhuma. [3] Gostei muito desta palestra. Claro que no começo estava um pouco desanimado; mas depois que voltei do Intervalo, resolvi me empenhar para aprender sobre tão grande maravilha.
[1] Que em tudo o que vemos e tudo o que está em nosso redor, têm matemática. [2] Como Fibonacci descobriu que a sequência tinha a ver com a espiral? [3] Com certeza vou lembrar de espirais pro resto da vida! RESP.: Fibonacci apenas apresentou, em seu livro "Liber Abaci" ("Livro dos Cálculos") do ano de 1.200, a sequência que depois levou seu nome, e usou-a para resolver o problema hipotético da multiplicação dos coelhos.
[1] Um novo passatempo: infinitas relações, proporções e ligações inexploradas para descobrir! [2] Não entendi direito como o senhor chegou na fórmula de ф, por que foi falado muito rápido e eu não tive tempo de analisar e compreender a lógica que foi passado. [3] Já era de exatas, agora sou o dobro. RESP.: Cheguei à fórmula do ф partindo de três elementos consecutivos de uma sequência de números inteiros que segue a regra de formação
a, b, a+b
onde a e b são dois quaisquer consecutivos, e a+b o terceiro (essa é a "Regra de Fibonacci"). Em seguida igualei as divisões (razões) de cada dois: ф = b/a = a+b/b (1), supondo que a sequência converge para um número que iria se repetir.Resolvendo (1), chega-se a ф = 1 + 1/ф, que dá uma equação do 2º grau com ф como incógnita. Dela, chega-se à fórmula do ф. Experimente! E veja a apresentação.
[1] Razão Aurea. [2] Nenhuma. [3] Nenhum.
[1] Fibonacci. [2] Nenhuma. [3] Nenhum.
[1] Sem dúvida nenhuma sobre a sequência de Fibonacci. [2] Como que a natureza é tão perfeita? [3] Otima aula. RESP.: Sim, reconhecendo a perfeição da natureza, para o que a matemática pode nos ajudar muito, devemos desenvolver uma admiração profunda, uma veneração pela natureza.
[1] Tudo sobre aspiral. [2] As contas, jeito de pensar de Fibionacci.
[1] Espiral Fibonacci; sequência de Fibonacci. [2] Nenhuma. [3] Nenhuma.
[1] Que a espiral tem a mesma simetriatem qualquer três pontos. Como constrir, sequência de fibonate. [2] Maneira de pensar. [3] É uma boa palestra para reflexão.
[1] Espirais e razão áurea. [2] Como a natureza é tão perfeita? [3] A palestra foi muito interessante.
[1] Fibonacci foi um grande inventor e descobridor da lei Áurea, que atravez de uma dada sequência de números infinitos descobriu que a natureza é infinitamente constituídas de figuras geometricas e principalmente a espiral que depois foi estudada por dois matematicos, que diferenciaram e conceituaram Logaritma e Arquimedes (espiral), e o corpo humano, a natureza e o universol são constituidos e matematica. [2] Como a natureza se adapta ou é constituida de leis geometricas? [3] Admiro os inteligentes. RESP.: Veja minha resposta acima, onde exponho que Fibonacci não foi o primeiro a escrever sobre a lei Áurea, e sim Euclides.
[1] A presença de simetria na natureza/Rreprodução dos coelhos. [2] Sequência de Fiboncci.
[1] Razão área. [2] Crescimento proporcional. [3] Gostei muito da palestra.
[1] Tudo sobre espiral. [2] A linha de raciocinio.
[1] A reprodução dos coelhos. [2] não sei dizer o que é razão Aurea. [3] TÉDIO.

27. 23/10/17, oficina na Semana USP de Ciência e Tecnologia 2017, no Instituto de Matemática e Estatística, Cidade Universitária, São Paulo; info: prof. Eduardo Colli colli.eduardo sinal_at gmail.com {EM}

[1] Deduzir a razão áurea. Entender as espirais de Fibonacci e áurea. Reconhecer razões e espirais na natureza. Históra de Fibonacci. [2] O que justifica esses padrões? [3] Palestra bem explicada e ilustrativa. RESP: Não se encontrou justificativa formal; pensou-se em otimização do espaço ocupado por sementes e florzinhas, mas não se encontrou justificativa para isso. Há algo de misterioso por detrás da razão áurea, parece ser um conceito universal que é imposto em vários seres vivos e em formas espiraladas, mesmo sem vida.
[1] Aprendi a admirar e a observar mais atentamente a natureza, pela sua grande ordem e beleza. [2] Da aula, nenhuma dúvida. [3] Questão: pode-se considerar razoável a hipótese do Design Inteligente (Intellligent Design) dada a grande ordem da natureza? RESP: O que se deveria duvidar é do acaso. Tanta harmonia e sabedoria não deve ser fruto do acaso. Algo fora do âmbito físico impõe as formas assumidas pelos seres vivos.
[1] As várias ocorrências da sequência de Fibonacci. [2] Por que elas ocorrem? RESP: Ver respostas anteriores.
[1] A forma como a razãoo áurea está presente na natureza. [2] Como que os organismos crescem simetricamente? RESP: Minha conjectura é que eles seguem um modelo dinâmico, que vai mudando conforme o crescimento. Esse modelo é da natureza de nosso pensamento, por isso podemos reconhecer as formas e as simentrias.
[1] A razão áurea aparece em inúmeros fenômenos naturais, variando desde a proporção em uma pinha e em um ser humano.[2] Como os organismos conseguem obter uma simetria? RESP: Ver a resposta anterior.

26. 6/10/17, para professores e alunos de licenciatura em matemática, no Centro de Aperfeiçoamento do Ensino da Matemática (CAEM) do IME-USP {EM}; info: caem.ime at-arroba gmail.com

[1] Poder conhecer outras propriedades dentro da sequência que não conhecia, poder ver as aplicações. O estudo das espirais. São muitas as informações maravilhosas. [2] De onde vem todo esse conhecimento, quais suas fontes históricas dos acontecimentos? Foi incrível a experiência. [3] Se possível nos proporcionar mais oficinas como essa. RESP.: Você se refere ao meu conhecimento? De estudos e de reflexões.
[1] Além de todo conhecimento sobre o tema abordado, foram os aspectos metodológicos que orientam a dar aos alunos significado a tudo o que se aprende. Como exemplo: a construção dos quadrados na malha quadriculada, para confecção da espiral de Fibonacci. Também foi muito importante o esclarecimento dos termos utilizados (porque se chama "Número de Ouro", porque foi utilizada a letra ф para o Número de Ouro), exploração das diversas possibilidades do Número de Ouro, sequência de Fibonacci e do triângulo de Pascal. [2] Minhas dúvidas não estão relacionadas ao tema, mas à seguinte questão: por que as universidades que oferecem os cursos de Licenciatura em Matemática não orientam seus alunos na disciplina de "Metodologia do Ensino da Matemática" a desenvolverem seus planos de ensino e de aula baseados em situações que sejam significativas a seus alunos? No início da aula o Sr. mencionou aos alunos do curso de licenciatura que todos os cursos de matemática deveriam ter acesso a essa oficina. Por que não é proporcionado aos alunos como parte integrante do currículo? [3] O curso foi excelente não só nos aspectos teóricos, como também nos aspectos metodológicos. Toda formação contribuirá muito para minha prática docente. RESP.: O currículo é rígido, e não há incentivo em se ensinar a matéria para conhecimento geral e não para se preparar para o vestibular. Escola que se concentra em preparar para o vestibular é uma péssima escola. Creio que uma outra razão é o excesso de intelectualismo, tipicamente acadêmico, não levando em conta os aspectos humanos dos alunos.
[1] Muito sobre didática, proximidade com alunos. [2] Como existe tanta perfeição na natureza? Perfeição é o acaso? Existe o acaso? RESP.: Nos reinos vegetal, animal e humano a perfeição é devida a ações que não são físicas, seguindo modelos, ao contrário dos cristais, onde a perfeição é devida a forças e condições físicas. Eu não acredito em nada, tenho hipóteses de trabalho. Uma das primeiras coisas em que não acredito é no acaso. Acho que o que se atribui a ele é devido a uma falha de observação ou resultado de medidas com instrumentos.
[1] Estética como ensino. Significativo, história, aplicações. [2] Aula clara e transparente. [3] Muito bom, um verdadeiro mestre da vida, como fundo a matemática.[1] A utilizar uma linguagem mais concreta com meus alunos, a fim de despertar a curiosidade e interesse. [2] Se ф é um irracional, por que recebe o nome de RAZÃO áurea? Como uma razão entre dois lados [ou números inteiros] é um irracional? [3] O professor poderia focar mais no tópico da aula e não em outros assuntos. RESP.: O nome Razão Áurea é dado à proporção dos dois subsegmentos de reta de um segmento dado, isto é, um segmento de comprimento a+b é dividido na razão áurea em a e b sse b/a = (a+b)/b. Uma outra coisa é calcular o valor dessa razão numericamente, e é aí que aparece um irracional. Quando se toma uma sequência de números inteiros a, b, a+b, a+2b, 2a+3b etc., a razão de cada dois consecutivos não é a razão áurea, é uma aproximação dela, nunca é irracional, pois faz-se justamente a divisão de dois inteiros. A razão de dois consecutivos converge para a razão áurea (ф), mas nunca chega a ela.
[1] Aprendi que uma boa aula é dada com entusiasmo, bons exemplo (geométricos), e com contexto histórico. [2] Sem dúvidas. [3] Ótima palestra. Gostei do site com a disponibilização do material.
[1] Que a razão áurea se mantém mesmo com valores iniciais diferentes, simplesmente seguindo a lei de formação. [2] O que acontece se os valores iniciais fossem de sinais opostos ou utilizarmos a lei de formação ao contrário? [3] A palestra trouxe muita informação interessante e gostei muito da maneira como o palestrante provoca. RESP.: A única restrição é que um dos dois valores iniciais não deve ser zero, pois se ambos fossem zero a sequência seria apenas de zeros. Como se trata de somas, depois de algum ponto os sinais ficam iguais, como ocorreu no exemplo que fizemos , com iniciais -3 e 0; depois do terceiro, todos os elementos ficaram negativos. Tanto faz se 3 elementos consecutivos são todos positivos ou negativos, a razão de cada par é sempre positiva (ф é um número positivo.)
[1] História da matemática incluída na aula; aplicações do conteúdo; saber chamar a atenção do aluno. [2] Não sei se ficou dúvida (para pensar depois). [3] A experiência do professor faz boa diferença na oficina.
[1] Aprendi que há regularidades na natureza, e algumas relacionadas à espiral de Fibonacci. O que pode ajudar os alunos a apreciar tanto a natureza como a matemática. [2] Como instigar a curiosidade? [3] Muito interessante a oficina, gostei do fato de você não colocar a matemática de "forma quadrada", como você mesmo citou, ligando com outras áreas (artes, história, filosofia etc.). RESP.: Para instigar a curiosidade de um aluno ainda não intelectualizado, pode-se deixar questões em aberto que tenham a ver com a realidade ou com a vida humana.
[1] Aprendi muito sobre a sequência de Fibonacci e a razão áurea, mas me chamou muito a atenção os toques e formas de se portar em sala de aula. [2] A maior dúvida que ficou é se a espiral das galáxias vistas nos slides é uma espiral de Fibonacci ou espiral áurea. [3] Eu achei muito boa e parece não encontrar nada para reclamar. Teve alguns erros de digitação e organização dos slides (alguns) tinham informações repetidas, mas isso não estragou a apresentação. RESP.: a repetição ocorreu em um único slide, e já foi corrigida.

25. 4/9/17, para alunos da 8ª e 9ª séries, e do ensino médio do Colégio Carbonell, Guarulhos, São Paulo, {EM}, info: prof. Renato Gondim Rios renato.rios_arroba-at_colegiocarbonell.com.br

[1]. Aprendi a entender e analisar certos teoremas e aplica-los no dia a dia, com a Razão Áurea de a Sequência de Fibonacci. [2]. Sem dúvidas. [3]. As aplicações foram surpreendentes, comparações que jamais pensei sobre.
[1]. Aprendi de mais importante sequências e espirais de Fibonacci, e razão áurea. [2]. Com uma palestra tão bem elaborada, não tive dúvidas a respeito. [3]. Uma palestra tão bem elaborada, muito bem explicada, muito interessante. Assuntos tão quanto interessantes.
[1]. Aprendi que a matemática é simétrica e sempre tem um proposito, em tudo. [2]. Não tive dúvidas durante a palestra. [3]. Achei muito interessante e aprendi muitas coisas. Gostei, muito mesmo.
[1]. Descobri a influência da matemática e da sequência de Fibonacci em nossas vidas e na natureza. [2]. O "ф". [3]. A palestra foi interessante e dinâmica, por nos fazer descobrir a sequência de Fibonacci.
[1] e [3]. Já havia lido sobre sequência de Fibonacci na fotografia, porém não sabia o que era. Tentarei usar e identificar em planos e fotografias; consegui ver como a matemática está em tudo. [2]. Se eu supor outro valor para ф a sequência não continua proporcional? O 1,6 é o único número dentre todos?
[1]. A matemática é uma grande influência na natureza. [2]. Não compreendi muito bem "ф". [3]. Continuo a não ser fã de matemática, porém, descobri que é mais interessante do que eu pensava, e já amava a natureza; passei a amar mais ainda.
[1]. Razão Aurea. [2]. Duvidas sanadas. [3]. Pretendo estar ano que vem no IME.
[1]. Aprendi sobre a razão áurea e entender mais sobre a sequência de Fibonacci. [2]. Não entendi muito bem a demonstração da razão aurea. [3]. É incrível ver que é possível demonstrar os conceitos matemáticos, a sequência de Fibonacci é uma delas, muito obrigada pela palestra.
[1]. A vida de Leonardo de Pisa, o que mais ele fez além da sequencia fibonacci. [3]. Muito boa a palestra, melhor do que imaginei, ótimo professor!
[1]. Sequencia de Fibonacci. [2]. As pirâmides possuem algumas dessas propriedades? [3]. Muito interessante as propriedades, leis e sequências aplicados na natureza.
[1]. Diferentes maneiras de ver-se o número de ouro.
[1]. A razão áurea e como ela está no rosto humano. [2]. Qual é a diferença da espiral áurea e da fibonacci? [3]. Por favor, fale de outros padrões matemáticos.
[1]. Aprofundamento nas Teorias de Fibonacci. [2]. Nenhuma. [3] Parabens pela palestra.
[1]. A aplicação da sequencia de fibonate na natureza. [2]. Por que quase tudo tem a espiral logaritima? [3]. Uma muito bom, com bastante informação.
[1]. A sequência de Fibonacci está presente em vários lugares, tanto no universo como no dia a dia.
[1]. Aprendi a reconhecer a Sequência de Fibonacci e realizar as aspirais. [2]. Sem dúvida. [3]. Nenhum comentário.
[1]. Aprendi que fibonacci é legal e que espirais estão em mais coisas do que pensamos. [2]. Quem aplicou os temas abordados na naturesa? Matematica é show.
[1]. Sequência de Fibonacci. [2]. Por que quase tudo (incluindo fora da Terra) possui o espiral de Fibonacci? [3]. Ótima palestra, muitas informações, mas deu para ter uma boa compreensão.
[1]. A Teoria de fibonacci. [2]. Não. [3]. Teoria de Menelaus.
[1]. Aprendi a observar as plantas e suas espirais. [2]. ф. [3]. Quais são todos os países que o senhor já visitou? E Estados?

24. 19/5/17, 2ª parte para alunos do 3º ano A da Escola Estadual Prof. Expedito Camargo Freire (EEECF), Campos do Jordão, {EM}, info: prof. Benedito Mariano msditom_arroba-at_hotmail.com

[1] Aprendi mais sobre o número ф e suas aplicações, sobre a razão áurea. [2] Nenhuma. [3] Otima palestra, bem explicado e um tema bem interessante.
[1] Aprendemos sobre as inspirais. [3] Aula bem produtiva, foi legal em si pois o professor foi bem atencioso e é isso.
[1] Aprendi que a espiral dependendo de qual (Fibonacci) ou pela razão áurea, explicam coisas muito bacanas, e proporcionais no universo. [2] Não teve uma duvida muito grande. [3] Aula muito bacana, e bastante interessante.
[1] A onde pode se ver a espiral logarítmica desde um tornado ate a concha de um caramujo. [2] Se o corpo humano apresenta a espiral logarítmica. [3] Muito bom a palestra do senhor, apesar da falta de respeito de alguns alunos.
[1] Que a matematica mostra como a natureza e completa. [2] Sobre o numero ф. [3] Comecei a gosta de matematica.
[1] Que a matematica tem um lado que poucos conhece mas quela é linda.[2] Nem uma. [3] A aula foi muito.
[1] A observar a sequencia de Fibonacci. [2] Nenhuma.
[1] A proporção que se cresce as espirais. [2] Sobre o número ф. [3] Parabens, otima aula.
[1] A sequência de Fibonacci presente na natureza. [2] Não tive nenhuma dúvida. [3] Explicar melhor sobre a sequëncia de Fibonacci na natureza.
[1] A razão áurea, sequência de Fibonacci na natureza. [2] Não tive dúvida. [3] Achei muito legal a razão áurea juntamente com a beleza feminina.
[1] Sequência de Fibonacci. [2] Razão áurea.
[1] Espiral logaritmica, e a explicação do avião. [3] Muito interessante, parabens!
[3] Aula produtiva, interessante o fato do aspiral no gira-sol.
[1] Que em tudo se tem espiral. [2] Relacão aurea.
[1] Espiral logaritma. [2] Razão de aurea.

23. 11/5/17, para alunos de Licenciatura em Matemática, Física e Química, no Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas (IBILCE) da UNESP, São José do Rio Preto, SP, {EM}; info: Profa. Socorro Rangel socorro_arroba-at_ibilce.unesp.br

[1] Sobre a lei áurea, espiral de Fibonacci, espiral logarítmica. Além da história de como surgiu tudo isso. [2] É possível fazer uma lei áurea negativa e uma positiva a ponto de uma chocar com a outra? [3] Gostei muito da palestra. De início nós queriamos tomar uma cerveja, mas a palestra valeu muito a pena. Obrigado!
[1] Que a convergência para o No. áureo pode ser obtida a partir de dois números quaisquer (diferentes de zero), e não apenas dividindo dois números (maior/menor) na sequência de Fibonacci. [2] Por que a razão áurea é tão frequente na natureza, em situações aparentemente sem qualquer correlação. [3] Aula extremamente dinâmica e inspiradora.
[1] A curiosidade ensina tanto quanto qualquer outro tipo de estudo. Além de ser natural do ser humano normal. [2] Maiores aplicações do número áureo! [3] Ótima palestra. Palestrante sabe e gosta do que mostra. Instpirador! Parabéns.
[1] A história de Fibonacci, e como isso influencia na nossa vida e passamos sem perceber. [2] Como pode ser tão simétrico o nosso corpo. [3] Uma ótima aula, abriu um pouco mais minha mente.
[1] O mais importante que aprendi foi que tudo se desenvolve proporcionalmente, e que, as espirais de Fibonacci estão presentes na natureza. [2] Não ficaram dúvidas. [3] Palestra esclarecedora e perfeita. Parabéns professor!
[1] Espirais logaritmicas, razão aurea, sequência de Fibonacci, além disso, observamos que a natureza possui muitos elementos que tem relação com conceitos matemáticos e nos fazem ilustrar tais conceitos. [3] Achei interessante a aula, pois além de despertar o interesse dos alunos ao assunto, nos fez observar que tudo ao nosso redor tem um significado e que devemos ter curiosidade em aprender.
[1] A proporção aurea e o quão importante é suas aplicações no cotidiano, espirais logaritmicas e a sequência de Fibonacci. [3] Boa aula, bons ensinamentos e bem descontraída.
[1] Analisar os elementos da natureza e enxergar regularidades matemáticas em grande parte deles. A sequência de Fibonacci também foi algo novo e apresentado com clareza. [2] Como de uma simples sequência foram descobertas tantas propriedades. [3] Palestrante demonstrou que tinha domínio do conteúdo e também foi além do assunto tratado, tornando a palestra mais interessante.
[1] A aspiral de Fibonacci Olhar a natureza de uma outra maneira, onde algumas coisas da natureza seguem a matemática como por exemplo: a aspiral de Fibonacci, a sequência de Fibonacci, a razão áurea, e uma espiral logaritmica. [2] Como observar a natureza de tal modo para reconhecer a matemática nela. [3] Palestra muito interessante.
[1] Observar as plantas, o corpo humano, e preservar suas belezas, prestar atenção em suas proporções. [2] Não ficou dúvida. [3] Achei interessante essa palestra, muito cativante, e vou observar tudo a minha volta.
[1] Aprendi por que os aviões voam. Coisas importantes sobre nossos matemáticos. [2] O senhor disse que uma mão é simétrica a outra. Por que então o pé maior que o outro. [3] Amei a palestra.
[1] Além de aprender como é uma espirral, achei fantástico a sequência de Fibonacci e a razão áurea, onde localizá-las e ainda mais na natureza. Foi um conhecimento a mais para mim e me encorrajou a estudar mais matemática. [2] Como o Valdemar conhece tanta "coisa". [3] Vou passar a observar mais a natureza.
[1] Que há matemática em tudo o que vemos e muito sobre Fibonacci. [2] Como a natureza tem todas essas perfeições exatas. [3] Aula sensacional!
[1] As espirais, o No. de φ. [2] Como algumas coisas das naturezas se relacionam à matemática? [3] Palestra curiosa, que também despertou a curiosidade pelas coisas mais simples.
[1] O aprendizado com a natureza, visto como uma maneira matemática de vermos as coisas. a beleza do ser humano com suas proporcionalidades.
[1] Aprendi a relacionar a razão áurea a natureza, ou seja, a forma do corpo humano e a seres vivos, além de relacionar dois conteúdos que até então não havia os interligado que é a sequência de Fibonacci ao número de ouro. [2] Não fiquei com dúvidas expressivas. [3] Aprendi como devo buscar mais informações acerca dos conteúdos temos mais não nos questionamos.
[1] Através do Conceito de Fibonaci e da Regra de Fibonaci sobre espirais a associar conceitos matemáticos (teóricos) no meio natural. Conheci a espiral de Fibonci em si, como também o conceito de razão áurea. Poder verificar o conceito de proporcionalidade. [2] Nenhuma dúvida. [3] Palestra dinâmica e eficaz, didática de fácil compreensão. Tema abordado conveniente e interessante.
[1] A história sobre e por trás da vida de Fibonacci, e a historia dos matematicos. [2] Como sem formam, desde o inicio da vida de um caramujo, seus cascos e sua formação espiral perfeita? [3] Excelente palestra e metodo didático do professor.
[1] Aprendi de mais importante que usando os modelos e segredos da natureza (como as espirais e sequências), podemos avançar muito nas construções e avanços de otimização. [2] Como a casca do caracol cresce? [3] Colocar o vídeo do Pato Donald sobre a proporção áurea [excelente sugestão, será colocado já na próxima palestra; achei o seguinte: https://www.youtube.com/watch?v=h8LuST2p0tk ]
[1] Espiral logarítmica ? espiral Fibonacci. [2] Nenhuma. [3] Comentar sobre o vídeo do Pato Donald sobre o número de ouro.
[1] Proporção aúrea nas construções do passado e na natureza. [2] Por que essa razão se mantem. [3] Acredito que essa demonstração (sobre a razão áurea) deveria ser mais difundida a título de observação.
[1] A proporção aurea e suas aplicações cotidianas. [2] Demonstrações matemáticas (cálculos). [3] Palestra dinâmica e interativa, adorei.
[1] A sequencia de Fibonacci. [2] Algumas coisas eu nunca tinha ouvido falar como φ e fica meio complicado de acompanhar o raciocinio. [3] Palestra bem formada e realizada, bom dialogo e boa explicação. [1] A importância que a matemática tem para tudo, onde por exemplo podemos ver a própria até na natureza. [3] Foi uma ótima aula, onde aprendi diversas coisas, que despertou uma curiosidade em mim.
[1] Desenhar espirais. [2] Por que identificamos padrões? [3] Existem várias perguntas sem respostas. Não há evidência de que as respostas não virão, mas enquanto não temos a resposta só se pode especular. A especulação tem que ser enfatizada como tal.
[1] Phi =~ 1,61. Por que os aviões voam. Fibonacci é infinita. [2] Origem do nome "proporção aurea", também já tinha ouvido falar que é conhecida como "proporção do divino", acredito que seja por que está em muitas coisas da natureza sem uma explicação ("divino"). [3] Quando eu tiver uma filha vou colocar o nome de Sophie, assim ela terá PHI no nome. No geral foi uma palestra muito interessante.
[1] A associar matemática com coisas ao nosso redor, do nosso dia a dia, a natureza. A sequência de Fibonacci. A razão áurea e sua relação com nosso corpo humano. E a relação da espiral logarítmica com nossa vida, que ja aborda uma questão religiosa. [2] Acredito que não tenho dúvida.
[1] Em que existe uma sequencia de numeros onde se relaciona em diversas ações da natureza chamada sequencia de fibonacci. [2] Qual a relação das sequencia de Fibonacci com elementos e corpos? [3] Tudo segue uma ordem seja ela conhecida ou não. [2] Até onde vai esses padrões, essas sequências. [3] Matematica, a linguagem de Deus.
[1] O conceito de espiral e principalmente as ocorrências na natureza. [2] Sobre construção da espiral logarítmica.

22. 11/5/17, para alunos do ensino médio da Escola Estadual Dr. Oscar de Barros Serra Dória, R. Beatriz da Conceição 471, Solo Sagrado, São José do Rio Preto, SP. {EM}; info: Profa. Socorro Rangel socorro_arroba-at_ibilce.unesp.br

[1] Aprendi sobre espirais, conheci fibônate e que em tudo a espirais. [2] Não ficou nenhuma duvida. [3] Achei a palestra muito boa e foi muito importante para mim.
[1] Aspiral aurea. Alogaritico. [2] Sobre os numeros de Fn. [3] Muito interessante, e é um conhecimento a mais não só no corpo humano, mais tambem na natureza.
[1] Espiral aurea, e que a vida (corpo) é uma espiral, uma sequência infinita. [2] Nenhuma. [3] Tinha que ter mais vez, aprendi muito, e gostei.
[1] Que a matematica não é só numeros e uma coisa tão complexas sim que podemos saber ate sobre a natureza. [1] Razão Áurea e sobre a aspiral de Fibonaci. [2] Nenhuma. [3] Achei interessante, pois aprendi coisa nova... Algo que eu não sabia.
[1] A criação de duas espirais com maneira diferentes de iniciação.
[1] A sequência de fibonacci e a razão áurea. [2] Sem duvidas. [3] Muito interessante e informativo.
[Prof.] [1] Difícil definir importância no aprendizado. Tudo foi importante. Creio que entender como se faz/se chega em uma fórmula é importante, mostrar as causas, origens da matemática (ou do nosso conhecimento matemático). [2] São muitas dúvidas. Não porque faltou algo a ser explicado, mas porque o conhecimento leva às dúvidas. Como que o caos gerou tal organização cósmica? Tais belezas? [3] Muito dinâmico. Trouxe para a vida cotidiana padrões complexos que existem...
[Prof.] [1] Aprendi que até na natureza existem padrões. [2] Por que todos têm esse padrão? [3] Abriu minha mente e mostrou uma observação da natureza.
[Prof.] [1] O que ficou de mais importante é que precisamos fazer interdisciplinaridade. É preciso mostrar elementos na natureza! [2] Não ficou dúvida.
[Prof.] [1] Aprendi que tudo é perfeito porque perfeito é quem criou tudo isso: Deus. [Essa divindade não é mencionada na palestra.] Obrigado pois com essa palestra pude aumentar a minha fé no maior artista que há, Deus. [2] São tantas dúvidas que vão surgindo ao passo que se vai tendo respostas, então vamos pesquisar. [3] Obrigado professor, agradeça sempre pelo seu talento.

21. 4/5/17 aula para alunos de licenciatura em matemática, na II Semana da Matemática e Educação Matemática do Instituto Federal de São Paulo, de Campos do Jordão, SP

[1] Como as espirais aparecem na natureza e as curiosidades da matemática. Palestra muito rica. [2] Dúvidas não houve. Palestra muito clara e objetiva. [3] Prof. Valdemar, excelente palestra. Extremamente rica em informações, explanação clara. Divertida, mostrando que a matemática está presente em todo lugar. Parabéns e espero ter a oportunidade de assistir outras palestras.
[1] O que achei mais importante e incrível foi a relação áurea com o rosto humano. Com certeza eu irei observar mais as faces das pessoas. Além disso, achei importante a espiral nas galáxias. [2] O professor explica muito bem, não deixando dúvidas, na minha opinião. Por ser um tempo curto para comentar esse tema esplêndido, achei que faltou comentar da sequência de Fibonacci, um tema pouco comentado nas escolas e, até mesmo, na internt. [3] Professor, peço para que, quando possível, me mande sua agenda de suas palestras/aulas na região de São Paulo e Vale do Paraíba, tenho interesse na parte tecnológica.
[1] Aprendi que a matemática tem mais beleza do que podemos observar noramlemente. Que o professor não pode ser somente racional, pois o mundo não é formado somente de razão. [2] Como me tornar esse professor com o devido equilíbrio entre razão e coração. [3] Excelente palestra, conduzida com maestria pelo professor, com humor, experiência, apresentando Fibonacci de uma forma apaixonante, com vontade de "quero mais, muito mais...".
[1] Abordar a matemática com interdisciplinaridade é um dos caminhos para tornar a aula interessante. [2] Apesar de Fibonacci ter desenvolvido a famoss sequência, para solucionar o "problema da reprodução dos coelhos", ainda indagação que resta é: como tal ideia surgiu no intelecto de Fibonacci. Tal questão é de cunho filosófico, porém é interessante. [3] A palestra foi muito rica, pois vimos uma das aplicações da matemática nas ciências da natureza.
[1] Aprendi sobre a sequência de Fibonacci, razões áureas e muitas outras coisas legais. [2] Não tenho dúvidas. [3] Muito obrigado por os transmitir tantos conhecimentos. Uma palestra maravilhosa.
[1] Admirar a matemática. Ver que a matemática pode estar fora da lousa (como está na natureza) e isso pode tornar o estudo mais interessante. [3] Uma palestra maravilhosa, descontraída, o que não a torna cansativa. Um jeito encantador de abordar um tema TÃO amplo e tão lindo. Obrigada.
[1] Aprendi muito sobre fatos históricos que contextualizaram certos conceitos matemáticos. [2] Existem alguma construção moderna que se inspira na razão áurea? [3] Palestra muito boa, teve interação com o público; não ficamos passivos; linguagem adequada ao público.
[1] Ver a relação da matemática com o nosso meio. [3] Aula muito bem exposta e clara.
[1] Aprender, não sei. Mas sua "Mater Class" me inspirou vários caminhos dentro da matemática, além de ter me despertado muita curiosidade. [2] Há várias, mas precisarei pesquisar para fazer o levantamento dessas questões. [3] Muito obrigado!
[1] A sequência de Fibonacci e sobre a razão áurea, pois isso vai me ajudar muito, pois eram um conteúdo que tinha muita dificuldade para entender. [3] Parabéns pela palestra, pois ficou uma dica para meu TCC e além disso o senhor é muito dinâmico em sua apresentação, no que busca interagir com todos os alunos.
[1] Espirais fibonáticas nas frutas (abacaxi). Convergência da razão de qualquer sequência que segue a regra de Fibonacci. [2] Por que ao invés de fazer apenas uma palestra, não fazemos um congresso fibonático? Ralações de Fibonacci com a Análise Matemática. [3] Estupendo!
[1] A maneira como se diferenciam as mais diferentes espirais, assim como a presença dessas regularidades na natureza. [2] Foi tudo muito claro, não ficaram dúvidas. [3] Palestra maravilhosa, muito construtiva, divertida. Simplesmente amei! Parabens!

20. 10/4/17, 2ª e 3ª séries do ensino fundamental do Colégio Avicena, R. Dona Cesária Fagundes 60, Saúde. São Paulo, SP {EM}; info: profa. Erica Panachuk ericapanachuk_arroba-at_hotmail.com

[1] Um dos aspectos mais interessantes da palestra foi a forma como você demonstrou aspectos e coisas simples em nosso cotidiano e na natureza que não reparamos com relação à matemática; através do arco de Fibonacci e outros princípios matemáticos. [2] A maior dificuldade foi conseguir reproduzir o arco de Fibonacci. [3] Adorei a palestra e me senti honrado em aprender um pouco mais sobre o mundo matemático e sobre o planeta.
[1] Durante a palestra, descobri que a proporção de Fibonacci está presente em quase todos os lugares, em construções feitas pelo homem, ou em lugares/organismos naturais. Aprendi muitas fórmulas e padrões numéricos que poderão ser úteis. [2] Nenhuma. [3] Depois da palestra dá uma motivação para especialisar em matemática.
[1] O que eu aprendi de mais importante além de conhecer mais sobre Fibonacci foi aprender mais da criação da espiral de Fibonacci e Arquimedes e onde podem ser utilizados na natureza. [2] Não me deixou dúvida. [3] Não esperava que ia ficar tão entretida como fiquei e iria me causar tanta curiosidade em saber mais sobre o assunto.
[1] Eu aprendi sobre a sequencia de Fibonacci e suas aplicações; sobre a lei áurea e suas aplicações; espirais logarítimas. [2] Eu não possuo nenhuma dúvida, pois foram exclarecidas durante a palestra. [3] Suas apresentações são intuitivas e bem explicativas, aprendi muito com o senhor, obrigado.
[1] Aprendi sobre sequência de Fibonacci, razão áurea e espiral logarítmica detalhadamente, com atividades, gerando um vasto conhecimento sobre o assunto. [2] Não fiquei com dúvidas. [3] uma palestra bem detalhada sobre o assunto apresentado, com várias curiosidades e exemplos com objetos do dia a dia, tornando o entendimento mais fácil.
[1] A parte mais importante que eu achei foi observar de outra forma as coisas da natureza, não só esteticamente como matemáticamente. [2] Uma Dúvida que ficou foi como a natureza segue sempre tão semetrica. [3] Eu gostei muito da aula, achei bem interativa, diferente e engraçada. Uma ótima oportunidade.
[1] Aplicação e explicação do número de ouro na natureza. [2] Como criar uma imagem usando a proporção áurea. [3] Gostei muito do dinamismo da palestra e das diferentes exemplificações de onde é ou não usado o número de ouro.
[1] Como a natureza é matemática. [2] Como a natureza pode ser tão matemática? [3] Ótima aula, muito interessante.
[1] Que em varias coisas há o número de ouro encobrido. Que as pessoas são simetricas. Aprendi que ainda tenho muito o que entender para me aperfeiçoar ao que eu já aprendi.
[1] A importância da sequência de Fibonacci, do Nº de ouro, razão áurea e etc. [2] Um pouco sobre a razão áurea. [3] (1) Achei muito interessante a palestra. (2) Os exemplos. (3) A explicação. (4) Exercícios dados.
[1] Como a sequência de Fibonacci e a Razão Áurea estão presentes em grande parte das coisas. [2] Como se faz uma espiral tão bonita?
[1] Como a sequência de fibonate é incrível. [3] Adorei a palestra, muito produtiva!
[1] A sequência de Fibonacci e a história dela. [2] Não ficou nenhuma duvida aparente. [3] Foi muito interessante, por que realmente não sabia disso.
[1] A "sequência de Fibonacci" está presente em diversas áreas e estão sempre descobrindo novas funções. [2] Não tenho duvidas. [3] Espiral em varias áreas surpreendentes.
[1] O mais importante foi conhecer mais sobre a história do surgimento dos cálculos que usamos e vemos no dia a dia e não percebemos que ela está ali. [2] Minha dúvida é saber o porque que a natureza segue dessa forma, é muito insano. [3] Achei muito legal e interativa pois tivemos a oportunidade de aprender a desenhar a espiral.

19. 10/4/17,para alunos da 1ª série do ensino médio do Colégio Avicena, R. Dona Cesária Fagundes 60, Saúde. São Paulo, SP {EM}; info: Erica Panachuk ericapanachuk_arroba-at_hotmail.com

[1] Espirais estão em muitas coisas do dia a dia, principalmente na natureza. [2] A regra de Fibonacci. [3] Eu estou meio fascinado por espirais.
[1] A matemática está presente em nosso dia a dia, não só em números mas também na beleza das coisas. [2] Onde a sequência e a espiral de Fibonacci se encontram? (O que têm em comum?)
[1] Regra de Fibonacci foi o mais importante. [2] A descoberta de ф. [3] Otima exploração no meio historico matérias.
[1] O que aprendi de mais importante foi pode saber que a razão áurea pode estar em todos os lugares. [2] Felizmente eu não tive dúvidas pois entendi tudo. [3] O professor é um gênio e tem meus parabêns pelo trabalho excelente não deixando duvidas.
[1] O que aprendemos é a importância da leitura e atenção nos detalhes. [2] O que tive mais duvida foi a sequencia de Fibonacci e o ф. [3] Belíssima apresentação e explicação.
[1] As regras e Fibonacci e o numero ф(ou razão áurea). [2] Não fiquei com duvidas. Somente nas regras de fibonacci pois é um pouco complicado. [3] Você é muito divertido inteligente professor valdemar é o senhor explica muito bem.
[1] Sobre as proporções aureas e a regra de fibonacci que esta em quase tudo. [3] Eu gostei da palestra, e acho que vai me dar uma visão melhor das regras matemáticas.
[1] Em tudo possuímos razão áurea. Exemplos: cartões magnéticos. Na natureza o abacaxi por exemplo possui números da sequência de fibonacci. [2] Por qual motivo a natureza possui a espiral ou a sequência de Fibonacci? [3] Gostei da aula, produtiva.
[1] Que a matematica e seus padrões estão presentes em praticamente tudo. [2] A regra de Fibonacci. [3] A lousa [eletrônica] confunde todos os professores mesmo.
[1] As espirais de Arquimedes, Aurea, logaritima. [2] Sequencia de Fibonacci. [3] Muito bom as explicações, o jeito de falar, achei muito interessante.
[1] O que aprendi de mais importante foi a ordem de fibonacci. [3] A aula foi muito boa, o professor foi bastante atencioso e explicou tudo nos minimos detalhes.
[1] Espirais logarítimica, regra de Fibonacci, razão Áurea e Aspiral de Arquimedes. [2] E nada, pois ele é um ótimo professor. [3] Matematica está presente em tudo.
[1] Sequência de Fibonacci. [2] A conta de ф. [3] Foi uma palestra muito boa e interessante. O senhor é muito legal.
[1] Aprendi que na matemática se fomos analisar bem principalmente na natureza, podemos encontra regra de Fibonacci ou então a razão áurea. [2] Não ficou restando nenhuma dúvida.
[1] Que na maioria dos lugares ou objetos é até pessoas tem proporção e seguem a razão áurea. [2] Como podemos saber se o determinado lugar que eu olho existe a lei aurea. [3] Muito bom principalmente a parte de ф[resto ilegível].
[1] O que aprendi de mais importante foram as espirais, como a de Fibonacci, ou a de Logarítmica e na palestra também aprendi sobre a Regra de Fibonacci. [2] A minha maior dúvida foi de como contar quantas espirais tem de cada lado. [3] Achei a aula super-interessante, engraçada, dinâmica, e bem completa. Aula excelente.

18. 19/3/17, com o título "Matemática, natureza e espiritualidade" para membros do grupo de estudos de Antroposofia dirigido por S.A.L. Setzer e para participantes do Ramo Rudolf Steiner da Sociedade Antroposófica no Brasil, São Paulo, SP

[1] Reconhecer as diferenças entre as espirais, biografias e as aplicações matemáticas. [2] Esse conteúdo é impossível ser aplicado na escola pública, pois os alunos não conseguem fazer cálculos básicos. Mas com a observação da natureza é um caminho. [3] Entusiasmo e conhecimento de quem ensina. As realidades e as aplicações.
[1] Despertou meu interesse em encontrar a lógica/sequência em elementos da natureza. [3] Parabéns e obrigada! Tentarei despertar/incentivar esse olhar em minhas filhas.
[1] O mais importante é continuar observando a natureza. [2] A passagem de um conjunto de normas e definições para o fenômeno da vida. [3] Sempre um privilégio acompanhar o raciocínio de uma pessoa tão brilhante como o senhor e agradecer o seu compartilhar
[1] Perceber a matemática na natureza, perceber as proporções. [2] Em relação às fórmulas (dificuldade minha). [3] Excelente ter a geometria
[1] Compreendi ordens e estruturas matemáticas que se representam no corpo humano. [2] Como eu associo a noção da espiral logarítmica/razão áurea à atuação do medicamento para o ser humano? (Abriu esse meu interesse!) [3] Adorável aprender matemática assim
[1] A matemática ajuda a reconhecer as proporções que existem na natureza. Ajuda para acessar a consciência imaginativa. [2] Outras fórmulas da matemática e sua aplicação na natureza
[1] Como desenhar as espirais de forma mais simples. [2] Alguns cálculos que preciso de uma pouco mais de tempo para entender. [3] Gostei muito
[1] Aprendi que há uma unidade em relação homem/natureza e seu desenvolvimento. [2] Em relação à meditação do desenho da espiral e dos números da sequência de Fibonacci: ao meditar os números, preciso de um pensamento mais "físico"? Para imaginar os números como símbolos. [3] Aprofundar o ponto de vista das direções das espirais em relação aos polos da Terra (horário e anti-horário)
[1] Juntar a espiral à meditação. A ilustração da palestra com a história, desenhos, objetos e a alegria do professor. [2] As equações ... matemáticas. A explanação no todo foi bem didática e vivenciada. Gostei muito. [3] 1. Aplicação na vida prática e natureza. 2. Gostei dos slides com fundo em aquarela, descansam os olhos. Parabéns
[1] A quantidade incrível de leis derivadas da sequência de Fibonacci. [2] Quando o ser humano começou a representar o pensamento matemático por meio de fórmulas? Quando o ensino da matemática se "perdeu", ao privilegiar o ensino por meio de fórmulas em detrimento da vivência?
[1] As biografias. [2] Triângulo: b/h. Reação de alunos Waldorf vs. alunos de escolas convencionais. [3] Obrigada!
[1] As espirais como "lei" cósmica. [2] Não fiquei com dúvidas. [3] Gostei muito da palestra
[1] Como entre pequenas coisas o homem, a natureza, o universo, estão conectados. [2] A dificuldade de uma pessoa em entender matemática pode ter a ver com a falta de "pensamento objetivo" dela? E se ela treinar mais a matemática poderá desenvolver esse olhar mais "objetivo"
[1] Crescimento em múltiplos campos são a base da sequência de Fibonacci. [2] A questão se esse tipo de crescimento "natural" é o de máxima economia ou eficiência. Escala musical, por que não Fibonacci? Sólidos platônicos, pentágono etc. -> Fibonacci alguns. [3] Esclareceu os temas que eram meio conhecidos anteriormente
[1] Consciência imaginativa está no nível da cognição matemática. [2] Impactos da nova grade curricular no desenvolvimento do estudante, praticamente excluindo exatas das carreiras de humanas.

17. 6/3/17, aula para alunos do 3^o ano B do ensino médio da Escola Estadual Expedito Camargo Freire, em Campos do Jordão, SP {EM}; info: prof. Benedito Mariano (diretor) msditom_arroba-at_hotmail.com

[1] Aprendi mais sobre geometria, formas [2] Minha dúvida ficou um pouco na espirais [3] Aula boa, professor explica bem, quero mais ter aula assim.
[1] aprendi varios lados da matemática e que ela pode ser muito interessante. [2] creio que não ficou nenhuma duvida. talves um pouco de curiosidade. [3] Achei super interessante, curiosa e mi mostrou que a matemática pode ser interessante.
[1] A sequencia de Fibonacci razão Àurea espiral Fibonacci. [2] Só um pouco sobre o (ф). [3] Gostei muito agora vou observar mais a natureza.
[1] Sequência de Fibonacci, em muitas coisas achamos a espiral [2] No começo tive bastante, conforme a aula perdi as dúvidas [3] Gostaria de outra aula
[1] Aprendi que quase tudo ao nosso redor gira em torno da razão áurea e Fibonacci. [2] Sobre como as coisas como por exemplo nossas mãos podem crescer exatamente iguais. [3] A aula foi muito legal.
[1] Aprendi sequência de Fibonacci, espirais logaritimica, razão áurea [2] Nenhuma [3] Aula interessante, com grande acrescimento para o nosso dia a dia, e um impulso para nós vermos como há coisas interessantes na matematica.
[1] na sequência de Fibonacci cada um é a soma dos dois anteriores. Segundo Bernolli a espiral logaritima pode ser usada como simbolo para o corpo humano A espiral áurea se encontra também na natureza e no corpo humano. [2] nenhuma, compreendi a matéria durante a aula. [3] Bom, eu gostei muito dessa aula, foi muito prática e envolvente, consegui entender toda a matéria.
[1] Conheci a medida da divisão aurea e aplicação na espirais, e mais algumas espirais e como ela se encontra ao nosso redor [3] Conheci algo novo, gostei.
[1] aprendi de como a matematica vai alem de contas e formulas. [3] maravilha de materia.
[1] Aprendi a sequencia de Fibonacci, razão áurea e espirais logarítmicas [2] Nenhuma duvida
[1] Toda a natureza é matemática [2] Nenhuma
[1] Aprendi sobre sequência de Fibonacci, a espiral e a razão Áurea. [2] Só na hora de calcular. [3] Com esse aprendizado passarei a admirar a natureza e a prestar atenção em coisas tão pequenas mas importantes.
[1] Aprendi sobre a sequencia de Fibonacci e sua importância em praticamente tudo a nossa volta e a espiral aurea também presente em nossa vida. [2] Fiquei um pouco confusa na hora de calcular. [3] A razão aurea é muito interessante e está presente até mesmo na natureza.
[1] foi a sequência e a aspiral de fibonacci. [2] não tive nenhuma dúvida [3] amei a parte em que foi falado das plantas, pois eu nunca sabia que elas tem uma sequência.
[1] Que a espiral área se encontra também na natureza e no corpo humano. [2] Nenhuma, conforme a aula foi entendendo. [3] Achei interessante a aula.
[1] Sobre a razão Aurea e sua presença na vida [2] Um pouco sobre o ф. [3] Aula bastante produtiva
[1] A cimetria dos seres e que ha matematica em tudo [2] Por que quase tudo tem ispiral
[1] O que aprendi de mais foi a sequencia e a espiral de Fibonacci. [2] Fiquei meio confusa com alguns espirais. [3] Gostei muito desta aula, pois ganhei bastante conhecimento.
[1] A sequencia de Fibonacio razão Áurea. Espiral fibonacio. [2] Só sobre ф. [3] Sem pronúncias [?]

16. 1/2/17, palestra para professores de matemática e física, e coordenadores pedagógicos na Escola Estadual Expedito Camargo Freire, em Campos do Jordão, SP {EM}

[1] A quantidade de propriedades existentes na sequência de Fibonacci. As curiosas simetrias e proporcionalidades existentes na natureza. [2] Será que Fibonacci observou a natureza para formar a sequência ou são puras coincidências? [3] A partir de hoje passo a ter uma nova visão desse conteúdo, quase nunca trabalhado no ensino médio, e com certeza passarei a aplicá-lo nas minhas aulas.
[1] Caracterização histórica, biografia de Fibonacci, ..., construção de figuras sem uso de material (compasso, esquadro); admirar a natureza a partir da matemática. [3] A aula discorreu com prazer. A didática do professor foi adequada, contextualizando o conceito às informações históricas e, especialmente, à diversas situações atuais (aplicabilidade). Os exemplos, slides e materiais diversos despertaram interesse e curiosidade. As amostras das espirais na natureza foram bastante interessantes.
[1] Que a matemática pode ser cativante para os alunos, quando abordamos o contexto histórico e sua relação com a natureza. [3] Parabéns pela maneira que apresentou o conhecimento e pelos recursos que foram utilizados, e principalmente, por nos fazer colocar a "mão na massa".
[1] Aprendi algumas técnicas que irei usar em minhas aulas. [3] A palestra foi excelente, parabéns professor. Gostaria de mais informações sobre o mestrado e curso na área.
[1] A simplificar a explicação de um conteúdo através do concreto. [3] Parabéns pela palestra, obrigado.
[1] Descobertas de propriedades relacionadas com a sequência de Fibonacci. [3] Magnifica a espiral logarítmica, construida à partir de uma P.G. (números de uma seq. que forma uma P.G.)!
[1] A relação da matemática com as outras ciências (humanas e biológicas), a matemática escrita de formas diferentes em equações e figuras. Mostrar que seu desenvolvimento tem um autor. [3] A escrita, o desenvolvimento desta ciência e sua evolução, a continuação dos estudos em outra aplicações ou forma até os dias atuais muito boa apresentação.
[1] A relação estética da natureza/criação com a razão áurea. Logo, quanto mais relações ou busca por respostas, mais questionamentos encontramos. [3] Buscar uma explicação lógica para a origem da relação estética na proporção áurea.
[1] Relação da natureza e matemática. [2] Não houve dúvidas, mas sei que é necessário muito estudo para apropriar desses conhecimentos. [3] Há um encantamento sobre esse aprendizado. Parabéns professor!
[1] Aprendi que não é necessário sempre a matemática para provar a beleza da natureza, simetria leva à perfeição. [2] A maior dúvida foi como contar a simetria no abacaxi. [Não foi a simetria, foi o numero de espirais. VWS] [3] Gostaria de parabenizar esse gesto tão bonito de dividir o conhecimento conosco.
[Professor de filosofia, assistiu apenas a segunda parte] [1] Certa compreensão da Teoria de Fibonacci (não a conhecia). Uma resposta a questões platônicas (geometria e filosofia). Razão áurea. [2] Diante da exposição lúcida, racionalista e traumática [?] ainda há a necessidade de um "Deus da Lacuna [?]" na brilhante exatidão da natureza(physis)/cosmos? [3] Parabens pelo seu conhecimento, didática e entusiasmo. Não sou da área de exatas, mas tive compreensão razoável da sua aula. Infelizmente perdi o início, queria ter visto algo dos Onfilos, Pitagóricos ou da Academia Platônica (Arithmos. Homohomerias).
[1] Demonstração do aparelho que mede a projeção áurea e a facilidade de manuseio. [2] Me perdi um pouco em como contar as espirais e identificar a sequência de Fibonacci. [3] Achei maravilhosa a palestra e me inspirou para a aula que irei ministrar com relação a isso e talvez até uma ideia para eletiva ou aula interdisciplinar.

15. 9/11/16, aula para 3 3^as séries da Escola Estadual Cardoso de Almeida (EECA), Praça Professor Pedro Torres s/n, Centro, Botucatu, SP {EM}

[2] Não ficou duvida o palestrante foi bem claro tirando todas. [3] Me interessei mais sobre matematica e prefiri seguir a carreira.
[1] Aprendi sobre a sequência de Fibonacci como calcula-la e onde ela pode ser utiliza-lá na matemática. Vi que a razão áurea é importante em estruturas como alguns monumentos da Grécia e Itália, tendu como formações os retângulos áureos. [2] A maior dúvida para mim, foi entender um pouco das funções e fórmulas. [3] Achei uma palestra muito boa e muito importante, que abordou tópicos interessantes da matemática. Foi apresentada de forma excelente.
[1] Aprendi novas fórmulas de cálculo e que ele está presente em toda nossa vida. [3] Achei interessante e de uma certa forma divertido.
[1] Novas fórmulas, maneiras mais simples de se resolver problemas matemáticos e que posso levar para a vida. [3] Muito divertido, interessante, legal, importante.
[2] Sem dúvidas, com muita atenção deu para compreender a matéria.
[3 alunas juntas] [1] Aprendemos que a matemática não é apenas números, ela está em tudo que conhecemos, desde a escrita, até a biologia. [3] Foi uma palestra incrível, e muito interessante, apesar de ser difícil manter vários adolescentes juntos e em silêncio, conseguimos prestar atenção e aprender um pouco mais. Obrigada!
[1] Aprendi sobre a primeira teoria a segunda sobre a esperais logaritmica e arquemes [Arquimedes] que cresce constante. [3] Aula muito produtiva, obrigada.
[1] Sequencias logicas na vida. [2] Isso ocorreu na musica tambem? Seguindo a logica de oitavas de aristoteles. [3] Aula excelente.
[1] A sequência que não conhecia. [2] Do padrão que a natureza segue. [3] Acho que faltou organização da escola, mas o conteúdo foi muito bom. Obrigada.
[1] Aprendi a desenvolver melhor a matemática. [3] Eu adorei a aula por completa. [2] Porque a natureza obedece esta sequencia? [3] Ampliei meus conhecimentos e notei o quão a matemática é importante e encontrada no dia a dia.
[2] Por que a sequência se encontra na natureza. [3] Muito interessante saber que essa sequencia, relativamente simples é tão versátil.

14. 22/10/16, para alunos de licenciatura e professores de matemática, e alunos ou profissionais de outras áreas, no Centro de Aperfeiçoamento do Ensino da Matemática (CAEM) do IME {EM}; info: caem.ime arroba-at gmail.com

[1] Que por menor que seja, a vida parece ter uma matemática percebida por nossas gerações passadas, e com o tempo foram perdendo. [2] Onde eu estava ou me encontrava, que não busquei esse conhecimento antes? O mundo faz mais sentido. Incrível, e esclarecedor. [3] Muito obrigado por hoje, sou educador físico ainda em formação, e tive uma base medíocre no ensino médio, mas hoje você me mostrou que é possível!
[1] A importância da demonstração da Sequência de Fibonacci em elementos na natureza, dessa forma não utilizando apenas o lado teórico. [2] Apesar de meu curso ser de licenciatura em matemática, achei que as outras pessoas que não são do curso sentiram dificuladades quando foi necessário as demonstrações das fórmulas. [3] Gostei muito desse tema pois mesmo que esse assunto não faça parte do currículo, podemos utilizar muita matéria.
[1] Eu aprendi que tudo, a natureza, o corpo humano são maravilhas. Ambos possuem um mistério; o corpo humano inteiro possui diversas espirais aureas e isso é incrível. As plantas, a natureza possuem uma simetria fantástica. Tudo envolve matemática. Outra coisa que achei interessante foi a história de Fibonacci e outros matemáticos. [2] Como essa proporcionalidade e simetria tão fascinantes é transmitida pela natureza? [3] Aula bem interessante. Como tudo está ligando à matemática! Fantástico.
[1] Relação entre a proporcionalidade entre Fibonacci e o retângulo áureo, e as diferesidades que podemos encontrar na natureza. [2] A relação de proporcionalidade entre os ângulos [a dúvida deve ser sobre semelhança de triângulos]. [3] Uma parte da matemática que infelizmente não é explanada em sala de aula e que poderia inovar a mente das nossas crianças.
[3] A natureza é realmente incrível.
[1] Aula muito fantástica, aprendi como a matemática está Introduzida na Natureza. Aprendi a olhar nosso ambiente de forma diferente. Olhar contemplativo. [2] Dúvida? Não consigo observar pois a aula foi muito bem aproveitada. Fica o querer mais. [3] Parabéns por esse proveito [?] de estudo. Não tenho partes negativas. Ampliar as aulas.
[Este participante tem um doutorado na área de biociências, e fez os comentários em cima de uma espiral meio logarítmica] [1] Ter inspiração. [2] Por que não admiramos a natureza? [Minha resposta: porque nos afastamos dela e a encaramos apenas como matéria] [3] Aula inspiradora.
[1] Pode-se desconfiar/concluir que a lógica da espiral de Fibonacci também se repete nos corpos dos animais? [3] Achei interessante os desenhos que foram feitos por nós, o vídeo e os desenhos [devem ser as ilustrações projetadas]. Interessante relacionar beleza (cognitivo) com proporções (matemática/padrão).
[2] A dúvida é com relação ao por que determinadas estrururas na natureza se desenvolvem com a proporção áurea. [3] Aula fantástica.
[1] Aprendi a relacionar um conceito à realidade, como observar a Regra de Ourro/Fibonacci à natureza. [2] Não houve dúvidas. [3] Acredito que a perfeição da simetria de Fibonacci segue uma inspiração espiritual, ou seja, Fibonacci teve uma inspiração Divina de como Deus fez o mundo ou como poderíamos criá-lo.
[2] O que faz elementos da natureza seguir uma proporção. [3] Ótima aula.
[1] A interdisciplinaridade da matemática, a relação entre a matemática e a natureza. [3] Propor outras atividades que os alunos possam ter com o tema.

13. 13/9/16, para alunos das 3 3^as séries da Escola Técnica de Francisco Morato, Francisco Morato, SP {EM}

[1] Aprendi sobre as sequências numéricas criadas por Fibonati, que está presente em todo o nosso cotidiano, aprendemos também um pouco de arte, provando que há a possibilidade de interligar disciplinas. [2] Todos argumentos foi muito bem apresentados, provando portanto que não ficou dúvidas. [3] A aula (palestra) foi muito boa e cheio de informações. Gostei muito e agora vejo a importância da matemática e suas aplicações no cotidiano.
[1] A matemática pode ser aplicada em diversas áreas da nossa vida. [2] Quanto tempo é preciso para chegar nessas conclusões tão completas? [3] Mesmo não gostando de matemática, achei a palestra muito informativa, pois aprendi diversas coisas da qual eu não sabia.
[1] Aprendi a imensidão da matemática e a sua profundidade a partir do conhecimento da espiral áurea e da sequência de Fibonacci. Percebe-se que na matemática tudo tem uma explicação. [2] Nenhuma. A explicação do senhor foi ótima! [3] Muito obrigada, Professor aprendi muito. Continue este seu trabalho. Gostei demais de toda palestra. Sucesso em sua profissão. Espero ter contato com o senhor na USP!
[1] A matemática para ser compreendida não é necessária a utilização de teoremas, teses extremamente complexas de se compreender. De um simples desenho de retângulos pode se chegar à teóricos como Fibonacci e compreender uma ordem magnífica de perfeição na natureza. [2] O palestrante soube explicar bem. Vejo que o maior problema foi que nós muitas vezes não conseguimos acompanhar seu raciocínio. [3] Vejo que foi muito pertinente por mostrar a matemática na natureza.
[1] Que os números não são abstratos, eles aparecem na natureza e no corpo humano. Existe poesia na matemática! [2] Como fazer as proporções de Fibonacci? [3] A matemática apesar de complexa, compreendê-la é algo fascinante, que nos faz ver que ela está em tudo.
[1] Que a matemática possivelmente possui infinitas aplicações e não se limita a aplicação escolar ou meros cálculos cotidiânos. [2] Como a natureza é capaz de ser tão fabulosa? [3] Simplesmente fantástico.
[1] A razão é de total importancia na sociedade, aplicada de um calculo até o corpo do ser humano. [3] Uma importante aula que me ensinou a ver de uma outra perspectiva.
[1] Que a matemática está presente em tudo, inclusive na natureza, que muitas das vezes passa desapercebido por nós. [2] A maior dúvida é em relação ao entendimento dos cálculos. [3] Boa aula e uma didática interessante.
[1] Triângulo de Pascal. Amortecimento exponencial. Espiral de Arquimedes. Sequencia de Fibonacci. Proporções áureas. ф= 1 + 1/ф. 0,618. [2] Como funciona o triângulo de Pascal. [3] Uma importante aula de um excelente professor, grandes coisas aprendidas sobre Fibonacci, Fídias, etc.
[1] Sobre a espiral de Fibonacci e como ele revolucionou nos cálculos com seu livro, junto com sua estátua na sua Itália. [3] A palestra foi muito interessante e interativa, abordando a matemática em si de forma descontraída.
[1] Que a natureza usa a razão aurea. [3] Palestra incrível!
[1] Aprendi de mais importante sobre a sequência de Fibonachi e como ela se encaixa no inesperado. [2] Sobre a equação de ф. [3] Adorei a palestra. Inovador. Surpreendente.
[1] As varias aplicações da Sequência de Fibonacci. [2] Na construção do Triângulo de Pascal. [3] Aula excelente e muito dinamica, com uma ótima explicação.
[1] Utilizar a sequência de Fibonacci para manter equações que facilitem os cálculos. Utilizar a proporção áurea. [2] Como calcular as informações obtidas através da Sequência de Fibonacci. [3] Deveriam ser realizadas mais palestras como essa, pois as informações dadas são interessantes e com certeza acrescentam conhecimento.
[1] Sobre a sequência de Fibonacci, como é entendida e como podemos encontra-lá em vários lugares. [3] Criativo e muito interessante.
[1] As razões Áureas e proporções Áureas, que inclui tambem um olhar da espiral de Arquimedes e sua aplicação na natureza e outros campos no dia-a-dia. [2] As sequencias lógicas. [3] Excelente aula, abordando a matemática de uma forma ampla e diversificada.
[1] A capacidade de aplicar a Razão Aurea basicamente em tudo (inclusive o corpo humano) e sempre obter o resultado esperado. [3] Achei incrível a maneira como foi abordado o tema fazendo com que os alunos prestem mais atenção.
[1] A presença de Fibonacci no triangulo de Pascal e da utilização do triângulo na construção dos produtos notáveis. [3] Achei importante esse projeto, pois mostra um outro lado da matemática, da que é apresentada na sala de aula.

12. 14/6/16, para alunos dos 1^os e 2^os anos do ensino médio da E.E. Carlindo Reis, R. Juvenal Guerra 137, Ferraz de Vasconcelos, SP, (11) 4678-2755, info: Prof. Robson Fernando dos Santos, obu82_arroba-at_hotmail.com, SP, {EM}

[1] O mais importante que eu aprendi foi a representação da razão áurea, a sequência de Fibonacci, na natureza e no corpo humano. Com isso podemos admirar ainda mais a natureza. [3] Queria que tivesse mais aulas como essas, queria também que os conteúdos aplicados na escola fossem assim.
[1] Qual a maior maravilha física na natureza? O corpo humano.
[1] Sobre a aurea insipiral de Fibonacci nunca tinha tido contato assim, e essa aula serviu para confirmar a importância da matematica. [3] Gostei muito apesar de ser de humanas, me interecei.
[1] Aprendi que essas espirais que aprendemos hoje são medidas que existem em todos os lugares, inclusive na natureza. A perfeição natural está sempre lá para nos ensinar. [3] Achei muito interessante a ideia desse programa para ensinar os alunos da rede publica novas informações. Obrigada!
[1] Sobre a espiral e também sobre Fibonacci e também sem se esquecer que é aurea espiral no nosso corpo. [2] Não houve dúvidas, a palestra explicou tudo. [3] Adorei! Ele explica muito bem e com bom humor.
[1] Espirais, sobre pessoas importantes e suas descobertas, razão aurea. [2] Um pouco sobre espiral logaritmica. [3] Gostei muito da palestra que tenho certeza que me ajudará muito.
[1] Eu achei muito importante a espiral logarítmica, pois ela está presento no nosso corpo humano, e principalmente na natureza. Isso, com certeza levarei para o resto da vida. [3] Parabéns professor.
[3] A aula foi muito interessante e prestativa.
[3]A aula foi muito produtiva e bastante conhecimentos novos.
[3] Gostaria que tivesse novamente.

11. 9/9/16, para alunos e docentes do Instituto de Ciências Exatas, no prédio CIC/EST (Ciência da Computação e Estatística) da Universidade de Brasília, Brasília {EM}

[1] Como a matemática está mesmo onde a gente não espera, às vezes por causa da própria natureza, às vezes pela admiração do homem pela natureza. [2] Como surgem essas proporções em diversas coisas. [3] Achei bem interesssante a palestra, com explicações históricas, onde se encontram, e como atingir essas proporções. As explicações também foram muito calaras, não tive dúvida com nada.
(Estudante de arquitetura) [1] A sequência de Fubonacci pe totalmente incrivel, onde pela matemática é possível provar as belezas e os padrões que se encontram na natureza. E de tal forma, que aquilo que é bonito e aplicaod, como na pintura, arquitetura etc. A relação áurea está presente no corpo humano. A proporção que faz presença na sulhueta, no rosto humano. [2] Não diria que houve uma maior dúvida, mas que, devido à minha área de estudo, não compreendi muito bem. [3] Gostei muito da palestra. Uma pena que não apareceram muitas pessoas, e alguns poucos que estavam foram embora. Meus parabéns.
[1] Que há mais algumas propriedades dos números de Fibonacci [além das] que eu já conhecia e da importância dele não só pela sequência de Fibonacci. [2] Nenhuma. [3] Uma excelente aula para a Licenciatura em Matemática.
[1] Posicionamento histórico dos autores de descobertas matemáticas, em especial Fibonacci. [2] Como a natureza consegue seguir algo como a lei áurea? Não pode ser apenas um chute do ser humano para ver o que agrada? [3] Ótima forma de posicionar a matemática em frente ao mundo.

10. 11/6/16 no CAEM, Centro de Aperfeiçoamento do Ensino da Matemática do IME-USP, Cidade Universitária, São Paulo, para 11 professores de matemática, 3 alunos de licenciatura em matemática e 2 curiosos; info: caem.ime_arroba-at_gmail.com

[1] Além de inúmeros fatos histórico-culturais e curiosidades sobre a sequência e a espiral de Fibonacci, também aprendi outras espirais, como a de Arquimedes e a logarítmica, bem como novas metodologias para ensino de sequências, convergência, geometria etc. [2] Sobre a aula, não restaram dúvidas, embora tenha gerado questionamentos sobre elaboração de novas formas de ensinar determinados tópicos de matemática, assim como elaboração de sequências didáticas partindo dessa temática abordada. [3] Tema interessante e riquíssimo tanto sobre os aspectos matemático e didático quando histórico e cultural.
[1] A ocorrência da razão áurea na natureza. [2] Será que há mais propriedades nessa razão? [3] Esta oficina mudou muito o meu jeito de enxergar a natureza.
[1] Técnicas de demonstração; curiosidades de Fibonacci; razão áurea; aplicações e ocorrências muito interessantes; existência dos Embaixadores da Matemática. [2] Dúvida não ficou, mas acredito que existe muito mais a aprender. [3] Muito bom todo o desenvolvimento da oficina, traz muito conhecimento, curiosidades e prende a atenção de qualquer um. A história envolvida nos tópico
[1] Inspiração! Eu reforcei a minha crença na necessidade de apresentar para os alunos a "aplicação" da matemática em nossas vidas. E gostei muito, também da forma "tranquila" e passo a passo como as fórmulas foram apresentadas. Ficou tudo muito claro, facilitando a compreensão. [2] Existe alguma relação entre as espirais logarítmicas e os fractais?
[1] Aprendi várias curiosidades e conhecimentos históricos da matemática. [2] Qual a razão da natureza, de uma forma em geral, manter a razão áurea? [3] Gostei da oficina, das curiosidades, das origens de termos históricos, da história da matemática.
[1] Que uma aula participativa desperta mais interesse, aumentando assim o aproveitamento do assunto. [2] Como se manter informado e motivado para propor bons temas para uma aula? [3] Parabéns por propor e tratar com clareza um tema pesado.
[1] As relações que envolvem a razão áurea; as proporções presentes na natureza. [2] Demonstração pela fração contínua. [3] Achei enriquecedor unir a história com a matemática e envolver durante a aula/palestra assuntos diversos que cultivam nossa curiosidade e vontade de aprofundar sobre o assunto abordado. Parabéns.
[1] Aprendi que por meio de alguns assuntos aparentemente abstratos, é possível instigar a curiosidade dos alunos e que a sequência de Fibonacci/razão áurea seria um bom assunto para isso. [2] Não me restaram dúvidas, mas gostaria de me aprofundar mais sobre o assunto. [3] A oficina foi muito construtiva para minha formação como futura professora.
[1] As características naturais das razões áureas, encontradas em todos os seres vivos, e a matemática exponencial e logarítmica que apresentam proporções aproximadas. [2] A distribuição que chega quase à perfeição dos conjuntos durante as divisões celulares ao longo da vida. [3] Aula enriquecedora, com merecida continuidade, espero oportunidade para participar sempre.
[1] Aprendi mais detalhes do que é a razão áurea, e a regra de ouro. [3] Esta oficina aumentou o meu interesse em pesquisar mais sobre este assunto que é tão rico e aparece em tantas criações do homem e na natureza.
[1] Como a proporção está na natureza. [2] Como relacionar a espiral logarítmica à espiral de Fibonacci. [3] Muito boa e interessante a aula.
[1] Aplicação no universo e em seres humanos da criação usando a matemática (geometria, natureza, vegetais). Como simplificar as explicações e exposições matemáticas para os alunos do ensino médio. [2] A explicação da existência da espiral; "quem criou isso!!!" [3] Excelente.
[1] Que o corpo humano tem razões áureas e geométricas que explicam o mesmo, além disso, essas razões e espirais estão presentes também na natureza. [2] De onde vêm essas espirais e porque existem? [3] Podemos ver coisas incríveis da geometria e espirais no corpo humano e na natureza. E o mais incrível, a razão áurea no corpo humano, podemos ressaltar a espiral de Fibonacci na orelha. Com isso fica a dúvida: seria a matemática a explicação do corpo humano, da natureza e do universo?
[1] A ligação da teoria com a prática; a evolução matemática dentro da história; a ligação da matemática com a natureza. [3] Aprendi com os erros e com os acertos.

9. 9/6/16 no Colégio Renascer de Sorocaba, SP, para as duas classes do 3º ano do ensino médio (info: Profa. Cristiane Sanches cristiane.sanches_arroba-at_hotmail.com {EM}

[1] Aprendi a realçar ainda mais a presença da matemática nas demais disciplinas e no próprio cotidiano, contando com uma abrangência sem igual. [2] Sem dúvidas! [3] Excelente performance do palestrante.
[3] Palestra muito legal e ajudou-me a entender melhor a matemática. [1] Que a beleza tem haver com a razão áurea e que ela está em tudo. E aprendi a gostar mais do Fibonacci. [2] Não fiquei com nenhuma dúvida. [3] Adorei o homem que veio fazer a palestra. Não esperava uma apresentação e nem uma aula tão boa.
[1] Sequência de Fibonacci; Espirais - Arquimedes e áurea; sequência áurea. [2] Nenhuma. [3] Uma aula extremamente rica de conhecimento, explicações e exemplos. Fico honrado por ter uma aula com alguém com tanto conhecimento.
[1] Aprendi muito sobre a sequência de fibonacci, e admirar a natureza por meio dela. [2] O por que do seguimento dessa sequência pela natureza, como se fosse um molde para todas as coisas. [3] Achei a apresentação muito boa e acabei por admirar ainda mais a matemática.
[1] Aprendi que a Sequência de Fibonacci se relaciona com uma gama infinita de outros assuntos, principalmente com a natureza. [2] É possível prever o crescimento da carapaça de um caramujo através da sequência de Fibonacci. [3] Muita a apresentação pelo fato de mostrar e relacionar a matemática com muitas outras matérias e assuntos.
[1] Aprendi que, a partir da matemática, é capaz de observar e admirar a natureza; talvez para muitas coisas existem um motor, que faz seguir um padrão. [2] A dúvida que ficou é: como isso é capaz? Como a natureza segue tal padrão (talvez não seja uma dúvida, mas sim uma reflexão).
[1] A olhar com profundidade a matemática, também imaginar, analisar. [2] "O motor do mundo."
[1] Aprendi que tudo o que nos vemos, tem algo que se relacione com a matematica. [2] Não tive duvidas. [3] Saber que os números estão em toda parte faz com que, as pessoas prestem mais atenção em tudo o que exista. Gostei muito da palestra, pelo fato do palestrante ser bem atencioso e muito inteligente.
[1] Aprendi que a matemática é capaz de nos mostrar e explicar coisas espetáculares, que podem ser aplicadas em diversos problemas, respeitando sempre a mesma "razão", as proporções! [2] A maior dúvida que ficou não foi da matéria apresentada em si. A dúvida que ficou, foi de até aonde a matemática pode chegar, e também até aonde ela pode nos levar junto com ela. [3] Adorei a maneira como o Sr. Valdemar nos apresentou o conteúdo. De maneira simples e simpática, nos faz ver o quanto devemos valorizar experiências simples, que possam e não nos mostrar coisas de maneira espetácular.
[1] A matemática está presente em muitas coisas que nem se imaginam, e que a beleza por vezes pode ser medida. [3] A sequencias e proporções na matemática são maravilhosas e essenciais na vida nas grandes criações e a proposta da palestra cumpriu mais que o esperado sobre a abordagem do assunto.
[1] Matematica é arte, matematica é natureza. [3] A matematica atua junto com a natureza e o inventor de tudo isso fez com perfeição.
[1] Aprendi bastante sobre a sequência de Fibonacci e sobre a razão áurea. E como elas são aplicadas no dia a dia. [2] Não ficou nenhuma dúvida sobre o assunto. [3] Foi bem interessante pois aprendi coisas que posso utilizar no cotidiano. Além de que foi tratado não só assuntos matemáticos mas também históricos.
[1] Que a naturesa apresente fenomenos matemáticos. [3] Gostei da iniciativa da escola. Com uma boa palestra com um real palestrante devidamente preparado, muito boa palestra e palestrante. Não gostei da presa para, e na qual o palestrante foi submetido, tendo de não passar todo seu conhecimento aos alunos ou não apresentar todo o conteudo adiquirido.
[1] Que a sequência de Fibonatti está presente em muitas coisas, como nos girassóis, margaridas, brócolis, conchas de caramujos. [2] Tudo ficou claro.
[1] Aprendi que Fibonacci está além da matemática, álem do humano, está em tudo. [2] Não tive nenhuma duvida.
[1] Aprendi que a matematica está em todas as coisas, nas coisas simples ou nas complexas, a ter matematica na natureza seje lá em furações ou plantas. [2] sem dúvidas. [3] aula muito boa, apesar de muito conteudista, muito fácil de se entender, até mesmo para pessoas como dificuldade em matemática.
[1] Esta aula possibilitou abranger um maior conhecimento acerca da sequência de Fibonacci e que a matemática está presente em tudo na natureza. [2] Tal aula foi um tanto esclarecedora, portanto não obtive dúvidas. [3] Excelente conteúdo, além de possuir dinamicidade no assunto.
[1] O que aprendi de mais importânte curiosidades sobre a sequência de Fibonacci; razão áurea, fórmula de ф. [2] Nenhuma dúvida! [3] Excelente aula, cheia de curiosidades e envolvendo outras matérias.
[1] Sequência de Fibonacci, ф, Pascal, razão áurea. [2] Nenhuma dúvida ficou, foi tudo bem claro. [3] A aula foi muito aproveitosa, cheia de curiosidades. A matemática está em nosso cotidiano.
[1] Aprendi sequência de Fibonacci, ф, ф = 1 + 1/ф, Pascal, razão áurea, aspiral de arquimedes, admirar a natureza apartir da matemática. [2] Não ficou nenhuma dúvida, ficou tudo muito claro. [3] A palestra foi muito boa, aproveitamos bastante.
[1] Aprendi sobre a Lei Áurea e seu padrão que representa beleza, sobre a sequência de Fibonacci e as várias formas de encontra-lá no dia a dia. [2] Sobre como calcular a razão áurea e chegar a seu resultado. [3] Palestra muito bem apresentada e explicada, com imagens que ajudam na facilidade do entendimento. Uma boa oportunidade de visualizar a matemática de forma descontraída, sem a monotonia de uma aula. Uma pena o tempo dado ser tão breve, pois a explicação necessita de mais abertura. Excelente conhecimento do palestrante e ótima comunicação com o ouvinte.
[1] Tudo se baseia na lei auréa e Fibonacci. [3] Tudo o que ocorre no dia a dia, até pequenas e simples coisas se baseia na lei Áurea. Na minha opinião, assim facilita o entendimento da matemática, simplificando-a.
[1] Que a "matemática" está mais presente e muito bem representada em "coisas" mais diversas e inesperadas do nosso dia a dia (bacana, curti). [3] Vou seguir seus métodos de idioma.
[1] Fn = Fn-2 + Fn-1. [3] É muito interessante como фse aproxima da beleza.
[1] De como funciona a sequência, como que ela foi criada. E tambêm como é a formação de uma espiral. [3] Uma aula muito útil, no qual eu pude compreender muito mais a sequência de Fibonacci, e clarear as teorias assim facilitando muito mais.
[1] A presença da Razão aurea em todos objetos do universo. [2] Da onde surgiu a razão aurea? (naturalmente). [3] Aula excelente, extremamente reflexiva.
[1] Aprendi que tudo que vemos está ligado a matemática. [3] Otima aula e otima explicação.
[3] Uma aula muito útil. ADOREI.
[3] Um ótimo profissional e atencioso.

8. 11/3/16 no Centro de Integração Empresa-Escola (CIEE), para educadores de matemática e de letras do programa de ensino do CIEE, no Auditório Ernesto Igel, R. Tabapuã 540, Itaim, São Paulo, (info: Wilma Ribas wilma_ribas_arroba-at_cieesp.org.br{EM}

[1] A história por trás da matemática; a medida áurea. É interessante ver como tem espiral em variados lugares. [3] Achei que essa palestra fosse mais para os leigos como eu, tivesse dicas. Mas amei. Sua motivação é ótima contagiente mesmo. Um show essa sua paixão pela matemática. Parabéns pelo seu projeto e com certeza irei indicar nas escolas. Obrigada pela sua atenção com os alunos.
[3] Não há a menor dúvida que não aprendi matemática na escola.
[1] Aprendi que posso desenhar coisas que são bonitas. Acho que aprendi a não subestimar a beleza mais natural.
[1] Aprendi que a matemática explica coisas estéticas, dando uma base científica para um padrão de beleza, que na verdade é em 99%, para não dizer 100, de acordo com todos. [3] Gostei muito da forma compreensiva do professor e paciência em falar de algo.
[1] O que eu aprendi de mais importante visualizar a matemática em várias formas. Sobre as sequências das espirais. [3] Percebi o quanto da matemática está envolvida em tudo na vida, na natureza, pessoas.
[1] Aprendi que a espiral áurea existe em várias coisas no nosso dia a dia. A proporção da matemática no mundo em coisas que desconhecemos. [3] Aula maravilhosa, super-interessante e explicativa.
[1] Aprendi a ver as coisas com uma perspectiva diferente. [2] Dúvida não, vontade de aprofundar o meu conhecimento acerca do assunto. [3] Adorei! Tudo!
[1] A matemática é utilizada para tudo em todo lugar. O que me impressionou foi que em caramujo vai crescendo e mantendo as mesmas proporções como na espiral logarítmica com o cálculo do Fibonacci. A matemática está no nosso corpo e o mais excepcional é que o cálculo do Fibonacci mais triângulo áureo calcula o nosso rosto, corpo, tudo. [3] Graduo letras, mas adorei a palestra.
[1] Aprendi que a matemática na escola não foi passada claramente. Espero que muitos alunos tenham a oportunidade de conhecer o projeto. As espirais estão em tudo. [3] Ótima palestra.
[1] Sore espirais ficou muito clara a importância. Sou muito leiga, até por falta de contato, mas esta foi uma experiência que levarei para toda a vida. [2] Dúvidas ficaram, porém a curiosidade aumentou e a vontade de aprender também. [3] Sou amante da natureza e como foi linda essa relação com a natureza. Obrigada, espero “ter” outras oportunidades.
[1] Estudo muito sobre o assunto e mesmo assim não sabia que podemos começar uma sequência semelhante à de Fibonacci com a₁ e a₂ quaisquer e, mesmo assim, a_n/a_n-1 converge para ф. [3] A palestra foi ótima.
[1] Aprendi que tudo na natureza tem a teoria de Fibonacci, e o quanto tudo isso contribui para os estudos matemáticos e para diversas áreas de exatas. [3] Muito boa a aula e divertida, entretandto ainda não consegui achar a matemática fascinante e legal. Mesmo tendo me aberto a aprender o conteúdo dado hoje. Mas foi uma boa aula, que nos fez entender o conteúdo.
[1] Que a matemática, principalmente a proporção áurea está ão só ligada a coisas construídas pelo homem, mas também pela natureza. [3] Obrigada!
[1] Que a matemática está em tudo (corpo humano, natureza). [3] Gostei da palestra, consegui entender algumas coisas em matemática, que pensei não ser capaz de compreender.
[1] A forma pela qual a matemática se apresenta na natureza. [3] Preciso aprender mais sobre os temas.
[1] Tudo tem uma simetria. [3] Muito interessante essa aula, abordou uma série de assuntos.
[1] A importância de entender a sequência de Fibonacci. [3] Palestra incrível, com ela pude perceber que não aprendi nada no ensino regular.
[1] Que a matemática está presente em tudo. [3] O senhor é ótimo professor.
[1] A relação da matemática com o universo, com a natureza etc. [3] Amo relacionar ao que aprendi, no meu dia a dia.
[1] Sobre a teoria da proporcionalidade e a multiplicação dos coelhos.
[1] Visualizar a matemática além dos números por eles mesmos. [2] Aplicação desse conteúdo para um aluno da educação de jovens e adultos. [3] Embora se pressupõe que todos tenham uma bagagem, um conhecimento básico em matemática, muitos termos não foram compreensíveis, uma vez que há muito tempo estudei os conteúdos básicos.

7. 1/12/15, para alunos dos 11^{os e}12^os anos da Escola Waldorf Rudolf Steiner de São Paulo, R. Job Lane 900, Sto. Amaro, São Paulo, SP; info: prof. Alexandre Rodriguez Anzilotti ale.anzilotti_arroba-at_gmail.com {EM}

[1] "Relação da matemática com a natureza -> como a matemática pode ser usada para descrever a natureza." [3] Adorei a apresentação! Me interesso pelo assunto e sinto que adquiri um conhecimento mais profundo. Obrigada!"
[1] Nada na natureza é acidental e sem propósito, tudo segue uma lei natural de beleza." [3] "Contribuição sensacional para meu TCC do ano que vem!"
"Com a palestra pude perceber o quão a natureza é linda e precisa. Adorei ver como a espiral, a razão áurea se aplica no ser humano, e nos fenômenos naturais."
[1] Achei lindo a relação da matemática, uma ciência exata, com a natureza e o ser humano. A Razão Aurea pode estar em qualquer lugar, é só saber observar. É incrível como a matemática, algo "inventado" pelas necessidades do ser humano, está em nós mesmos." [3] Obrigada pela palestra. Achei tudo muito interessante e tenho outro olhar para o mundo agora."
[1] "As espirais estão muito mais presentes em nossa vida do que percebemos, e se manifestam de todas as formas na natureza." [3] Muito interessante, as relações são tantas que se mostram espantosas, pois nem percebemos."
[1] "Que essa sequência está em todos os lugares!" [2] "Gostaria de me aprofundar na questão matemática." [3] "Gostei muito, aprendi coisas novas que despertaram meu interesse!"
[1] "Algo que permeia tudo." [2] "De onde vem esta proporção que tudo permeia." [3] "Aula fascinande, inspiradora."
[1] "Apesar de usar modelos, esses modelos tem aplicações práticas." [2] "Esses modelos já existem e a gente descobre ou a gente cria eles?"
[1] "Como a natureza é perfeita."
[Profa.] [1] "Alegria de aprender matemática, contextualizada historicamente." [3] "Gostaria de participar de outras palestras similares."
[1] "Que a matemática está ligada a tudo." [3] "Incrível."
[2] "Como você organizou o pensamento. Ficou muito claro!" [3] "Nada é por acaso."
"Parabéns pela palestra."
"Adorei a palestra."
"A iniciativa de ir em escolas para tentar promover um interesse pela matemática é muito especial. Além de muito necessária hoje em dia."

6. 14/11/15, palestra para colegas da turma de 1963 do ITA e esposas, no Guararema Parque Hotel, Guararema, São Paulo.

"Excelente palestra. Sugestões para outras aplicações: ordenação de registros em computadores, aplicações no mercado de ações."
"Muito interessante.
[Sra.] "Como é bonita a natureza! Ela é a inspiradora de tudo o que nos cerca. Para isso tempos que prestar mais atenção à nossa volta e nos inspirar. Gostei muito apesar de não entender quase nada de matemática."
"A beleza é áurea!"
"Conhecia as imagens animais, vegetais, minerais e arquitetura. Aprendi a base matemática. Gostei da apresentação."
[Sra.] "Tomei conhecimento da sequência de Fibonacci, da qual nem sabia da existência. Sem dúvida, entendi o essencial. A aula foi muito didática, mesmo para quem não tem base matemática."
"Um pouco longa a palesta, mas muito interessante e instigadora.
[Aprendi] "Existência de uma matematicalização de curvas diversas na natureza."

5. 6/11/15, aula para alunos do 9º ano na EMEB Luiz Antoniazzi, R. Ulisses P. de Oliveira Filho 850, Vila Santo Antonio, Valinhos, SP {EM}

"Aprendi que o фestá em tudo, só procurar que acha. O espiral é muito interessante, descobri que acho em muitas coisas. Muito interessante tudo, agora eu sei muitas coisas que nem imaginava. Que continue assim, e espero por mais palestras novas."
"Ótima palestra! Bem legal! Aumentou meu interesse! Adorei aprender sobre Fibonacci."
"[Aprendi] que a maioria das coisas fazem sentigo (ñ o mais importante). A matemática faz sentido.
Adorei a aula. Algumas coisas são um pouco complicadas de se entender, porém a aula é muito boa"
"Ótima aula aprendi várias coisas e também achei muito confuso a parte do ф."
"[Aprendi] que a natureza é ... perfeita. Agora meus desenhos ficarão mais exatos/bonitos!"
"Foi uma ótima aula e aprendi muito sobre as espirais."
"Apenas o фque não aprendi muito bem, o resto eu aprendi tudo."
"O professor esclareceu todas as minhas dúvidas. O projeto é bem legal, pois apendemos várias coisas novas."
[Aprendi] que existe muita matemática englobada na natureza."
Aprendi que as coisas da natureza são formadas proporcionalmente. É possível termo alguem que criou todas essas coisas proporcionais e perfeitamente."

4. 15/10/15, oficina na Mostra do Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (CAEM) do Instituto de Matemática e Estatística da USP, Cidade Universitária, São Paulo, SP, para estudantes de licenciatura em matemática e professores. Ver também a avalição detalhada feita pelo CAEM.

"Adorei a oficina. Maravilhosa para uma sugestão de aula contextualizada e, acima de tudo, motivacional."
"Eu gostaria de parabenizá-lo pela excelente aula e, principalmente, a sua preocupação com a popularização da matemática."
"O entusiasmo do professor foi incrível."
"Seria de bom grado termos mais palestras nos moldes desta para enriquecer nosso conhecimento."
"É muito bacana o interesse e a forma com que o senhor aborda o tema, é possível ver que lecionar não é um fardo, mas sim um prazer."
"A palestra foi fantástica, professor muito atencioso, divertido e claro em seus argumentos."
"Agradeço o presente que foi a palestra no dia do professor."
"Gostei ,muito da aula, pretendo mostrar para meus futuros alunos essas lindas proporções da natureza."
"Foi muito bom, professor. A forma como apresentou as ideias foi simples e clara. Tenho certeza que usarei esses conhecimentos nas minhas aulas no futuro."
"Muito bom. A organização da oficina, os exemplos dados, a justificativa matemática... Muito obrigada, professor! E parabéns pelo seu dia!"
"Formidável palestra e ótima apresentação. Apenas parabenizo. Fiquei muito grato e me senti privilegiado de participar da capacitação."
"Parabéns pela oficina! Foi uma das coisas mais significativas que vi em matemática. Esse assunto é um assunto maravilhosos e o senhor o deixou ainda melhor."
"Muito obrigado, professor, por esta aula maravilhosa."
"A oficina foi muito interessante, me acrescentou muitas informações, parabéns aos organizadores."

3. 28/8/15, para alunos das 2as. e 3as. séries do ensino médiod o Colégio Estadual Dr Gastão Vidigal, R. Líbero Badaró, 252 - Zona 07, Maringá, PR, tel. (44) 3223-1117{EM}

"Gostei a aula, é sempre bom aprender coisas novas, a matemática é um livro sem fim."
"(O mais importante) Sobre como a matemática está presente em tudo."
"É sempre bom aprender coisas novas e ampliar os conhecimentos, principalmente acerca de algo que, as vezes por falta de interesse ou só por não gostarmos deixamos de lado."
"Aula muito boa, explicação boa, incrível."
"A palestra foi muito boa e mostrou claramente sobre o níumero ф, sua história e suas aplicações."
"Aula muito boa."
"É importante aprendermos que a matemática é essencial no dia a dia."
"Achei a aula interessante, aprendi coisas simples que nunca havia percebido."
"Com a matemática, vimos que tudo é usado para aproveitá-la um exemplo foi a proporção áurea, que essa proporção está ligada até no corpo humano."
"Professor explica muito bem."
"Aprendi que a sequência de Fibonacci está presente no dia a dia, na reprodução de animais. Também a razão áurea apresenta uma proporção nas coisas naturais que ocorrem no mundo. O legal é que vê-se a aplicação da matemática no dia a dia, o que não é muito citado, e tem-se a impressão de que a matemática não é muito importante."

2. 18/8/15. Escola Waldorf Francisco de Assis, Av. Basiléia 149, Lauzane Paulista, São Paulo, SP, tel. (11) 2231-0152, para alunos dos 10º ao 12º anos {EM} (Sem pedido de comentários.)

"Por que esse isso não chega às escolas, e por que as pessoas comuns não sabem tanto disso, visto que não é conteúdo tão complicado?"
"Tudo tem matemática, tem até em lugar que nunca imaginamos."
"As espiirais estão em vários momentos dos seres vivos e trazem um padrão justificado matematicamente do que é a beleza."
"A matemática está em lugares que não imaginamos."
"A matemática não é simplesmente fazer cálculos, ela se aplica a tudo, inclusive a natureza."
"Matematicamente, as coisas beiram o perfeito quase sempre."

1. 13/5/15 para alunos do 2o. e 3o. anos do ensino médio do Colégio Adventistra do Boqueirão, Curitiba, PR, {EM} (Sem pedido de comentários.)

"A matemática é mais que números, passa dos limites, aprendi que eu amo a matemática e que ela é uma maravilha."
"A matemática é incrível, a espiral áurea pode ser vista no dia a dia como o caracol e isso é perfeito."
"A matemática é incrível, e tudo pode ser explicado e solucionado, e que existem vários típos de espirais."
"Razão áurea: matemática é perfeita."
"Acredito que não tenho dúvidas, pois foi uma aula muito clara e detalhada. Foi maravilhosa."
"Aprendi que a matemática faz parte de tudo até em coisas que pensem que não tem."
"Interrelacionar as matérias, melhor aplicação da lógica e da proporção."
"Aprendi que não existe só um tipo de espiral, mas sim diversos que nos possibilitam fazer proporções."
"Não fiquei com nenhuma dúvida pois você explica super bem."
"Gostei muito de saber as milhares formas que podemos aprender matemática, e como ela faz parte de tudo, como as espirais que têm tudo a ver com os animais e até com o espaço.

A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS, SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA E APLICAÇÕES

AVALIAÇÕES DE PARTICIPANTES

A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI,
A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS,
SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA E APLICAÇÕES