Modelo funcional heterocedástico com erro nas variáveis

Em muitas situações práticas as variâncias de ambas as medidas são diferentes para cada nível de concentração. Nesta seção estudaremos o modelo funcional heterocedástico com erros nas variáveis, descrevendo as principais características do modelo e quais suposições são necessárias para utilizar tal modelo. A distribuição conjunta de ($Y_i,X_i$) é dada por

$$\left( \begin{array}{c} Y_i\\ X_i \end{array} \right) \sim N_2\le... ...\begin{array}{cc} \lambda_i & 0 \\ \cdot & \kappa_i \end{array} \right] \right)$$ (4)

as variáveis $Y_i$ e $X_i$ têm a mesma interpretação que no caso homocedástico, $\alpha$ é o viés aditivo e $\beta$ o viés multiplicativo, $\lambda_i$ e $\kappa_i$ são variâncias conhecidas de $Y_i$ e $X_i$ para $i = 1,\ldots, n$ respectivamente. Assim o logarítmo da função de verossimilhança é dada por

$$\ell( \mbox{\boldmath {$\theta$}} ) = \sum_{i \in I } \ell_{i}( \mbox{\boldmath {$\theta$}} ),$$ (5)

sendo

$$\ell_{i}($$$\theta$$$)=-log(2\pi)-\frac{1}{2}log(\kappa_i)-\frac{1}{2}log(\lambda_i)-\... ...y_{i}-\alpha - \beta x_{i})^2}{2\lambda_i}-\frac{(X_{i} - x_{i})^2}{2\kappa_i},$$

e o parâmetro $\theta$$=($$\beta$$,$$x$$)^{\top}$, $\beta$$= (\alpha, \beta)^{\top}$ e $x$$=(x_1,\ldots, x_n)^{\top}$. A log-verossimilhança () é limitada, pois as variâncias são conhecidas. Ripley e Thompson (1987) consideram o modelo heterocedástico acima e derivam os estimadores para $\alpha$ e $\beta$, a partir da verossimilhança perfilada que se obtém substituindo $x_i$ por $\hat{x}_i = \dfrac{\kappa_i \beta (Y_i - \alpha)+\lambda_i X_i}{\beta^2 \kappa_i + \lambda_i}$, pois $\hat{x}_i$ maximiza () em relação a $x_i$. Os autores também propuseram testes marginais para $\alpha$ e $\beta$, sendo que as variâncias usadas para o teste são obtidas por analogia a metodologia de mínimos quadrados, que não são consistentes assintóticamente. Em Galea et al 2003 encontram estimativas consistentes para a matriz de covariâncias de $\hat{\alpha}$ e $\hat{\beta}$ baseadas na teoria de estimação para parâmetros incidentais, ver Mak, usando a verossimilhança perfilada. Os autores demonstram que as estimativas para $\alpha$ e $\beta$ são

$$\hat{\beta} = \dfrac{ \renewcommand {\arraystretch}{0.4} \display... ...a})} \mbox{ \ , \ } \hat{\alpha}=\bar{Y}_{\omega}-\hat{\beta}\bar{X}_{\omega},$$

sendo que

$$\bar{Y}_{\omega}= \renewcommand {\arraystretch}{0.4} \displaystyl... ...ray}\renewcommand {\arraystretch}{1} \dfrac{\omega_i\bar{Y}_{i}}{\sum \omega_i}$$    , $$\bar{X}_{\omega}= \renewcommand {\arraystretch}{0.4} \displaystyl... ...ray}\renewcommand {\arraystretch}{1}\dfrac{\omega_i \hat{X}_{i}}{\sum \omega_i}$$

e

$$\omega_i=\dfrac{1}{\lambda_i + \beta^2 \kappa_i}$$ , $$i = \{1,2,\ldots,n\}$$

Para se obter as estimativas de máxima verossimilhança faz-se necessário um método iterativo. O algoritmo proposto pelos autores segue os seguintes passos: (1) Inicia-se o procedimento iterativo com $v=0$ e os valores iniciais $\alpha^{(0)} = 0$    , $\beta^{(0)} = 1$, (2) calcule $\hat{x}_i^{(v)}$, (3) calcule $\hat{\beta}^{(v)}$ e $\hat{\alpha}^{(v)}$, (4) incremente uma unidade a $v$, (5) repita os passos 2, 3 e 4 até a convergência. A matriz de covariâncias assintótica para os estimadores é obtida calculando

Var$$(\hat{\mbox{\boldmath {$\beta$}}})=1/n W^{-1}VW^{-1}= \left[ ... ...sigma_{\beta \alpha} & \sigma_{\beta \beta} \end{array}\right],$$

sendo que

$$W = 1/n \sum_{i=1}^{n} E\left\{\dfrac{\partial^2 \ell^{p}(\mbox{\... ...dmath {$\theta$}})}{\partial \mbox{\boldmath {$\beta$}}}\right)^{\top}\right\}$$

Galea et al 2003 mostram que os elementos da matriz de covariâncias assintótica de $\hat{\mbox{\boldmath {$\beta$}}}$ são

$$\sigma_{\alpha \alpha} = \dfrac{1}{\sum \omega_i} + \dfrac{\bar{x... ...mega}^2}{SS_{\omega}} + nk\left(\dfrac{\bar{x}_{\omega}}{SS_{\omega}}\right)^2,$$

$$\sigma_{\alpha \beta} = \sigma_{\beta \alpha} = - \dfrac{\bar{x}_{\omega}}{SS_{\omega}}\left(1 + \dfrac{nk}{SS_{\omega}}\right)$$    e

$$\sigma_{\beta \beta}= \dfrac{1}{SS_{\omega}}\left(1 + \dfrac{nk}{SS_{\omega}}\right)$$

sendo que

$$SS_{\omega}= \sum \omega_i (x_i - \bar{x}_{\omega})^2$$    , $$\bar{x}_{\omega}= \dfrac{\sum \omega_i x_i}{\sum \omega_i}$$    e $$k = 1/n\sum \omega_i^2 \lambda_i\kappa_i.$$

Para estimar Var$(\hat{\mbox{\boldmath {$\beta$}}})$ consistentemente, basta substituir $\alpha$, $\beta$, $x_i$ e $x_i^2$ por $\hat{\alpha}$, $\hat{\beta}$, $\hat{x}_i$ e $\hat{x}_i^2 - \lambda_i\kappa_i \hat{\omega}_i$, respectivamente que são as estimativas obtidas no último passo do processo iterativo. A estimativa para $\omega_i$ é dada por $\hat{\omega}_i=\lambda_i + \hat{\beta}^2\kappa_i$. De forma analoga ao caso homocedástico, é possível usar a estatística de Wald para testar se o método novo mensura sem viés a concentração desejada.

Os modelos acima podem ser estendidos para o caso em que existem vários métodos a serem validados. Galea et al 2003 também derivam os estimadores para este caso, usando a verossimilhança perfilada, e propõe uma estatística de Wald para testar o viés dos métodos.