2 Representação de Sistemas Lineares e Matrizes

No início da Seção 1 observamos que a informação importante de uma equação linear são seus coeficientes e o termo independente. O mesmo vale para um sistema linear:

\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} a_{11}x_1& +& \cdots & +& a_{1n}x_n& =& b_1\\ a_{21}x_1& +& \cdots & +& a_{2n}x_n& =& b_2\\ & & \vdots & & & & \vdots \\ a_{m1}x_1& +& \cdots & +& a_{mn}x_n& =& b_m\\ \end{array}\right. \sim \left[ \begin{array}{cccc|c} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1}& \cdots & \cdots & a_{mn}& b_m \end{array}\right]. \]

Informalmente \(A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}& \cdots & \cdots & a_{mn} \end{array}\right]\) é a matriz de coeficientes e \(b=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}\) é a matriz (ou vetor coluna) de termos independentes do sistema. É comum na literatura chamar \([A|b]\) de matriz aumentada do sistema.

Cada elemento de \(A\) fica unicamente determinado por sua posição na matriz, ou seja, especificando sua linha e coluna. Isso nos permite definir formalmente uma matriz em termos de funções.

Definição 6 Matriz

Uma matriz com \(m\) linhas e \(n\) colunas, ou simplesmente uma matriz \(m\times n\), é uma função \(A\colon \{ 1,\ldots ,m\} \times \{ 1,\ldots ,n\} \to \mathbb {R}\), ou seja \(A(i,j)=a_{ij}\in \mathbb {R}\).

Notação \(A=(a_{ij})\).

Fixados os números \(m\) e \(n\), o conjunto de todas as matrizes \(m\times n\) é denotado por \(M_{{m}\times {n}}(\mathbb {R})\). Quando \(m=n\) escrevemos simplesmente \(M_{n}(\mathbb {R})\).