1.5 Exercícios

§1.1

1.

Considere o experimento resultante do lançamento de dois dados onde se observa o mínimo entre suas faces. Construa um modelo probabilístico associado.

§1.2

2.
  1. (a)

    De um baralho comum (52 cartas) são retiradas, sem reposição, uma amostra de 5 cartas. Qual evento é mais provável, sair uma quadra (4 cartas com o mesmo número) ou um flush (5 cartas do mesmo naipe, sem formar uma sequência de 5 números consecutivos)?

  2. (b)

    Repita o exercício anterior, supondo agora um baralho com apenas as cartas 7,8,9,10,J,Q,K7,8,9,10,J,Q,K e AA (32 cartas).

3.

Para um jantar de gala, o cozinheiro preparou 2n2n pratos, sendo nn deles com carne mas sem glúten e os outros nn pratos vegetarianos mas com glúten. Dos convidados, a<na<n são vegetarianos, b<nb<n não comem glúten e 2nab2n-a-b convidados comem qualquer coisa. Os pratos são servidos aleatoriamente. Calcule a probabilidade de todas as restrições alimentares serem respeitadas.

4.

Sem utilizar a fórmula (nk)=n!k!(nk)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}, mostre combinatorialmente a identidade k(nk)=n(n1k1)k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}.

5.

Prove que (a+bn)=k=0n(ak)(bnk)\binom{a+b}{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{a}{k}\binom{b}{n-k}.

6.

Sejam ff e gg funções nn vezes deriváveis. Prove a Fórmula de Leibniz para a nn-ésima derivada de fgf\cdot g.

dn(fg)dxn=k=0n(nk)dkfdxkdnkgdxnk.\frac{\mathrm{d}^{n}(f\cdot g)}{\mathrm{d}x^{n}}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\ % \frac{\mathrm{d}^{k}f}{\mathrm{d}x^{k}}\cdot\frac{\mathrm{d}^{n-k}g}{\mathrm{d% }x^{n-k}}.
7.

Mostre o Teorema das Colunas do Triângulo de Pascal: para todos nn e kk inteiros não-negativos, j=0k(n+jn)=(k+n+1n+1)\sum_{j=0}^{k}\tbinom{n+j}{n}=\tbinom{k+n+1}{n+1}.

Dica: Use como hipótese de indução em kk que a identidade vale para todo nn.

8.

Mostre, sem utilizar indução, o Teorema das Diagonais do Triângulo de Pascal: para todos nn e kk inteiros não-negativos, j=0k(n+jj)=(k+n+1k)\sum_{j=0}^{k}\tbinom{n+j}{j}=\tbinom{k+n+1}{k}.

9.

A soma da nn-ésima diagonal inversa do Triângulo de Pascal é dada pela expressão Fn=k=0n(nkk)F_{n}=\sum_{k=0}^{n}\tbinom{n-k}{k}. Calcule F0,F1,F2,F3F_{0},F_{1},F_{2},F_{3} e F4F_{4}. Conjecture, quem é a sequência (Fn)n(F_{n})_{n}? Prove sua conjectura.

10.

Prove por indução o Teorema das Linhas e o Teorema Binomial.

11.

No final da Seção 1.1.3, observamos que há 21 resultados possíveis no lançamento simultâneo de dois dados idênticos, correspondendo aos 21 pares não-ordenados de números entre 1 e 6. Um jogo de dominó para crianças, em que cada metade de peça pode ser pintada com uma de 7 cores do arco-íris, possui 28 peças, correspondendo aos 28 pares não-ordenados de cores do arco-íris. De forma mais geral, o número de pares não-ordenados de um conjunto com nn elementos é (n+12)\binom{n+1}{2}. Prove este fato de quatro formas diferentes:

  1. (a)

    Por indução em nn e usando propriedades do Triângulo de Pascal.

  2. (b)

    Decompondo a coleção de pares não-ordenados em pares de elementos distintos e pares de elementos iguais.

  3. (c)

    Descrevendo uma correspondência direta entre pares não-ordenados de {1,,n}\{1,\dots,n\} e subconjuntos de {,1,,n}\{\star,1,\dots,n\} com dois elementos, de forma que o novo elemento \star cumpra um papel especial.

  4. (d)

    Descrevendo uma correspondência direta entre pares não-ordenados de {1,,n}\{1,\dots,n\} e palavras compostas por n1n-1 símbolos “||” e dois símbolos “\cdot”, como por exemplo “||||||{\cdot}||||{\cdot}”.

12.

Inspirando-se pelo último item do exercício anterior, mostre que o número de soluções inteiras não-negativas da equação x1++xn=kx_{1}+\dots+x_{n}=k é dado por (n1+kk)\binom{n-1+k}{k}.

13.

Oito clientes formam uma fila ao acaso, quatro deles possuem uma única nota de $10\$10 e os outros quatro com uma única nota de $20\$20 cada um. O ingresso custa $10\$10 e o bilheteiro começa a atender os clientes sem troco.

  1. (a)

    Qual a probabilidade de o bilheteiro não ter problema de troco?

  2. (b)

    Refaça o item (a)(a) supondo que sejam 2n2n clientes, nn clientes com notas de $10\$10 e nn com notas de $20\$20.

14.

Sejam Ω\Omega o espaço dos caminhos simples de duração 2n2n, conforme definido no Exemplo 1.32, e \mathbb{P} a medida de probabilidade que atribui peso 22n2^{-2n} a cada caminho. O caminho resultante desse experimento é comumente chamado de passeio aleatório. Mostre que

({s:max{s0,,s2n}5})=2({s:s2n5}).\mathbb{P}(\{s:\max\{s_{0},\dots,s_{2n}\}\geqslant 5\})=2\,\mathbb{P}(\{s:s_{2% n}\geqslant 5\}).
15.

Vamos mostrar que a probabilidade de um passeio aleatório ainda não ter retornado à origem depois de 2n2n passos é igual à probabilidade de estar na origem no tempo 2n2n. Ou seja, vamos mostrar que

({s:τ0+>2n})=({s:s2n=0}),\mathbb{P}(\{s:\tau_{0}^{+}>2n\})=\mathbb{P}(\{s:s_{2n}=0\}),

onde τ0+=τ0+(s)=min{k1:sk=0}\tau_{0}^{+}=\tau_{0}^{+}(s)=\min\{k\geqslant 1:s_{k}=0\} denota o primeiro instante de retorno à origem, com min(∅︀)=+\min(\emptyset)=+\infty. Para kk\in\mathbb{N}, mostre que:

  1. (a)

    (s1=+1,τ0+2n,s2n=2k)=(s2n1=2k1,s2n=2k)\mathbb{P}(s_{1}=+1,\tau_{0}^{+}\leqslant 2n,s_{2n}=2k)=\mathbb{P}(s_{2n-1}=-2% k-1,s_{2n}=-2k).

  2. (b)

    (s1=+1,s2n=2k)=(s2n1=2k1,s2n=2k2)\mathbb{P}(s_{1}=+1,s_{2n}=2k)=\mathbb{P}(s_{2n-1}=2k-1,s_{2n}=2k-2).

  3. (c)

    (s1=+1,τ0+>2n)=(s2n1=+1,s2n=0)\mathbb{P}(s_{1}=+1,\tau_{0}^{+}>2n)=\mathbb{P}(s_{2n-1}=+1,s_{2n}=0).

  4. (d)

    (τ0+>2n)=(s2n=0)\mathbb{P}(\tau_{0}^{+}>2n)=\mathbb{P}(s_{2n}=0).

§1.3

16.

Sejam AA e BB eventos quaisquer, mostre que:

  1. (a)

    (AB)1(Ac)(Bc)\mathbb{P}(A\cap B)\geqslant 1-\mathbb{P}(A^{c})-\mathbb{P}(B^{c}).

  2. (b)

    (AB)(AB)(A)(B)\mathbb{P}(A\cup B)\mathbb{P}(A\cap B)\leqslant\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B). Dê condições necessárias e suficientes para que valha a igualdade.

17.

Sejam (Ω,,)(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) um espaço de probabilidade, AA e BB eventos quaisquer. Encontre uma expressão para a probabilidade de ocorrer exatamente um dos eventos AA ou BB.

18.

Sejam 1\mathbb{P}_{1} e 2\mathbb{P}_{2} medidas de probabilidade definidas no mesmo espaço (Ω,)(\Omega,\mathcal{F}). A função ~(A)=max{1(A),2(A)}\tilde{\mathbb{P}}(A)=\max\{\mathbb{P}_{1}(A),\mathbb{P}_{2}(A)\} é medida de probabilidade? Prove ou dê contra-exemplo.

19.

Sejam A1,A2,A3,A_{1},A_{2},A_{3},\dots eventos aleatórios. Prove que:

  1. (a)

    (A1An)1((A1c)++(Anc))\mathbb{P}(A_{1}\cap\dots\cap A_{n})\geqslant 1-(\mathbb{P}(A_{1}^{c})+\dots+% \mathbb{P}(A_{n}^{c})).

  2. (b)

    (n=1An)1n=1(Anc)\mathbb{P}(\cap_{n=1}^{\infty}A_{n})\geqslant 1-\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(% A_{n}^{c}).

20.

Suponha que (An)=1\mathbb{P}(A_{n})=1 para todo nn\in\mathbb{N}. Prove que (nAn)=1\mathbb{P}(\cap_{n}A_{n})=1.

21.

Dada uma sequência de eventos (An)n(A_{n})_{n}, definimos os eventos

B=n=1k=nAk e C=n=1k=nAk.B=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\quad\text{ \ e \ }\quad C=% \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}.

Mostre que, se B=CB=C, então (An)(B)\mathbb{P}(A_{n})\to\mathbb{P}(B).

22.

Sejam (Ω,,)(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) um espaço de probabilidade e (An)n(A_{n})_{n} e (Bn)n(B_{n})_{n} sequências de eventos tais que (An)1\mathbb{P}(A_{n})\to 1 e (Bn)α\mathbb{P}(B_{n})\to\alpha. É sempre verdadeiro que (AnBn)1α\mathbb{P}(A_{n}\setminus B_{n})\to 1-\alpha? Prove ou dê contra-exemplo.

§1.4

23.

Sejam Ω\Omega um conjunto e 𝒜\mathcal{A} a classe de todos os subconjuntos que são enumeráveis ou cujo complementar é enumerável. Prove que 𝒜\mathcal{A} é uma σ\sigma-álgebra.

24.

Dê um exemplo de um espaço Ω\Omega e σ\sigma-álgebras 1\mathcal{F}_{1} e 2\mathcal{F}_{2} em Ω\Omega tais que 12\mathcal{F}_{1}\cup\mathcal{F}_{2} não é uma σ\sigma-álgebra em Ω\Omega.

25.

Neste exercício provaremos a Proposição 1.39.

  1. (a)

    Sejam J∅︀J\neq\emptyset um conjunto qualquer de índices e (j)jJ(\mathcal{F}_{j})_{j\in J} uma família de σ\sigma-álgebras em um mesmo espaço amostral Ω\Omega. Mostre que jJj\cap_{j\in J}\mathcal{F}_{j} é uma σ\sigma-álgebra em Ω\Omega.

  2. (b)

    Sejam \mathcal{E} uma classe qualquer de subconjuntos de Ω\Omega e JJ o conjunto de todas as σ\sigma-álgebras em Ω\Omega que contêm \mathcal{E}. Justifique que J∅︀J\neq\emptyset.

  3. (c)

    Utilize os itens anteriores para provar a existência de uma σ\sigma-álgebra satisfazendo aos três itens da proposição.

  4. (d)

    Conclua a prova da proposição mostrando a unicidade de σ()\sigma(\mathcal{E}). Ou seja, mostre que, se 𝒢\mathcal{G} e \mathcal{H} satisfazem aos três itens da proposição, então 𝒢=\mathcal{G}=\mathcal{H}.

26.

Sejam Ω={1,2,3,4}\Omega=\{1,2,3,4\} e ={{1},{2}}\mathcal{E}=\{\{1\},\{2\}\}. Quem é σ()\sigma(\mathcal{E})? Prove.

27.

Seja ={{x}:xΩ}\mathcal{E}=\{\{x\}:x\in\Omega\} a classe dos subconjuntos unitários de Ω\Omega. Quem é σ()\sigma(\mathcal{E})? Prove.

28.

Seja (Ω,,μ)(\Omega,\mathcal{F},\mu) um espaço de medida. Prove que são equivalentes:

  1. (i)(i)

    A medida μ\mu é σ\sigma-finita;

  2. (ii)(ii)

    Existem (An)n(A_{n})_{n} disjuntos tais que nAn=Ω\cup_{n}A_{n}=\Omega e μ(An)<\mu(A_{n})<\infty para todo nn;

  3. (iii)(iii)

    Existem (An)n(A_{n})_{n} tal que AnΩA_{n}\uparrow\Omega e μ(An)<\mu(A_{n})<\infty para todo nn.

29.

Seja (Ω,,)(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), onde Ω\Omega é um conjunto qualquer não-enumerável, ={AΩ:A é enumerável ou Ac é enumerável}\mathcal{F}=\{A\subseteq\Omega:A\text{ \'{e} enumer\'{a}vel ou }A^{c}\text{ \'% {e} enumer\'{a}vel}\} e (A)=0\mathbb{P}(A)=0, se AA for enumerável, ou (A)=1\mathbb{P}(A)=1, se AA for não-enumerável. Mostre que (Ω,,)(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) é um espaço de probabilidade.

30.

Sejam 1,2,\mathbb{P}_{1},\mathbb{P}_{2},\dots medidas de probabilidade em (Ω,)(\Omega,\mathcal{F}), e sejam p1,p2,[0,1]p_{1},p_{2},\dots\in[0,1] tais que npn=1\sum_{n}p_{n}=1. Prove que

=npnn\mathbb{P}=\sum_{n}p_{n}\mathbb{P}_{n}

é uma medida de probabilidade em (Ω,)(\Omega,\mathcal{F}).