1.5 Exercícios
§1.1
1.
Considere o experimento resultante do lançamento de dois dados onde se observa o mínimo entre suas faces. Construa um modelo probabilístico associado.
§1.2
2.
-
(a)
De um baralho comum (52 cartas) são retiradas, sem reposição, uma amostra de 5 cartas. Qual evento é mais provável, sair uma quadra (4 cartas com o mesmo número) ou um flush (5 cartas do mesmo naipe, sem formar uma sequência de 5 números consecutivos)?
-
(b)
Repita o exercício anterior, supondo agora um baralho com apenas as cartas e (32 cartas).
3.
Para um jantar de gala, o cozinheiro preparou pratos, sendo deles com carne mas sem glúten e os outros pratos vegetarianos mas com glúten. Dos convidados, são vegetarianos, não comem glúten e convidados comem qualquer coisa. Os pratos são servidos aleatoriamente. Calcule a probabilidade de todas as restrições alimentares serem respeitadas.
4.
Sem utilizar a fórmula , mostre combinatorialmente a identidade .
5.
Prove que .
6.
Sejam e funções vezes deriváveis. Prove a Fórmula de Leibniz para a -ésima derivada de .
7.
Mostre o Teorema das Colunas do Triângulo de Pascal: para todos e inteiros não-negativos, .
Dica: Use como hipótese de indução em que a identidade vale para todo .
8.
Mostre, sem utilizar indução, o Teorema das Diagonais do Triângulo de Pascal: para todos e inteiros não-negativos, .
9.
A soma da -ésima diagonal inversa do Triângulo de Pascal é dada pela expressão . Calcule e . Conjecture, quem é a sequência ? Prove sua conjectura.
10.
Prove por indução o Teorema das Linhas e o Teorema Binomial.
11.
No final da Seção 1.1.3, observamos que há 21 resultados possíveis no lançamento simultâneo de dois dados idênticos, correspondendo aos 21 pares não-ordenados de números entre 1 e 6. Um jogo de dominó para crianças, em que cada metade de peça pode ser pintada com uma de 7 cores do arco-íris, possui 28 peças, correspondendo aos 28 pares não-ordenados de cores do arco-íris. De forma mais geral, o número de pares não-ordenados de um conjunto com elementos é . Prove este fato de quatro formas diferentes:
-
(a)
Por indução em e usando propriedades do Triângulo de Pascal.
-
(b)
Decompondo a coleção de pares não-ordenados em pares de elementos distintos e pares de elementos iguais.
-
(c)
Descrevendo uma correspondência direta entre pares não-ordenados de e subconjuntos de com dois elementos, de forma que o novo elemento cumpra um papel especial.
-
(d)
Descrevendo uma correspondência direta entre pares não-ordenados de e palavras compostas por símbolos “” e dois símbolos “”, como por exemplo “”.
12.
Inspirando-se pelo último item do exercício anterior, mostre que o número de soluções inteiras não-negativas da equação é dado por .
13.
Oito clientes formam uma fila ao acaso, quatro deles possuem uma única nota de e os outros quatro com uma única nota de cada um. O ingresso custa e o bilheteiro começa a atender os clientes sem troco.
-
(a)
Qual a probabilidade de o bilheteiro não ter problema de troco?
-
(b)
Refaça o item supondo que sejam clientes, clientes com notas de e com notas de .
14.
Sejam o espaço dos caminhos simples de duração , conforme definido no Exemplo 1.32, e a medida de probabilidade que atribui peso a cada caminho. O caminho resultante desse experimento é comumente chamado de passeio aleatório. Mostre que
15.
Vamos mostrar que a probabilidade de um passeio aleatório ainda não ter retornado à origem depois de passos é igual à probabilidade de estar na origem no tempo . Ou seja, vamos mostrar que
onde denota o primeiro instante de retorno à origem, com . Para , mostre que:
-
(a)
.
-
(b)
.
-
(c)
.
-
(d)
.
§1.3
16.
Sejam e eventos quaisquer, mostre que:
-
(a)
.
-
(b)
. Dê condições necessárias e suficientes para que valha a igualdade.
17.
Sejam um espaço de probabilidade, e eventos quaisquer. Encontre uma expressão para a probabilidade de ocorrer exatamente um dos eventos ou .
18.
Sejam e medidas de probabilidade definidas no mesmo espaço . A função é medida de probabilidade? Prove ou dê contra-exemplo.
19.
Sejam eventos aleatórios. Prove que:
-
(a)
.
-
(b)
.
20.
Suponha que para todo . Prove que .
21.
Dada uma sequência de eventos , definimos os eventos
Mostre que, se , então .
22.
Sejam um espaço de probabilidade e e sequências de eventos tais que e . É sempre verdadeiro que ? Prove ou dê contra-exemplo.
§1.4
23.
Sejam um conjunto e a classe de todos os subconjuntos que são enumeráveis ou cujo complementar é enumerável. Prove que é uma -álgebra.
24.
Dê um exemplo de um espaço e -álgebras e em tais que não é uma -álgebra em .
25.
Neste exercício provaremos a Proposição 1.39.
-
(a)
Sejam um conjunto qualquer de índices e uma família de -álgebras em um mesmo espaço amostral . Mostre que é uma -álgebra em .
-
(b)
Sejam uma classe qualquer de subconjuntos de e o conjunto de todas as -álgebras em que contêm . Justifique que .
-
(c)
Utilize os itens anteriores para provar a existência de uma -álgebra satisfazendo aos três itens da proposição.
-
(d)
Conclua a prova da proposição mostrando a unicidade de . Ou seja, mostre que, se e satisfazem aos três itens da proposição, então .
26.
Sejam e . Quem é ? Prove.
27.
Seja a classe dos subconjuntos unitários de . Quem é ? Prove.
28.
Seja um espaço de medida. Prove que são equivalentes:
-
A medida é -finita;
-
Existem disjuntos tais que e para todo ;
-
Existem tal que e para todo .
29.
Seja , onde é um conjunto qualquer não-enumerável, e , se for enumerável, ou , se for não-enumerável. Mostre que é um espaço de probabilidade.
30.
Sejam medidas de probabilidade em , e sejam tais que . Prove que
é uma medida de probabilidade em .