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CapXIII-pg1 |
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Até agora discutimos várias propriedades de superfícies e introduzimos muitos exemplos (alguns mergulháveis e outros não). Aprendemos também a construir superfícies a partir de outras já existentes e, em certos casos, perceber que duas superfícies obtidas de modos diferentes são de fato "iguais". Dizer que são "iguais" quer dizer, neste contexto, que são homeomorfas, para usar a linguagem que introduzimos. |
Também discutimos alguns invariantes das superfícies, dando ênfase a três deles: a orientabilidade, o número de componentes de bordo e a característica de Euler. Duas superfícies que são homeomorfas entre si devem ter os mesmos invariantes. O nome vem daí: é uma propriedade que não varia se nos restringimos somente a deformar ou até cortar a superfície, desde que voltemos a colar no mesmo lugar. |
O invariante é uma maneira útil para distinguirmos duas superfícies: se algum invariante assume valores diferentes nessas duas superfícies então conclui-se que elas não são homeomorfas entre si. |
No entanto, nada garante a princípio que duas superfícies que tenha invariantes iguais sejam superfícies homeomorfas. Por exemplo, o Toro e a Garrafa de Klein têm zero componentes de bordo e característica de Euler igual a zero, mas não são homeomorfas. Na verdade, sabemos distingui-las porque o Toro é orientável e a Garrafa de Klein não é, ou seja, podemos descobrir pelo menos um invariante que não coincide nos dois casos. |
Muito bom, mas e se juntarmos os três invariantes citados? Isto é, se tivermos duas superfícies com o mesmo número de componentes de bordo, a mesma característica de Euler e a mesma orientabilidade, será que podemos concluir que elas são homeomorfas? |
A resposta (felizmente) é SIM! Esse é exatamente o conteúdo do Teorema de Classificação das Superfícies, ao qual dedicamos este Capítulo. |
O Teorema de Classificação vai mais além: se fixarmos ao acaso os três invariantes (por exemplo, não-orientável, 4 componentes de bordo, característica de Euler igual a -3), o Teorema é capaz de nos informar se existe alguma superfície com esses invariantes e, se existir, nos apresentar um exemplo. |
De fato, o Teorema nos dá uma lista completa de todas as superfícies existentes. Para ser mais preciso, é uma lista (infinita) de superfícies, todas elas não homeomorfas entre si, tal que qualquer outra superfície que descobrirmos será forçosamente homeomorfa a uma das superfícies da lista. |
Nosso primeiro passo é começar por distinguir as superfícies com bordo daquelas sem bordo. Aquelas com bordo podem ter uma ou mais componentes de bordo: precisamos saber quantas são essas componentes. |
Se cada bordo for identificado com o bordo de um disco, é como se tampássemos os buracos da superfície e tornássemos a superfície sem bordo. Por exemplo, o cilindro vira uma esfera, o disco também. Já a Faixa de Moebius colada a um disco é o Plano Projetivo, como vimos no Capítulo X. Às vezes não é possível mergulhar a superfície obtida no espaço ambiente, mas como vimos no Capítulo X isso nem é tão relevante. |
Em resumo, uma superfície com n componentes de bordo pode ser pensada como uma superfície sem bordo de onde retiramos n discos. Essa superfície sem bordo é unicamente determinada. |
Ou seja, só precisamos classificar as superfícies sem bordo. Pois para aquelas com bordo nós procedemos assim: (i) tampamos a superfície com tantas tampas quantas forem as componentes de bordo, digamos n, obtendo uma supefície sem bordo; (ii) com o auxílio de técnicas que desenvolveremos no próximo Capítulo identificamos qual superfície S da lista é homeomorfa a nossa superfície sem bordo; (iii) então podemos dizer que nossa superfície original, com bordo, é homeomorfa a S menos n tampas. |
Se o procedimento acima estiver ainda um pouco nebuloso, mais adiante começará a ficar mais claro. Enquanto isso, procuremos enunciar o Teorema de Classificação para as superfícies sem bordo. |
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