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Podemos calcular a característica de Euler em superfícies definidas via identificação, mas devemos tomar cuidado na contagem de vértices e arestas. Faremos isso primeiramente para a Esfera, o Cilindro, o Toro e a Faixa de Moebius, para confirmar os números obtidos, e depois passaremos à Garrafa de Klein e ao Plano Projetivo. |
Esfera. Definimos a esfera pela identificação do bordo de dois discos. Introduzimos uma triangulação que seja compatível no bordo dos discos. |
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Numerando faces, arestas e vértices, tomando cuidado com o fato de que há vértices e arestas que aparecem duas vezes no desenho, mas devem ser contados uma só vez, pois são identificados na colagem! Temos F=6, A=9 e V=5, e portanto X=2. Se o leitor ainda não acredita que a característica de Euler não depende da triangulação, experimente calcular com outra! |
As próximas cinco superfícies são obtidas a partir da identificação dos lados de um retângulo. No retângulo, o desenho da triangulação é sempre o mesmo, mas a maneira como os vértices e arestas são contados muda de um caso para o outro, por causa das particularidades de cada colagem. |
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Em suma, a característica de Euler da Garrafa de Klein é zero (assim como o Toro, o Cilindro e a Faixa de Moebius) e do Plano Projetivo é 1. |
O Plano Projetivo também não é orientável e não pode ser inserido no espaço ambiente sem auto-interseção. Falaremos sobre isso no próximo Capítulo! |
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