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Estamos portanto afirmando que uma superf�cie pode ser definida a partir da colagem, que se constitui na identifica��o de segmentos de bordo, ou mesmo componentes de bordo inteiras, de uma ou mais superf�cies. No caso do cilindro, por exemplo, a identifica��o � feita entre pares de lados de um ret�ngulo, que � uma figura plana. |
Vimos tamb�m que as instru��es de colagem n�o informam exatamente como a colagem deve ser feita no espa�o, apenas quais segmentos ou curvas devem ser colados, respeitando uma determinada orienta��o. No entanto, todas as superf�cies obtidas ser�o sempre homeomorfas entre si. |
Tudo isso parece um pouco contradit�rio, pois afirmamos ao mesmo tempo que as superf�cies se definem atrav�s da colagem, por�m por outro lado elas n�o est�o precisamente definidas, uma vez que v�rias superf�cies diferentes podem ser constru�das de acordo com a escolha que fazemos de sua posi��o no espa�o. |
A contradi��o deixa de existir, entretanto, se passarmos a encarar as superf�cies n�o da forma como fizemos no Cap�tulo II, isto �, como um conjunto bidimensional no espa�o, mas sim do mesmo modo como entendemos os n�s no Cap�tulo III. Em outras palavras, consideraremos duas superf�cies equivalentes, ou mesmo iguais, se elas s�o homeomorfas. Assim, a forma como as colocamos no espa�o � apenas uma maneira de visualiz�-las, sendo todas as outras formas igualmente v�lidas. |
Lembremos no entanto que toda superf�cie era formada somente por pontos interiores ou de bordo, isto �, pontos cujas vizinhan�as eram isot�picas a um disco com o ponto no centro ou na fronteira do disco. Para isso, tivemos que definir o que � a vizinhan�a de um ponto na superf�cie, usando bolinhas no espa�o ambiente. Se, por�m, definimos uma superf�cie sem nos importarmos com sua disposi��o espacial, como por exemplo o toro formado pela identifica��o dos lados de um ret�ngulo, de que maneira definiremos as vizinhan�as dos pontos? |
Teremos que definir essas vizinhan�as sem usar o espa�o ambiente. Vejamos no exemplo do toro, que � bastante ilustrativo. Na figura abaixo definimos as vizinhan�as de alguns pontos: s�o peda�os de discos, �s vezes desconectados, que se juntam depois que for feita a colagem. |
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Observe que todos os v�rtices do ret�ngulo s�o identificados, representando um ponto s� do toro. Os quatro pedacinhos de disco se juntam, formando a vizinhan�a do ponto no toro. |
No caso do cilindro h� ainda pontos de bordo, e para eles as vizinhan�as s�o semi-discos, �s vezes fragmentados. |
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O importante a se lembrar � que, mesmo que as vizinhan�as sejam formadas por v�rios peda�os, ao se fazerem as identifica��es esses peda�os devem se colar de tal forma que a vizinhan�a fique isot�pica a um disco. Se o ponto for interior, ficar� no centro do disco, e se for de bordo, ficar� em sua fronteira. |
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