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Vimos no Capítulo VI como podemos construir superfícies, colando removendo tampas e colando cilindros. Esse método de colagem de superfícies tem, na verdade, um caráter mais geral, e pode ser feito em muitas outras situações que não envolvam necessariamente cilindros. Vejamos alguns exemplos. |
Um disco colado a outro disco pelo bordo produz uma esfera. |
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Dois cilindros colados pelos bordos da forma mostrada abaixo resultam num toro. |
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Dois discos colados a um cilindro fazem também uma esfera. |
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Tomemos o primeiro exemplo, e façamos a seguinte experiência. Colocamos Aderbal para andar na esfera formada pela colagem dos dois discos, mas acompanhamos o caminho que ele percorreria se os dois discos estivessem separados (no desenho não mostramos Aderbal, só o trajeto percorrido por ele). |
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Nos pontos 4 e 7 do trajeto, Aderbal passa de um disco a outro. Nesses pontos há uma ambigüidade: Aderbal está simultaneamente no bordo dos dois discos. |
Poderíamos também pensar de maneira inversa: fazemos um trajeto nos discos separados e vemos como ele fica na esfera: |
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Êpa! Não podemos ter certeza de fazer um caminho contínuo na esfera se não soubermos onde os dois discos se emendam! Ou seja, devemos saber a correspondência ponto a ponto entre os dois bordos, como mostra esquematicamente esta figura: |
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Na verdade, a figura só mostra a correspondência entre dez desses pontos, enquanto de fato deveríamos saber como são colados um a um todos os pontos! |
Na prática, raramente especificaremos a colagem ponto a ponto, pois qualquer colagem como essa, de dois discos, produz a esfera. Faremos então de conta que sabemos exatamente como é a colagem, mas a única informação que será dada diz respeito à orientação da colagem. Por exemplo, na figura acima, a numeração do disco esquerdo vai no sentido horário e a do disco direito no sentido anti-horário, e isso é indicado pelas setas. Para que a orientação dos dois bordos coincida na colagem é preciso inverter um deles antes de colar! |
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Às vezes duas maneiras diferentes de se orientar os bordos resulta em superfícies diferentes após a colagem. Veremos logo adiante exemplos onde isso acontece. No caso dos dois discos, essa orientação é indiferente, pois se as orientações são contrárias então basta girar um deles e elas passarão a ser iguais. |
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