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Mostraremos agora que vale a seguinte afirmação: "dado qualquer grafo sobre a esfera, conexo e com faces poligonais, se contarmos o número de faces F, o número de arestas A e o número de vértices V, então o número X = F - A + V será igual a 2". |
Podemos pensar do seguinte jeito. Queremos calcular X para um determinado grafo, por exemplo o mesmo que já mostramos antes. |
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Faremos um raciocínio por etapas. Para contar arestas e vértices, usaremos outra cor, e começaremos com os vértices e arestas que delimitam uma das faces já pintados, como mostra a figura abaixo. |
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Contaremos os vértices pintados (VP), as arestas pintadas (AP), e o número de regiões separadas pelas arestas pintadas (FP). Na situação inicial mostrada acima, FP = 2, e AP = VP, isto é, o número de vértices pintados é igual ao número de arestas pintadas. Então XP = FP -AP + VP tem que ser igual a 2!. |
O raciocínio continua da seguinte forma. Em cada etapa pintaremos
uma aresta, com as seguintes regras:
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Para ilustrar melhor, usaremos a cor vermelha para indicar os novos elementos pintados de uma etapa para outra. As duas situações mostradas abaixo são as únicas possíveis: ou a nova aresta liga um vértice já pintado a um outro não pintado, ou ela liga dois vértices já pintados. |
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No caso em que um novo vértice é ligado nenhuma nova região separada pelas arestas azuis é criada, então o número FP se mantém. Por outro lado, uma aresta e um vértice são acrescentados, o que faz com que AP passe para AP+1 e VP passe para VP+1. Então XP passa para FP - (AP+1) + (VP+1), e isso é igual ao próprio XP! Concluímos que neste caso o número XP se mantém inalterado! |
No outro caso a nova aresta liga dois vértices já pintados. Como eles já estavam pintados, então já existia uma seqüência de arestas os ligando, e ao acrescentarmos a nova aresta, uma curva fechada é formada. Como a Esfera é uma superfície de Jordan, o número de regiões separados pela aresta pintada passa de FP para FP+1. Por outro lado, nenhum novo vértice foi pintado (VP se mantém) e uma aresta foi acrescentada (AP passa para AP+1. Então XP passa para (FP+1)-(AP+1)+VP, ou seja, também não muda! |
Conclusão: em nenhum dos casos a passagem de uma etapa para outra altera o número XP. Como na configuração inicial ele era igual a 2, assim ele irá se manter até o final, quando todos as arestas e vértices estiverem pintados. Mas quando isso acontecer, FP será igual a F, AP igual a A, VP igual a V e, é claro, XP igual a X. Logo, X = 2!!! |
Isso demonstra o Teorema de Euler! |
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