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O que esses poliedros têm de fato em comum? A resposta está naquilo que vimos discutindo até agora: todos eles são superfícies isotópicas à esfera. Vejamos como se realiza a isotopia da Pirâmide e do Octaedro com a esfera, sem apagarmos arestas e vértices.

As arestas e vértices formam o que chamamos de grafo sobre a esfera. Um grafo é apenas isso: uma coleção de vértices e de arestas, onde as arestas ligam pares desses vértices. Veja por exemplo um outro grafo sobre a esfera.

Para não deixarmos uma definição tão geral, restringiremos um pouco o que esperamos de um grafo, baseados na figura acima. Pediremos:

  1. Que o grafo seja conexo: tomando-se dois vértices, pode-se ir de um a outro percorrendo um caminho formado de arestas.
  2. As regiões separadas pelo grafo são chamadas de faces, como as faces de um poliedro. Cada uma delas deverá ser um polígono (deformado), isotópico a um disco (sim, os polígonos podem ser deformados em discos!). As arestas adjacentes à face deverão formar uma curva fechada e sem auto-interseções.
  3. Que cada aresta seja adjacente a duas faces distintas.

 

Será também terminantemente proibido que duas arestas se cruzem fora de um vértice.

 

Pode haver, no entanto, pares de vértices ligados por mais do que uma aresta.

 

Triangulação é o nome que se dá a um grafo sobre uma superfície que satisfaz às exigências acima e além disso todas as suas faces são triângulos (deformados)! O grafo desenhado na esfera acima não é uma triangulação, pois há faces que são polígonos com mais de três lados.

 

 
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